高一數(shù)學(xué)第五講函數(shù)的定義域與值域講解

1、第五講函數(shù)的定義域與值域一、知識歸納：(一)函數(shù)的定義域與值域的定義：函數(shù)y=f(x中自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的 定義域，與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函 數(shù)值。函數(shù)值的集合f(x £ A叫做函數(shù)的 值域。(二)求函數(shù)的定義域一般有3類問題：1、已知解析式求使解析式有意義的x的集合常用依據(jù)如下：分式的分母不等于 0;偶次根式被開方式大于等于0;對數(shù)式的真數(shù)大于 0,底數(shù)大于0且不等于1;指數(shù)為0時，底數(shù)不等于02、復(fù)合函數(shù)的定義域問題主要依據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義，其包含兩類：已知fg(x的定義域為xC ( a,b)求f(x的定義域，方法是：利用 a求得g(x的值域，則g(x 的值域即是f(

2、x的定義域。已知f(x的定義域為xC (a,b)求fg(x的定義域，方法是：由a求得x的范圍，即為fg(x 的定義域。3、實際意義的函數(shù)的定義域，其定義域除函數(shù)有意義外，還要符合實際問題的要求。(三)確定函數(shù)的值域的原則1、當(dāng)數(shù)y=f(x用表格給出時，函數(shù)的值域是指表格中實數(shù)y的集合。2、當(dāng)函數(shù)y=f(x圖象給出時，函數(shù)的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數(shù)y的集合。3、當(dāng)函數(shù)y=f(x用解析式給出時，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則唯一 確定。常見函數(shù)的值域：函 數(shù)y=k x+by=ax2+b x+cy =y=axy=lo gax值Ra>0a<0y|yR y|y>0

3、R且yR4、當(dāng)函數(shù)由實際問題給出時，函數(shù)的值域由問題的實際意義確定。(四)求函數(shù)值域的方法：1、觀察法，2、配方法，3、判別式法，4、反函數(shù)法，5、換元法，6、圖象法等二、例題講解：【例1】求下列函數(shù)的定義域_(G-峨(1) '六勿一十48門(3y=lg(ax-kbx (a,b>0 且 a,b w,l kC R解析(1)依題有n-41 >o32-4,>li *，晟 31.函數(shù)的定義域為.函數(shù)的定義域為1x|-< x< - Hi* OJJogl 31! 1(3)要使函數(shù)有意義，則ax-kbx>0,即1勺當(dāng)k00時，定義域為Rx> log4 kx&

4、gt; ogd k當(dāng)k>0時，(I )若a>b>0,則不 定義域為x| x< 1% kx< log k(II若0，則 i ,定義域為x| (田若a=b>0,則當(dāng)0時定義域為R ;當(dāng)k>1寸，定義域為空集評析把求定義域的問題等價轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x的不等式(組)的求解問題，其關(guān)鍵是 列全限制條件(組?！纠?1設(shè)y=f(x的定義域為0, 2,求(1) f(x2+x; (2f(|2x-1|; (3f(x+a-f(x-a (a>0 的定義域分析：根據(jù)若f(x的定義域為a,b,則fg(x的定義域為a< g(x0的解集，來解相應(yīng) 的不等式(或不等式組)r +

5、 > 0 之 o或 14-1解：(1)由 002+x02得*刀,2.【CLd I.定義域為-2,-1 U 0,1r_l Ji(2由| 2x1 | 得-202x1 0所以定義域為12 2.Oi x+ a 5 2-旨(3)由"三17c得1八,匚2 7又因a>0,若2-a>即0<a&l時，定義域為x|a <x<0若2-a<a,即a> 1時，xC,此時函數(shù)不存在變式:已知函數(shù)f(x+1的定義域是0, 1,求函數(shù)f(x的定義域。1, 2【例31求下列函數(shù)的值域2,十1/7+3(1)-工-3(2)，(3)廣 丁 川-（分析）（1）可分離常數(shù)

