核心素養(yǎng)測評十四

1、溫馨提示:此套題為 Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看 比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。核心素養(yǎng)測評十四利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值嘰電屆升歩 (30分鐘 60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)21. 設函數(shù)f(x)二-+ln x貝卩()A. x二-為f(x)的極大值點B. x二-為f(x)的極小值點C. x=2為f(x)的極大值點D. x=2為f(x)的極小值點21x-2 丄,【解析】選D.f'(X)二一+一，由 f ' (x)>0,得x>2,所以f(x)的增區(qū)間為匹棒丸f(x)的減區(qū)間為(0,2), 所以f(x)只有極小

2、值，極小值點為x=2.2. 已知函數(shù)f(x)是R上的可導函數(shù),f(x)的導函數(shù)f ' (x)的圖象如圖，則下列結 論正確的是 ()A. a,c分別是極大值點和極小值點B. b,c分別是極大值點和極小值點C. f(x)在區(qū)間(a,c)上是增函數(shù)D. f(x)在區(qū)間(b,c)上是減函數(shù)【解析】選C.由極值點的定義可知,a是極小值點，無極大值點；由導函數(shù)的圖象 可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,+ I上是增函數(shù).3. 已知x二-是函數(shù)f(x)=x(ln ax+1)的極值點，則實數(shù)a的值為()11A. B.C.1D.e色£e【解析】選B.因為函數(shù)f(x)=x(ln ax+1)有極值點，所

3、以 f' (x)=(ln ax+1)+仁2+ln ax;因為x二一是函數(shù)f(x)=x(ln ax+1) 的極值點，所以f' 一 ! =2+In a =0;11所以 In a 一=-2;解得:a二-.ee4. (2020 湘潭模擬)某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元,每年最大規(guī)模的種 植是8萬斤,每種植一斤藕，成本增加0.5元,銷售額函數(shù)是1 3今 2丄一f(x)=- yx +二ax +-x,x是蓮藕種植量，單位:萬斤;銷售額的單位：萬兀,a是常數(shù), 若種植2萬斤，利潤是2.5萬元，則要使利潤最大，每年種植蓮藕()A.8萬斤B.6萬斤C.3萬斤D.5萬斤【解析】選B.設銷售利潤為

4、g(x),得g(x)=1G2 1】' H23 =2-x+ax+x-1-x二-x ax -1,當 x=2 時,g(2)=- - x 2ax 2 -1=2.5,解得 816228168 ISa=2.所以 g(x)=- x'kx'-l,8 83 2 33g (x)=- x+x=-x(x-6),所以函數(shù)g(x)在(0,6)上單調遞增，在(6,8)上單調遞減.所以當x=6時，函數(shù)g(x)取得極大值即最大值.ar X-t-15. (多選)(2020 煙臺模擬)已知函數(shù)f朋叮,則下列結論正確的是()A. 函數(shù)3訓存在兩個不同的零點B. 函數(shù)既存在極大值又存在極小值C. 當-e<

5、k<0時，方程f J =k有且只有兩個實根D. 若x 時,f申二一,則t的最小值為2e【解析】選ABC對于A.f ：=0? x2+x-仁0,解得x ,所以A正確；2對于B.二- 二-,當盤君>0時,-1<x<2,當 廠 廠<0or時,x<-1 或 x>2,故(叫血，-.是函數(shù)的單調遞減區(qū)間八-是函數(shù)的單調遞增區(qū)所以-1 |是函數(shù)的極小值，f是函數(shù)的極大值，所以B正確.對于C.當xt +x時,y 0,根據B可知,函數(shù)的最小值是f -=-e,再根據單調性可知，當-e<k<0時，方程f3=k有且只有兩個實根，所以C正確;對于D.由圖象可知,t的最

6、大值是2,所以不正確.1ytL.才二 f一- -丄/ID f二、填空題(每小題5分,共15分)6. (2019 濮陽模擬)函數(shù)f(x)=e x-2x的最小值為.【解析】f' (x)=e x-2,令 f' (x)=e x-2=0,解得 x=ln 2.可得：函數(shù)f(x)在(-* ,|n 2)上單調遞減，在(ln 2,+ 乂)上單調遞增.所以x=ln 2時，函數(shù)f(x)取得極小值也是最小值,f(ln 2)=2-2In 2. 答案：2-2ln 27. 函數(shù)f(x)=(工z-l)ex(其e=2.718是自然對數(shù)的底數(shù))的極值點是；極大值為.【解析】由已知得f' (x)= (/-兀

7、-1十滬*忑-2)ex=(x+2)(x-1)e因為 ex>0,令 f ' (x)=0,可得 x=-2 或 x=1,當x<-2時f ' (x)>0,即函數(shù)f(x)在(-乂,-2)上單調遞增；當-2<xv1時,f ' (x)<0,即函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,1)上單調遞減；當x>1時,f ' (x)>0,即函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+ 8)上單調遞增.故f(x)的極值點為-2或1,且極大值為f(-2)= 答案:1或-2 一12 兀耳 jc v 0+-'當x (- 8,m時，函數(shù)f(x)的取值范圍為-2兀 X >

