一元函數(shù)微分學教案

1、文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持第二章一元函數(shù)微分學一、導數(shù)(一)、導數(shù)概念1、導數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y f(x)在點xo的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量在點xo處取得改變量 x時,函數(shù)f (x)取得相應的改變量，y f(x0x) f(x0),如果當 x 0時，一y的極限x存在，即lim JL lim 止x) f(xo)存在，則此極限值為函數(shù) f (x)在點x0的導數(shù), x o x x ox可記作f (x0)或y|或©yl或df(x) | x xodx lX xodx |x xo2、根據(jù)定義求導數(shù)的步驟(即三步曲)求改變量 y f (x x) f (x)算比值/

2、f(xx)f(x)xx取極限 y f (x) lim -ylim f(x一x)一財x o x x ox例1:根據(jù)定義求y x2在點x 3處的導數(shù)。解：y (3x2_22x)2326 x ( x)2lxmolxmo(6x) 63、導數(shù)定義的幾種不同表達形式f (Xox) f (Xo)f (Xo) lim 1)x ox令 x xo xf(x)f(Xo)2)f (xo) limx xox xof(x) f(Xo) f (xo) lim x o x當=o時 f(o)f(x) f(o)334、左右導數(shù)的定義:如果當x o ( X o )時,l的極限存在,則稱此極限為f(x)在點Xo為右導數(shù)(左導數(shù))，記

3、為ff (Xo)limx of (Xo)limx o(Xo) f (Xo) f(XoX) f(Xo)Xf (Xox) f (Xo)limx o5、函數(shù)limx of(x) f(Xo)x Xof(x) f(Xo)x Xof (x)在點Xo處可導的充要條件:f(X)在點Xo的左、右導數(shù)都存在且相等即fa0)存在f (Xo)= f(Xo )【或lim y 存在lim yx 0 xx 0 x6、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系:lxmo如果函數(shù) 即可導y f (x)在點xo處可導，則連續(xù)f (X)在點Xo處必連續(xù)，反之不一定成立。例如:|x|在X 0處連續(xù)，但不可導。解:|X|X,X 0limX Ilimx

4、 oX,X 00連續(xù)f (Xo)limx of(X) f(Xo)limx o(Xo )limx of(X) f(Xo)7、(o)導數(shù)f (o)xf (o)不存在limx of (Xo)與導函數(shù)區(qū)別: 點)；代。)是數(shù)值,f (X)之間的區(qū)別，聯(lián)系是什么？Xo(a, b),(x0是取定的)；f (x)是函數(shù)X(a,b),(X是任意聯(lián)系:(X)|xxo(Xo)注：導函數(shù)f (X)簡稱導數(shù)8、導數(shù)的物理意義和幾何意義？物理意義：瞬時變化率因變量相對自變量的瞬時變化率幾何意義：曲線y f (x)在點(xo, f (xo)處切線的斜率。此時曲線f( X)過點(Xo, f (Xo)處的切線方程:y f(X

5、o)f (xo)(x Xo)法線方程：y f (x0 )(x例2、根據(jù)定義求y解：yf (Xo) x'x的導數(shù), XXo)(f (Xo)o)lim -yx 0 xX lim x o因此(-X)X或蟲ndxlimx olimx o12、x同理可推導：y例3、根據(jù)定義求n 1y nxsin x的導數(shù)y lim yx 0 xsin( x lim x 0cos(x lim x 0x、.)sin2xx) sin xxx2cosx2cos(xlimx 0X x)sin 22x2因此（sin x） cosx同理可推導（cosx） sin x例4、根據(jù)定義求y ln x的導數(shù)y lim yx 0 xl

6、xm0ln(1limx 0xx F 一)x xln(x x) ln xx1ln ex例5、求正弦曲線sin x在ln(1limx 0-) xxlim ln(1x 0一時的切線方程和法線方程。3解：y cosxy|x-1 cos 32x 時，y3sin 一 3切線方程:即 3x 6y法線方程：y即：12x 6y323,33242(x02(x3,3小結(jié)如何驗證 y f （x）在x0處的可導性:、用定義的三種表達形式之一；也可以用左導數(shù)，右導數(shù)是否存在并且相等；D、下列三種情況之一，函數(shù)在 x0處肯定不可導:函數(shù)在x0處不連續(xù)；函數(shù)在x0處左導數(shù)和右導數(shù)至少有一個不存在;函數(shù)在Xo處左、右導數(shù)都存在

