二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、二項(xiàng)式定理一、二項(xiàng)式定理：a b n =C0an Clab C：anJV C：bn （ N ”）等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做a b的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)Ck （k =0,1,2,3n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)。對二項(xiàng)式定理的理解：（1）二項(xiàng)展開式有n 1項(xiàng)（2）字母a按降幕排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由 n逐項(xiàng)減1到0；字母b按升幕排列，從 第一項(xiàng)開始，次數(shù)由 0逐項(xiàng)加1到n（3） 二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式，對于任意的實(shí)數(shù)a, b，等式都成立，通過對 a,b取不同 的特殊值，可為某些問題的解決帶來方便。在定理中假設(shè)a = 1, b二x，則1 x n =C；xn C：xn“ C：xn（ n N ”）（4） 要注

2、意二項(xiàng)式定理的雙向功能：一方面可將二項(xiàng)式（a + bf展開，得到一個(gè)多項(xiàng)式；另一方面，也可將展開式合并成二項(xiàng)式a b n二、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：丁二C：aZbk二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) Tk 1二Ckan°bk （k =0,1,2,3n）是二項(xiàng)展開式的第 k 1項(xiàng)，它體現(xiàn)了二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律， 是二項(xiàng)式定理的核心，它在求展開式的某些特定項(xiàng)（如含指定幕的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等）及其系數(shù)等方面有廣泛應(yīng)用對通項(xiàng) Tk1 二C：an'bk （k =0,1,2,3 n）的理解:（1）字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同（2）a與b的次數(shù)之和為n（3）在通項(xiàng)公式中

3、共含有a, b, n,k,Tk1這5個(gè)元素，知道4個(gè)元素便可求第5個(gè)元素例 1 C： +3C； +9C+3ndC：等于()A. 4n B。3 4： Co - -1 D.4133例2. (1 )求(12x)7的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)；193(2)求(X)9的展開式中X3的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)+X三、二項(xiàng)展開式系數(shù)的性質(zhì)：對稱性：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即COn 1n1 2n_2kn _k .n -Cn，Cn -Cn ，Cn -Cn ， Cn - Cn ，增減性與最大值：在二項(xiàng)式展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值。n如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二

4、項(xiàng)式系數(shù)最大，即n偶數(shù)：C： max ；nn卅如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大，即Ck max二CF二CF二項(xiàng)展開式的各系數(shù)的和等于2n，令a=1，b=1即cO+C； +C； =(1+1)n =2n ；奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，令a = 1， b=-1即0 2 1 3 nC n Cn_Cn C n_211例題：寫出(x-y)的展開式中:(1 )二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)項(xiàng)的系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)；(3 )項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng);(4) 二項(xiàng)式系數(shù)的和；(5) 各項(xiàng)系數(shù)的和四、多項(xiàng)式的展開式及展開式中的特定項(xiàng)(1 )求多項(xiàng)式(印 a an)n的展

5、開式，可以把其中幾項(xiàng)結(jié)合轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再利用 二項(xiàng)式定理展開。1例題：求多項(xiàng)式(X22 -2)3的展開式x(2)求二項(xiàng)式之間四則運(yùn)算所組成的式子展開式中的特定項(xiàng)，可以先寫出各個(gè)二項(xiàng)式的通 項(xiàng)再分析。例題：求(1 X)2 (1-X)5的展開式中X3的系數(shù)例題:(1)如果在X 2的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)。(2 )求-2 的展開式的常數(shù)項(xiàng)。【思維點(diǎn)撥】 求展開式中某一特定的項(xiàng)的問題時(shí)，常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法確定k五、展開式的系數(shù)和求展開式的系數(shù)和關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來定例題：已知（1 -2x）7 = a0 - a1x - a2x整

6、除性問題或求余數(shù)的處理方法 解決這類問題，必須構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式 用二項(xiàng)式定理處理整除問題，通常把幕的底數(shù)寫成除數(shù)的倍數(shù)與某數(shù)k的和或差的形式，再利用二項(xiàng)式定理展開，這里的k通常為一1，若k為其他數(shù)，則需對幕的底數(shù)k再次構(gòu)造 a7x7，求：(1)aia2丨 I ( 'a7；( 2)aia3a5*7 ；( 3)|a。| |ai| 11 ( | a71.六、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：1、二項(xiàng)式定理還應(yīng)用與以下幾方面：（1）進(jìn)行近似計(jì)算（2 ）證明某些整除性問題或求余數(shù)（3）證明有關(guān)的等式和不等式。如證明：2>2n（n >3, nw N 取 2“ = （1 +1 j的展開式中