8、0,-16,+ 8),則實數(shù)m的取值范圍是.【解析】當 x< 0 時,f ' (x)=3(2+x)(2-x),所以當 x<-2 時,f ' (x)<0,函數(shù) f(x) 單調遞減；當-2<x < 0時,f ' (x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增，所以函數(shù)f(x)在x=-2處取最小值f(-2)=-16.畫出函數(shù)的圖象，結合函數(shù)的圖象得-2 < m< 8時，函數(shù)f(x)總能取到 最小值-16,故m的取值范圍是-2,8.答案：-2,8三、解答題(每小題10分,共20分)9.若函數(shù)y=f(x)在x=xo處取得極大值或極小值，則稱X。為

9、函數(shù)y=f(x)的極值點. 已知a,b是實數(shù),1和-1是函數(shù)f(x)=x 3+ax2+bx的兩個極值點.(1)求a,b的值. 設函數(shù)g(x)的導數(shù)g(x)二f(x)+2,求g(x)的極值點.【解析】(1)由題設知 f (x)=3x +2ax+b,且 f (-1)=3-2a+b=0,f (1)=3+2a+b=0,解得 a=0,b=-3.由(1)知 f(x)=x 3-3x,則 g (x)=f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以 g (x)=0 的根為 xi=x2=1,x 3=-2,即函數(shù)g(x)的極值點只可能是1或-2.當 x<-2 時,g ' (x)<0,當-2<x

10、<1 時，g' (x)>0,當 x>1 時,g ' (x)>0,所以-2是g(x)的極值點,1不是g(x)的極值點.10.已知函數(shù)f(x)=ax+ln x, 其中a為常數(shù).(1)當a=-1時，求f(x)的最大值.若f(x)在區(qū)間(0,e上的最大值為-3,求a的值.【解析】(1)易知f(x)的定義域為(0,+ 乂),當 a=-1 時,f(x)=-x+ln x,1 1一缶f' (x)=-1+ - ,令 f' (x)=0,得 x=1.當 0<x<1 時,f ' (x)>0;當 x>1 時,f ' (x)&

11、lt;0.所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在(1,+ X)上是減函數(shù).所以 f(x) max=f(1)=-1.所以當a=-1時,函數(shù)f(x)在(0,+ x)上的最大值為-1. f ' (x)二a+f,x 0 酣£ 2). 若a>則f ' (x) >0,從而f(x)在m |上單調遞增,所以f(x) ma>=f(e)二ae+1e> 0,不符合題意. 若 av-,令 f ' (x)>0 得 ak>0,結合 x,解得 0<x<exa令f' (x)<0得aiO,結合x (0 E,解得*<xw e.從

12、而f(x)在(0廠上單調 遞增，在(一丄*巳上單調遞減，V a J所以 f(x) maFf -=-1+ln 一 ，令-1+山 一 =-3,得 In >-'=-2,所以a=-e2，因為-e2v-,所以a=-e2為所求,故實數(shù)a的值為-e2. e綜合運用練 (15分鐘35分)1. (5分)(多選)下列函數(shù)中，存在極值點的是()A. y二x- B.y=_.'i-3C.y=-2x -xD.y=xln x”2罷)內單調遞增，沒有極值點.函數(shù) W =【解析】選BD.由題意,函數(shù)y=x-,則y =1l>0,所以函數(shù)y=x-在(-*,0),(0,+*尬根據指數(shù),X < 0,函

13、數(shù)的圖象與性質可得，當x<0時，函數(shù)y= 單調遞減，當x>0時，函數(shù)y= 單調遞增，所以函數(shù)y='在x=0處取得極小值；函數(shù)y=-2x3-x,則y'=-6x2-1<0, 所以函數(shù)y=-2x3-x在R上單調遞減，沒有極值點；函數(shù)y=xIn x,則y'=n x+1,x>0,當x (厲時,y ' <0,函數(shù)單調遞減，當x 淇訂時,y ' >0,函數(shù)單調遞增，當x=-時，函數(shù)取得極小值.e2. (5分)用長為30 m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架(即12條棱長總和為30m),要求長方體的長與寬之比為3 : 2,則該長方體最大體

14、積是()3333A.24 mB.15 mC.12 mD.6 m【解析】選B.設該長方體的寬是x m,由題意知，其長是一m,高是=242m(0<x<3),則該長方體的體積 V(x)二x 二一11?3機騎2次二2=-x +x ,V (x)=- x x,由 V (x)=0,得到 x=2(x=0 舍去),且當 0VXV2 時,V ' (x)>0;當 2<x<3 時，V (x)<0,即體積函數(shù)V(x)在x=2處取得極大值V(2)=15,也是函數(shù)V(x)在定義域上的最大值.所以該長方體體積的最大值是15 m3.【變式備選】用邊長為120 cm的正方形鐵皮做一個無