7、，但不相等。（二）、導數(shù)的基本公式與運算法則1、導數(shù)的四則運算、（u例5、yv)4 xsin xIn x解：y4x3cosx、(uv) u v uv當 u C 時，(cu) cu (uvw) u vw uv w uvw例 6、y x7 cosx解：y (x7) cosx x7(cosx)7x6 cosx x7sinx例7、y, ln x loga xln a11斛：y (ln x) ln ax.ln arr1即：(log ax) x. ln a、(u)uuv(v 0)v v例 8、y tanx解:即:(以mcosx(sin x) cosx sin x(cosx)2cos x22cos x si

8、n x2 cos x12- sec x cos x2(tan x) sec x加1斛：y ()cosx類似可得：(csc x)1、(C)0同理可推得(cot x)csc9、(tan x) sec x x例 9、y secx(cosx)sin x22 secx. tanxcos xcos xcscx.cot x2、導數(shù)的基本公式2、(x ) x3、(ax) ax ln a(a 0,a 1)4、(ex)ex5、(loga x)1xln a(a 0, a 1) 6、(ln x)7、(sin x) cosx8、(cos x) sin x210、(cot x) csc x11、(secx) secx t

9、an x12、(cscx) cscxcot x13、(arcsin x) 一1 -14、(arccosx)_1_-1 x215、1(arctan x) 21 x16、(arc cot x)11 x2(三)、求導方法1、復合函數(shù)求法設(shè)函數(shù)y f(u)、u (x)且(x)在點x處可導，f (u)在對應點u處可導，則復合函數(shù)y f (x)在點x處可導，且 叫 f (u) (x)dxdy dy du -df df du或與成.或?qū)懗? dx du dx dx du dx例 10、y cot 3 x解：函數(shù)的復合形式3一,y u、u cotx,32 ,222y (u ) (cot x) 3u ( csc

10、 x) 3cot xcsc x例 11、y In sin x3解：函數(shù)的復合形式y(tǒng) lnw、w sinu、u x31 Z- .cosx sin x322,3.3x 3x .cot x12y cosu.3x w2、分段函數(shù)的求導法設(shè)分段函數(shù)f(x)u(x),x Xo v(x),x X求其導數(shù)f (X)的步驟按導數(shù)公式分別求 u(x)、v(x)判定f (X)在分段點X0處的連續(xù)性，若在分段點 f (X)不連續(xù)，則f (x)在點Xo不可導,如果f (X)在點X0處連續(xù)，則繼續(xù)討論。求分段點的左(右)導數(shù)lim u (x)、lim v (x),如果 lim u (x)X X0XXX X0lim v (

11、x),則 f (x)X X在點X0處可導。X2, X 1例12、設(shè)f(x)，試討論在X 1處的連續(xù)性與可導性。x,x 1解：由于 f (1 0) lim f (x) lim X2 1 X 1X 1f (1 0) lim f (x) lim x 1 X 1X 1所以有 lim f (x) 1 f (1) X 1因此，函數(shù)在點X 1處連續(xù)2f(x) f(1) r X 1 o又由于 f (1) lim lim 2x 1 x 1 x 1 x 1f(1) limkflimX-J 1x 1 x 1 x 1 x 1f (1) f (1) 函數(shù)在x 1處不可導。例 13、求 f (x)1 .一 sin x2x

12、,x0在x 0處導數(shù)。0,x 012.sin x解：f (0) lim lim lim ()2 1x 0 x 0 x 0 x x 0 x即：f (0) 1例 14、設(shè) f(x)2x , x 1ax b, x為使f (x)在x 11處連續(xù)且可導，問 a, b應取何值。解:f (x)在x 1處連續(xù)，則有11m f(x) x 1lim f (x) f (1)x 1lim (ax b) a b 1 ,即 a b 1 x 1f (x)在x 1處可導，則有l(wèi)im f (1) x 1lim f (1)x 12/x 1 ax b 1 lim lim x 1 x 1 x 1 x 1ax a2 lim a (a