6、后再根據(jù)定義域求值域，也可反解x求值域（2）常數(shù)后再利用配方法求解，也可采用判別式法（3）可以用換元法或者單調(diào)性法解：（1）方法一：分離常數(shù)法2#十12（a-3） + 7 ,77 Ay = 2+ . 0、;*-3”3 x- 3 由 n-3 ，得 了任函數(shù)的值域為（-8, 2） U （2, +oo）方法二：反函數(shù)法2%+1由“n-3 得（'一3）一 （，丁 3）,整理得：（y-2） x=3y+1 ,若 y-2=0,有 3y+1=0 ,與 y-2=0 矛盾3yt 1X若y-2*Q有 廣2 ,yw2 ,函數(shù)的值域為y| y *2（2方法一：配方法97+32,1.33y = = 1 + +f

7、- x + I = （x + - A -工-a+1 f-葉1而24 4-2s.11t II0 < -；4一1<-y| I <y 5 - r- l 3 ,3 ；函數(shù)的值域為,3方法二：判別式法變形得（y-1） x2-（y-1x+y-3=0當(dāng)y=1時，此方程無解I）當(dāng) ywl 時，.xCR .-.= （y-1） 24（y-1（y-3 >0 解得 1<y4.11,111 < yM_K11 <X'.' yl3 , .函數(shù)的值域為3（3）方法一：換元法; " y= -(f+ 1)* + 1 i -令則 t>(a2.22(y.函數(shù)的

8、值域為方法二：單調(diào)性法函數(shù)的定義域門二一/2耳在 2上均是增函數(shù),%7 ,(一,二故戶1 V1-2惠在 2上是增函數(shù)I I r 1y< - 2x S -.函數(shù)的值域為1 iI變式1：已知函數(shù)f(x的的值域是8 9 ,求六“刈+寸1-2”8的值域。3 /41_ I 11 . .1一，f(一一4 1 一 28 4 ，Jl 一 2 f(工)4 一解： 89 , . 94 , 3 ,2令3戶而，則 I 、12 .y = F(t) = (1 - t ) + t=(/* 1)" + 1221 “1v 3 2 ,函數(shù)y=F(t在區(qū)間3 2上遞增.函數(shù)的值域為.變式2：已知 'r +

9、l ,求廣外)的值域3l-,-2 (E) y- <【例4】(1)求 甲'-2 (t>D的值域。y= log( (v - 4a + 5)(2)求函數(shù)3的值域。(分析)(1)分段函數(shù)的值域的求法從局部研究，把握局部和整體的關(guān)系(2)屬復(fù)合函數(shù)y=fg(x的值域問題，先由函數(shù)定義域求出 u=g(x的值域，再在此 值域上求出y=f(u的值域解：(1)若 x&L 貝U x-100,0<3x1WL 有-2<3x-1-2W1,若 x>1,貝U 1-x<0, 0<31-x<1,有-2<31-x-2<-1,綜上有：y|-2(2)函數(shù)的定

10、義域為R六1嗚設(shè) u=x2-4x+5=(x-22+1 貝U - 當(dāng) x C R時，u C 1,+ %y= I% uy< log ,1 = 0又; 3是減函數(shù)，.2函數(shù)的值域是(-8, 0點評：求復(fù)合函數(shù)值域的一般步驟：(1)正確分析函數(shù)的復(fù)合過程，抓住中間變量(2)由x的取值范圍確定中間變量u=g(x的值域，并逐層確定(3)最后確定原函數(shù)的值域，整個過程是由內(nèi)向外逐層解脫。ifO (> 0) y= <變式：函數(shù) ” 的值域(-8, 0【例5】(1)已知函數(shù)=10*s一 +臼71"的值域是R,求實數(shù)a的取值范I(2)若函數(shù)廣蚓，川4'),當(dāng)xC (一巴2時有意