15、蓋水箱，先在四周分別截去一個小正方形,然后把四邊翻轉90°角,再焊接成水箱，則水箱的最大容積為()3A.120 000 cm3B.128 000 cmC.150 000 cm3D.158 000 cm3【解析】選B.設水箱底長為x cm,則咼為cm.n由 、一得 0VXV120.G > 0,設水箱的容積為y cm3,則有 y=-x3+60x2.23求導數(shù)，有 y' =-x2+120x.2令y' =0,解得x=80(x=0舍去).當 x (0,80)時,y ' >0;當 x (80,120)時,y ' <0.因此,x=80是函數(shù)y=-x

16、3+60x2的極大值點，也是最大值點，此時y=128 000.3. (5分)(2020 昆明模擬)已知函數(shù)f(x)=ax 2+bx+cln x(a>0)在x=1和x=2處取得極值,且極大值為-,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,4上的最大值為()A.0£B. - 2D.4ln 2-4C. 2ln 2-4【解析】選D.函數(shù)的導數(shù)為因為f(x)在x=1和x=2處取得極值,所以 f' (1)=2a+b+c=0,f'=4a+b+-=0,因為f(x)極大值為-,a>0,所以由函數(shù)性質知當x=1時，函數(shù)取得極大值為-，2則 f(1)=a+b+cln 仁a+b=- -，由得a=

17、,b=-3,c=2,0即 f(x)= x2-3x+2ln x,2.f，(x)=x-3+ -=,X Xx由 f ' (x)>0 得 2<x< 4 或 0<x<1,此時為增函數(shù),由f ' (x)<0得1<x<2,此時f(x)為減函數(shù)，則當x=1時,f(x)取得極大值，極大值為-,又 f(4)=8-12+2ln 4=41 n 2-4>-,即函數(shù)在區(qū)間(0,4上的最大值為4ln 2-4._24. (10 分)(2019 成都模擬)已知函數(shù) f(x)=aIn x-x2+1"- x-.4*(1)當曲線f(x)在x=3時的切線與

18、直線y=-4x+1平行，求曲線f(x)在11 處的切線方程.(2)求函數(shù)f(x)的極值,并求當f(x)有極大值且極大值為正數(shù)時，實數(shù)a的取值 范圍.【解析】(1)f ' (x)=-2x+a-2.由題意得 f' (3)= ：_2 x 3+a-2=-4,得 a=3.當 x=1 時,f(1)=-12+x 1-一=-,f' (1)=-2 x 1+3-2=2,故曲線f(x)在1處的切線方程為yk=2®lj,即8x-4y-17=0.(2)f(x)= -2x+a-2=(x>0),當a< 0時,f ' (x) < 0,所以f(x)在一 i -.上單調

19、遞減,f(x)無極值.當a>0時,由f ' (x)=0得x=，隨x的變化,f ' (x)、f(x)的變化情況如下：x1)a2f' (x)+0-f(x)極大值2N故f(x)有極大值，無極小值，極大值為f ： - =aIn：- x-=an-a,由aln=a>0,結合a>0可得a>2e,所以當f(x)有極大值且極大值為正數(shù)時，實數(shù)a的取值范圍是5. (10 分)(2020 濟寧模擬)已知函數(shù) f(x)=ln x-xe 1則 g (x)=(x+2)e +>0,.i-所以g(x)在1,+ g)上單調遞增，所以 g(x) min=g(1)=2e-1,所

20、以 a< 2e-1.(2)當 a=1 時,f(x)=ln x-xex+x(x>0),則 f' (x)=-(x+1)e x+1= (x+1)上=,+ax(a R).(1)若函數(shù)f(x)在1,+ 乂)上單調遞減，求實數(shù)a的取值范圍.若a=1,求f(x)的最大值.【解題指南】(1)由題意分離參數(shù)，將原問題轉化為函數(shù)求最值的問題，然后利用 導函數(shù)即可確定實數(shù)a的取值范圍.結合函數(shù)的解析式求導函數(shù)，將其分解因式，利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性， 最后利用函數(shù)的單調性結合函數(shù)的解析式即可確定函數(shù)的最大值.【解析】(1)由題意知,f ' (x)= -(e x+xex)+a=-(x+1)e x+a< 0 在1,+)上恒成立，所以a< (x+1)e 在1,+ g)上恒成立.令 g(x)=- -+(x+1)ex,x.令 m(x)二-ex,貝廿 m (x)=- 一-e x<0,X所以m(x)在(0,+ g)上單調遞減.>0,m(1)<0,所以存在xo>0滿足m(xo)=O,即=.當 x (0,x o),m(x)>O,f' (x)>0;當 x (xo,+ g)時,m(x)<O,f ' (x)<0.所以f(x)在(0,x 0)上單調遞增，在(xo,+ g)上