13、1 b)x 1 x 1a 2, b 1例15、若f(x)的一階導數(shù)存在，且 f (x0)4，試求f (Xo limx 0x、2) f(xoxxf (Xo)f(xo)解：lim22x 0xx1 f(xo 丁) f(x0)1lim 2 -2) ox2.22x2-) f(xo)xf(xo ) f(xo) f(xolim2x 0xxf(xo -) f(x0)lim 22x ox221 1 2 f (xo) 2 f (xo)f (xo) 43、隱函數(shù)的求導法、方程兩端對自變量 x求導從求導結(jié)果中解出y例 16、 x2 y2 R2解：2x 2yy 0xy (隱函數(shù)求導)y或 y R2 x22xx xy2

14、" R x(x y)cos(xy)4、對數(shù)求導法：小 小 (x 1)(x 2)例18、求y 氣一-的導數(shù)1解：ln y 1ln(x 1) ln(x 2) ln(x 3) 11,111 、 y -()y 2 x 1 x 2 x 31 (x 1)( x 2)111y 2 1, x 3(T1 T"2 x-)例19、求f(x) xsinx的導數(shù)解：ln f (x) sin xln x x2,R2 x2y例 17、sin(xy) ln(x y) 0解：cos(xy)( yxy )f (x)(sin x) ln x sin x(ln x)cosx.ln x1 sin x.-xsinx/

15、. sin xf (x) x (cosxlnx )x或 f(x) xsinxesinx1nxsinxlnx 1、f (x) e (cosx ln x sin x )x5、參數(shù)方程的求導法dy設(shè)參數(shù)方程x，則dy比y (t) dx dxdtsin X /x (cosx(t)(t)lnsin x) xcos(xy)(y xy )(x y) 1 yy(x y) cos(xy) 1xacostdy例20、已知圓的參數(shù)方程為：，求dyyasintdxdycott解 dy dt (asint) acost dx dx (a cost) asintdt x例21、設(shè)參數(shù)方程為：3 ,.a cos tdy3

16、，求一bsin tdxdy 32dy dt (bsin t) 3bsin t.cost用牛32dx dx (acos t) 3acos t( sint) dtb xtant a綜合舉例：2 .例 22、已知 y lncos(10 3x )求 y 12、_解：y 1廣cos(10 3x2)cos(10 3x2)一 ，一 一 2、6xtan(10 3x )sin(10 3x2)(10 3x2) Z27cos(10 3x )例23、1n、；x2y2 arctan 丫確定y是x的函數(shù)，求x1c c解：1ln(x2 y2)2(arctan ) x,(2x2yy)yx y2 xxyyxyy2222xyxy

17、x yy xy y5、高階導數(shù)如果函數(shù)f'(x)的導數(shù)存在，則這個導數(shù)叫做原來函數(shù)yf(x)的二階導數(shù)，記作用極限來描述x) f (x)f''(x) , y'',f (x(x) lim x 0吸且尚或dx dx dxd 2 f (x)dx2如果函數(shù)yf (x)的導數(shù)存在，則這個導數(shù)叫做原來函數(shù) yf (x)的三階導數(shù)，記作y f (x)用極限來描述f (x)x) f (x)xd3y dx3d3f (x)dx3如果函數(shù)y(n1) f (n 1)(x)的導數(shù)存在，則這個導數(shù)叫做原來函數(shù) y f(x)的n階導數(shù),記作yn f n(x)通常把二階和二階以上的導數(shù)

18、稱為高階導數(shù),四階以上用數(shù)字y(4)表示。求高階導數(shù)只要反復地用求一階導數(shù)的方法。例25、求y 解：y ex例26、求y 解：y nxn 即：(xn)(n)ex的n階導數(shù)。x(n)y e yxn的n階導數(shù)。n(n 1)x(n2)(n)y n!例27、解：ff (x)f (0)n!設(shè) f (x) e2(x) ex (x1 22e 2x2求x2)f (x)及 f22xe xx22xe ( 2x)(0)一 x2 一 22e (2x1)同理可推得(cosx)(n) cos(x n.)例28、設(shè) f (x) sin(ln x)求 f (x)解：f1(x) cos(ln x)(ln x) -cos(ln