11、義，求實數(shù)a的取值范圍/( A)= ( A - 1) + 1(3)函數(shù) 2的定義域和值域都是1,b (b>1,求b的值解：(1)只要u=ax2+(2a+1x+3能取至I (0, +2 上的所有實數(shù)，則f(x的值域為R,二,當(dāng)a=0時u=x+3能取至U (0, +°°)上的所有實數(shù)。當(dāng)awcW應(yīng)有l(wèi)(2a + l) - 4共”0解得22(2 由題意得，當(dāng) xC(-oo, 2 時，1+2x+a4x>0,"211 , I.n > -= T一)一( TxC ”, 2時， V 42。. A.55'=一(二)，>=T二I ,， a >V

12、42在(-8, 2)上是增函數(shù)。最大值是1616“幻十I(3) v 2在1, b上是增函數(shù)，. f(x在1, b上的值域是1,f(b,一 (6 -1)' +1 = b由題意知f(x在1, b上的值域是1, b, . f(b=b,即2解得b=1(舍去或b=3點評：在熟練掌握求函數(shù)值域的幾種常規(guī)方法的基礎(chǔ)上要對具體題目做具體分析，應(yīng)選擇最優(yōu)的方法求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)法則的作用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作 用。, ai+ bt( v) = (xe R)變式：設(shè) 1+1的值域為-1, 4,求a,b的值(a= M, b=3)5.函數(shù)的定義域與值域復(fù)習(xí)題一、選擇題：1、已知函數(shù)f (

13、x)的定義域為0, 1,那么函數(shù)f (x2-1)的定義域為()A.0, 1 B.1 , 2 C.1 , D.-V： , 1U1, £ 2、函數(shù)y=2-x+1(x>0的反函數(shù)是 ()y-log, xe (1J) y- log, xe (U)AIB 'log, Ae(U) y=-log. xe(U)C - ID3、函數(shù)y = log x+3 (x>)的值域是()A"h)B. (3, +2 C)D. ( 8, +oo)4、函數(shù)y = 2A V*打的值域是()A.-2, 2 B.1 , 2 C.0, 2 D. 、5 ,5、值域是(0, + 2的函數(shù)是()* i

14、Lip _),A.y = 5一2 B.y=(3) ：i C.y= 2 D.J=I 快,門6、函數(shù) 工”的值域是()A.-1, 1 B.0, 1 C.-1, 0 D.1 , 27、函數(shù)y=|x+1|+|x 2|的值域是()A. B. ；-“C. D.8、若 A，= 3 尸 2',P= my =江1；,則 MAP ()A. 3"I B. 3mle.舊戶01 D.卜' i)9、函數(shù) 12的定義域為()A、區(qū)何 b、(rh)4C、D、(-、填空題：1y*10 .函數(shù)L” 一工的定義域為11 .設(shè)單二9二2-1 ,則f(X)的定義域是12 .函數(shù)y=2. I的值域為13 .函數(shù)

15、y=x+ H X的值域為F-1/(1= I14 .函數(shù) F + I的反函數(shù)"的定義域是 三、解答題：h /15 .若函數(shù) 、融十4歐十3的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍16 .若f (x+1)的定義域是 -J),求 工 的定義域。17 .函數(shù)門1)=的定義域是工川，求a的取值范圍。F=/2-三18 .記函數(shù)月+1的定義域為 A, g(x=lg(x-a-1(2a-x (a<1的定義域為 B。(1)求A;(2)若4,求實數(shù)a的取值范圍。19 .某公司有價值a萬元的一條流水線，要提高該流水線的生產(chǎn)能力，就要對其進(jìn)行技術(shù)改造，改造就需要投入，相應(yīng)就要提高產(chǎn)品附加值。假設(shè)附加值y萬元與技術(shù)改造投入 x萬元之間的關(guān)系滿足：y與a-x和x的乘積成正比 x= 2時y=a2;"