7、的四項(xiàng)即可。2、各種問題的常用處理方法（1）近似計(jì)算的處理方法當(dāng)n不是很大，| x |比較小時(shí)可以用展開式的前幾項(xiàng)求（1 - x）n的近似值。例題：（1.05）2 和或差的形式再展開，只考慮后面（或者是某項(xiàng)）一、二項(xiàng)就可以了 要注意余數(shù)的范圍，對給定的整數(shù)a,b（b = 0），有確定的一對整數(shù) q和r，滿足a = bq r , 其中b為除數(shù)，r為余數(shù)，r b,|b】，利用二項(xiàng)式定理展開變形后，若剩余部分是負(fù)數(shù)，要注意轉(zhuǎn)換成正數(shù) 例題：求201363除以7所得的余數(shù)的計(jì)算結(jié)果精確到 0.01的近似值是（）A. 1.23B. 1.24C. 1.33D. 1.34例題：若n為奇數(shù)，則7n «

8、;：7心，C；7n， 弋：7被9除得的余數(shù)是（）A. 0 Bo 2 Co 7D.81例題：當(dāng) n N 且 n >1,求證 2 (1)n ： 3n【思維點(diǎn)撥】 這類是二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，它的取舍根據(jù)題目而定綜合測試、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的10在X _ 3的展開式中,x6 *的系數(shù)為A. 27C：oB.27C：oC - 9C6o4D. 9C4o已知 a b 0,b = 4a,a b n的展開式按a的降幕排列,其中第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)相等，那么正整數(shù)n等于A. 4B.C. 10D.11已知(.an的展開式的第三項(xiàng)與第二

9、項(xiàng)的系數(shù)的比為11 :2,則A. 10B. 11C4. 5310被8除的余數(shù)是A. 1B. 2c12D.13()3D.7()1.33D.1.34二項(xiàng)式 2- 41I VxA. 1B. 2C. 31 1t，其二項(xiàng)式系數(shù)之和為h,若t+h=2 72，則展開7.設(shè)(3x3+x2)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為式的x2項(xiàng)的系數(shù)是A. 1B. 1C. 22&在(V x-x2)6的展開式中x5的系數(shù)為D. 3( )A. 4B. 5C. 6D. 7（；宵琲）n展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和等于1024，則所有項(xiàng)的系數(shù)中最大的值是10.11.A. 330B. 462C.680D. 790C.X 1)4(X -1

10、)5的展開式中,4X的系數(shù)為A. 40B. 10C.40D. 45二項(xiàng)式（1+sinx）n的展開式中，末尾兩項(xiàng)的系數(shù)之和為且系數(shù)最大的一項(xiàng)的值為則x在0 , 2 n 內(nèi)的值為A.或上6312.在（1+X）5 + （1+X）6+（1+X）7的展開式中，含X4項(xiàng)的系數(shù)是等差數(shù)列an=3n 5 的A.第2項(xiàng)B. 第11項(xiàng)C. 第20項(xiàng)D. 第24項(xiàng)二、填空題：本大題滿分 16分，每小題4分，各題只要求直接寫出結(jié)果 13. （x2 -丄）9展開式中X9的系數(shù)是 .2x14. 若（2x + J3 ） =a° +ax + +a4X，則（a。+a? +a4 f - +a3 f 的值為15. 若（x

11、3，x ）n的展開式中只有第 6項(xiàng)的系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 16. 對于二項(xiàng)式（1-x） 1999，有下列四個(gè)命題:展開式中 T1000 =1000999 ；C1999X ； 展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是1; 展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1000項(xiàng)和第1001項(xiàng); 當(dāng)x=2000時(shí)，（1-X） 1999除以2000的余數(shù)是1.其中正確命題的序號(hào)是 .（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）三、解答題：本大題滿分 74分.A17.三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.（12分）若（6 x 6）n展開式中第二、<x（1）求n的值；（2）此展開式中是否有常數(shù)項(xiàng)，為什么?118. （12分）已知（2x）n的

12、展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37,求展式中二項(xiàng)4式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù).19. （12分）是否存在等差數(shù)列 a、使a1C0n a2C； a3c2 an .Q； = n公對任意n 3 n*都成立？若存在，求出數(shù)列 'an ?的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由.20. （ 12分）某地現(xiàn)有耕地100000畝，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加 22%，人均糧食占 有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增加率為 1%,那么耕地平均每年至多只能減少多少 畝（精確到1畝）？11 ,這是21. (12分)設(shè)f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、N)，若其展開式中，關(guān)于x的一次項(xiàng)系數(shù)為試問：m、n取何值時(shí)，f(x)的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值，并求出這個(gè)最小值22. (14分)規(guī)定C；二一以一山1)，其中xR,m是正整數(shù)，且C0=1,m!組合數(shù)C： (n、m是正整數(shù)，且 mW n)的一種推廣.3(1