19、x) xf (x),1、(-)cos(ln x) x1一cos(ln x) x- xsin(ln x).八、1, sin(ln x).x例29、求y sin x的n階導數(shù)。解:y cosx sin( x ) 2cos(x)sin(x 2.)cos(x 2. ) sin(x 3.) 22(4) ycos(x3. )sin(x 4.)y(n) sin(xn-2)二、微分設(shè)函數(shù)y1、微分的定義f (x)在點x0處可導，x是自變量x的改變量，稱f (x0) x為函數(shù)f (x)在點x0處關(guān)于 x的微分，記為dy= f xo x或dy=y例1、y x2在x 1, x 0.1, x 0.01時的增量及微分。

20、222解：y (x x) x 2x x ( x) dy y x2x. x當 x 1, x 0.1 時y 2 1 0.1 (0.1)2 0.21dy 2 1 0.1 0.2 y dy 0.01當 x 1, x 0.01 時y 2 1 0.01 (0.01)20.0201dy210.010.02ydy0.0001當x很小時，y dy更小(即 y dy比x更高階的無窮小)即當x0時，ydy 0dy與y是等價無窮小( x 0) 求自變量x的微分(即求y x的微分)dx dy (x) x 1. x x因此，函數(shù)的微分可以寫成：dy y dx2、分的幾何意義當y是曲線上割線縱坐標的增量時，dy是對切線的縱

21、坐標增量。3、微分與導數(shù)的關(guān)系f(x)在點x可微f(x)在點可導，且dy f (x)dx即f (x)曳所以導數(shù)又叫微商。dx4、微分公式設(shè) y sin x 貝U y cosx即dy cosx 所以微分dy cosxdx dx同理 d (cosx) sin xdx d (ax) ax In adx2 d (tan x) sec xdxd (u v) du dv d (u.v) udv vdu5、一階微分形式的不變性設(shè)y f(u)無論u是自變量還是中間變量，其一階微分都具有形式 dy f(u)du當u是中間變量 u (x)時，dy y dx f (u) (x)dx f (u)du2例2、設(shè)y e

22、，求dy解：dy d(eaxb') eax bx2d(ax bx2)(a 2bx)eax bx2dxax bx2ax bx22ax bx2或 y e e (ax bx ) (a 2bx)e2即：dy (a 2bx)e dx例 3、設(shè) y sin(2x 3),求 dy解：dy cos(2x 3)d(2x 3)2 cos(2x 3)dxxe .yx即：dy JXdxy 1.13.10.021151150 150例7、利用微分求sin 290的近似值。解：令 f (x) sin x, x030° ， x 6180sin 290 f (x)f (x0) f (x0) x,、13sin

23、 cos() 一 一 6618022例8、利用微分求sin 30030的近似值。3.141591800.454解：令 f (x) sin x, x0300 一 ,6sin 30030f (x) f (xo) f (xo) x一.一 13sin 一 cos 66 360223601 01例9、利用微分求e .的近似值。x 3600.5 0.00760.5076解：令 f (x) ex, xo1 , x 0.01e1.01 f (x) f (xo) f (xo) x11_ _e e x 2.71283 2.71283 0.012.71283 0.0271 2.7454例10、證明當x 0時例 4、

24、設(shè) y ex In y ,求 dy一1斛：y e yy1 x(1 )y e y6、微分在近似計算中的應用y dyf(xox) f(xo) f (xo) xf(xo x) f(xo) f (xo) x 令 x x°x ,即 x x xof (x)f (xo) f (xo) x例5、利用微分求 J2的近似值。解：令 f(x) xx, xo 1.96, x 0.042 f(x)f(x0)f (xo) x10.041.96 0.04 1.41.4142J.962.8例6、利用微分求 Vo.02的近似值。解：令 f (x) Vx, xo 1 , x 0.023.0.02f(x)f(xo) f

25、(%) x ln(1 x) x設(shè) f (x)ln(1x)，取 Xo 0 , f (x)1ln(1 x) ln(1 0) (x 0) x1 0即：ln(1 x) x sinx x設(shè) f (x) sin x ,取 x00 , f (x) cosx sin x sin 0 cos0(x 0) x即：sin x x tanx x設(shè) f (x) tanx ,取 x00 , f (x) sec2 x2tanx tan0 sec 0(x 0) x即：tanx x ex 1 x設(shè) f (x) ex,取 x00 , f (x) exex e0 e0 (x 0) 1 x即：ex 1 x1 1 x 1 x n1設(shè)

26、f(x)Q1 x ,取 x0 0 , f (x) - (1 x)n,1,111n.1 x n.1 0(1 0)n (x 0) 1 xnn1 即：n1 x 1 -xn三、導數(shù)的應用(一)、中值定理1、羅爾定理：設(shè)函數(shù) f(x)滿足如下條件:在a,b 上連續(xù)在(a,b)內(nèi)可導 f(a) f(b)則在(a,b)內(nèi)至少存在一點 ，使得f ( ) 0幾何意義:例1、設(shè)f(x)2x3驗證它在區(qū)間1,3上是否滿足羅爾定理的三條件，如果滿足，試求出 的值，使f ( )0解：因為f(x) x2 2x 3是初等函數(shù)，它在(，)內(nèi)連續(xù)，當然在1,3上連續(xù)，因為f (x) 2x 2在(一1, 3)內(nèi)存在，故 f(x)

27、在(1, 3)內(nèi)可導。在區(qū)間端點f( 1) 0、f (3) 0 即：f ( 1)f(3)故函數(shù) f (x)在11, 3滿足羅爾定理的三個條件令 f (x) 2x 2 2(x 1)=0、解得 x 1 x ( 1,3)故存在 1、使得f ( ) 02、拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)f(x)滿足如下條件：在a,b 上連續(xù)在(a,b)內(nèi)可導則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得f ( ) f (b) fb a推論 1：若 f (x) 0 , x (a,b)則 f(x) c(常數(shù))推論 2：若 f (x) g(x), x (a,b)則 f(x) g(x) c例2：驗證函數(shù)f(x) ex在區(qū)間0, 1上滿足拉格朗日中

28、值定理，并找出相應的點f(1) f(0)1 0解：f(x) ex在區(qū)間0, 1上連續(xù)，在(0, 1)內(nèi)可導，且f (x) ex,則函數(shù)在0,1上滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在一點，(0,1),使f ( ) f(1)1 0即：e f(1e 1 , ln(e 1)(0 ln(e 1) 1)1 01 0例 3：證明 | sin a sin b | | a b |證：令f (x) sin x,在區(qū)間a, b上對f (x)應用拉格朗日中值定理，有sin b sin a cos .(b a)ab故 | sin a sin b | | cos .(b a) | | a b |例4：證明當x 0時，ln(

29、1 x) x證：令f (x)ln x ,在區(qū)間1, x+1上對f(x)應用拉格朗日中值定理，有l(wèi)n(1 x)In 11(1 x)1 1x其中1x 故工由上式得ln(1 x) x(二)、羅比塔法則設(shè)函數(shù)f(x), g(x)在a的一個鄰域內(nèi)可導，且limx af(x) 0,lxmbg(x)0在點a的某個領(lǐng)域內(nèi)(點a可以除外)，且g(x) 0limx af (x) g (x)A(或)則網(wǎng)真lim止x a g (x)例5、求limx 0sinx lim 一 x 0 2xcosx2x12例6、求lim3.1 x 113(1 lim 3x 0x)例7、求lim1x 0x xcosx limx 0 x si

30、n xcosx x.sin x 0-：(二)1 cosx2cosx cosx xsin xcosxxe例8、求lim -x 0x2limx 0(0)sinx sinx xcosx 0：(二)sinxx. e .lim1x 0 2x 1xsinx/0、例 9、求lim3-(-)x 0x301 cosx/0、 sinx/0、1sinx 1limz-(一) lim(-) - lim -x 0 3x20 x 0 6x 06 x 0 x 6例 10、求 lim 1n(1 2 x)(0)x 0x201lim 1-xx 0 2x2x(x1)例11、求limx 021x sin一xsin x羅比塔法則失效（P

31、152例6）lim 3.xsinlx 0 sin x xlimxsin-x 0sin x 1說明在羅比塔法則中將x a、改為x法則仍然成立條件改為limf(x)lim g（x） 結(jié)論仍然成立（一）例12、求下列極限limx 2ln xlimxc ln x2 - x1limx2lnlimxlimx2 xax e(a0)()limx立()axaelimx22 ax a elimxln(sin ax)ln(sin bx)asin bx.cosaxlim b xsin ax.cosbx1 a.cosax lim sn x 1,.b.cosbx sin bx例13、求下列極限abx.cos ax /li

32、m 1b xax. cosbxlimxxe ,、F（n為自然數(shù)） （一） xlimxx en nxlimxn(nxe小 n 21)xlimxn!limxn xx elimxn 1 nxx elimxn!x elimxn lnn.(ln x)nlimx例14、limx _2limx 2例15、limx 0例16、limx例17、limx例18、limxn.(ln x)limxn(n 1)(ln x)n 2lim nn!x xtanx求 limx - tan3x212- cos x3cos2 3xsin6xsin2xcotx.(求limxxn 1 nx求limx2x1 limcos3x _ cos

33、223x21lim3x _ 2cosx.( sinx)2 cos3x.( 3sin3x)6cos6x limx - 2cos2x 2ln cotxln xsin x1xln xnxlimxx e2 x(nnx"m0)（一）sin x.cosx. x .lim limx 0 sin xx 0 cosx()()x e lim x 2求下列極限x sinx limz-x 0 2x3(0)1 cosx 06x20 sin x12x12limx am xn xm mx lim = x a nxlimx a其它未定式（0.）（)(00)(1 )(0)例 19、求 lim x( arctanx)x

34、 2一 arctanx 八.29I.lim -(一)limx 10 xx(0.)11 x212x2. x lim x 1 x例 20、求 lim x2 ln x(0.)x 01lx2lim ) limrlim 0x 0 x 2x 02x 3x 02x 1 、,、例 21、求 lim( )()x 1 x 1 ln xxln x x 1 ln x 11 lim lim x 1 (x 1)ln x x 1 x 1 ln xx一 ,11、,例 22、求 lim(-)(x 0 sinx xlnxx 1lim lim sinx z 01 coslim(一) limx 0 x.sin x 0 x 0 sin

35、 x x.c-x 11x 1 1121 ln x2 一xx x)/0sinx(一) lim;x 0 x 0 cosx cosx x.sin x例 23、求 lim (sin x)2x(0°)x 0解：設(shè) y (sin x)2xln y 2xln(sin x)lim ln y lim 2xln(sin x) lim 21n(sinx)(一)x 0x 0x 0 xcosx2-limsin2xlim ( 2x.cosx.x) 0x 0 x x 0sin xlim ln y因此 lim (sin x)2xex 0e01x 0例24、求lim xxx 0(00)解：設(shè)ln yxlnlimx 0

36、lnlim x.lnx 0limx 0In xlimx 0J limx 2 x 0(x) 0limx 0lim x. ln xex 0例25、求 lxm1 X1r"x(1解：設(shè)1 x1 x則ln1 lnxlxm11nln x lim x 1 1 xlim 1lim x 1x 1例26、1lim (cot x)ln xx 0°)解：設(shè)1(cot x)lnx則ln1 .ln cot x ln xlim lnx 0lim ln cot x x 0 ln xlimx 01cotxsin2 xlimx 0cosx. sin x1 lim ln y故 lim (cot x)ln x e

37、x 0x 0(三)、導數(shù)的幾何應用1、函數(shù)的增減性設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導，那么如果在(a,b)內(nèi)f (x) 0,則f (x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加(上升)如果在(a,b)內(nèi)f (x) 0 ,則f (x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少(下降)確定函數(shù)y f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟:求出f (x) 0的點(駐點)及f (x0)不存在的點；確定yf(x)的定義域，由中的點將 f(x)的定義域分成若干個部分區(qū)間；在每個部分區(qū)間上討論f(x)的符號，根據(jù)f (x)在每個部分區(qū)間上的符號，決定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例27、確定函數(shù)f(x) x3 3x的單調(diào)增減區(qū)間。解：f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1

38、)令 f (x) 0,則 x11, x2 1x(,D(11)(1,)y+一+y上升/下降、上升/例28、確定函數(shù)f(x) x3的單調(diào)增減性。解： f (x) 3x2 0函數(shù)f(x) x3在內(nèi)(，)單調(diào)增加2、函數(shù)的極值1、函數(shù)極值的定義：設(shè)函數(shù) y f (x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，且若對鄰域中任何點x恒有f (x) f(x0),則稱f (x0)為函數(shù)的一個極大值，x0稱為函數(shù)f(x)的極大值點；若對鄰域中任何點 x恒有f (x) f(x°),則稱f (x0)為函數(shù)的一個極小值，x0稱為函數(shù) f(x)的極小值點。2、極值點的必要條件：設(shè)函數(shù) f (x)在點x0有導數(shù)，且x0是f

39、(x)的極值點，則函數(shù)在 x0處的導數(shù)f(x0) 0。說明1 :對可導函數(shù)而言，使 f (x0) 0的點叫f(x)的駐點。若f (x)導數(shù)不存在的點也可能是f(x)的極值點。例如：y |x| 1在x0 0處不可導，但y(0) 1是y的極小值。文檔來源為:從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.所以f(Xo)是極值的必要條件又可以敘述為:Xo是駐點或是不可微點。3、極值的第一判定法設(shè)f (x)在Xo及其鄰域可導，且f (Xo)0 (或在Xo處可以不可導，但連續(xù))若f (x)經(jīng)過xo由正變負，則f (Xo)是極大值;若f (X)經(jīng)過Xo由負變正，則f (Xo)是極小值;2o若f (X)經(jīng)

40、過Xo不變號，則f(Xo)不是極值。求極值的步驟: 求f (X)令f (x) o求出所有駐點和不可導點;判別f (X)在駐點和不可導點左右附近的符號變化情況;求出極值。例 29、求 f(X)x2 - 2的極值。2解：f (x) x32x2x(x 1)2令x(x 1)2 o ,駐點為x1o ,X21X(,o)o(o,1)1(1,)y一o十o十y下降、極小值 f(o)=2上升/上升/當x o時，f(x)有極小值f(o) 2 (極小值點為x o)1)2例3。、求函數(shù)f (X) (x 1)2(X 1)3的單調(diào)增減區(qū)間和極值。解：f (x) 2(x 1)(x 1)3 3(x 1)2(X(x 1)(x 1

41、)22(x 1) 3(x 1)(X1)(x 1)2(5x 1)人r 、 ，1X3令 f (x) o,得駐點 X11 ,x2 15文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持34563125f(5)例31、求函數(shù)f (x)x -x3的單調(diào)增減區(qū)間和極值。2x(,1)1(1%皆)1(1,)f (x)十0十0一0十f(x)上升/上升/極大值下降、極小值 f(1)=0上升/當i ， 一 ，一x 時，有極大值 5當x 1時，有極小值 f(1) 01解：f (x) 1 x 3x(,0)0(0,1)1(1,)f (x)十不存在一0十f(x)上升/極大值 f(0)=0下降、極小值f(1)=-1

42、/2上升/可能的極值點x11 (駐點)和，x20 (不可導點)當x 0時，有極大值f(0) 0, 一，一一1當x 1時，有極小值 f (1) 一 24、極值的第二種判定法設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導數(shù)，且 f (x) 0, f (x) 0,則f (x0)0,則f (x0)是極大值f (x0)0,則f (x0)是極小值注：當f (x) 0時(第二判別法失效)3例32、求函數(shù)f (x) x3x的極值。解：f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)f (x) 6x40令 f (x) 0時，得 x11,x2 1f ( 1)6 0,所以f( 1) 2為極大值f (1) 6 0 ,所以f (1)2為極小值3、最大值與最小值、極值的應用問題、最大值、最小值問題求出f (x)在a