二項式定理知識點總結

1、二項式定理一、二項式定理：a b n =C0an Clab C：anJV C：bn （ N ”）等號右邊的多項式叫做a b的二項展開式，其中各項的系數(shù)Ck （k =0,1,2,3n）叫做二項式系數(shù)。對二項式定理的理解：（1）二項展開式有n 1項（2）字母a按降幕排列，從第一項開始，次數(shù)由 n逐項減1到0；字母b按升幕排列，從 第一項開始，次數(shù)由 0逐項加1到n（3） 二項式定理表示一個恒等式，對于任意的實數(shù)a, b，等式都成立，通過對 a,b取不同 的特殊值，可為某些問題的解決帶來方便。在定理中假設a = 1, b二x，則1 x n =C；xn C：xn“ C：xn（ n N ”）（4） 要注

2、意二項式定理的雙向功能：一方面可將二項式（a + bf展開，得到一個多項式；另一方面，也可將展開式合并成二項式a b n二、二項展開式的通項：丁二C：aZbk二項展開式的通項 Tk 1二Ckan°bk （k =0,1,2,3n）是二項展開式的第 k 1項，它體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律， 是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特定項（如含指定幕的項、常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等）及其系數(shù)等方面有廣泛應用對通項 Tk1 二C：an'bk （k =0,1,2,3 n）的理解:（1）字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同（2）a與b的次數(shù)之和為n（3）在通項公式中

3、共含有a, b, n,k,Tk1這5個元素，知道4個元素便可求第5個元素例 1 C： +3C； +9C+3ndC：等于()A. 4n B。3 4： Co - -1 D.4133例2. (1 )求(12x)7的展開式的第四項的系數(shù)；193(2)求(X)9的展開式中X3的系數(shù)及二項式系數(shù)+X三、二項展開式系數(shù)的性質：對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即COn 1n1 2n_2kn _k .n -Cn，Cn -Cn ，Cn -Cn ， Cn - Cn ，增減性與最大值：在二項式展開式中，二項式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值。n如果二項式的幕指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二

4、項式系數(shù)最大，即n偶數(shù)：C： max ；nn卅如果二項式的幕指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等并最大，即Ck max二CF二CF二項展開式的各系數(shù)的和等于2n，令a=1，b=1即cO+C； +C； =(1+1)n =2n ；奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，令a = 1， b=-1即0 2 1 3 nC n Cn_Cn C n_211例題：寫出(x-y)的展開式中:(1 )二項式系數(shù)最大的項；(2)項的系數(shù)絕對值最大的項；(3 )項的系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項;(4) 二項式系數(shù)的和；(5) 各項系數(shù)的和四、多項式的展開式及展開式中的特定項(1 )求多項式(印 a an)n的展

5、開式，可以把其中幾項結合轉化為二項式，再利用 二項式定理展開。1例題：求多項式(X22 -2)3的展開式x(2)求二項式之間四則運算所組成的式子展開式中的特定項，可以先寫出各個二項式的通 項再分析。例題：求(1 X)2 (1-X)5的展開式中X3的系數(shù)例題:(1)如果在X 2的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項。(2 )求-2 的展開式的常數(shù)項?！舅季S點撥】 求展開式中某一特定的項的問題時，常用通項公式，用待定系數(shù)法確定k五、展開式的系數(shù)和求展開式的系數(shù)和關鍵是給字母賦值，賦值的選擇則根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來定例題：已知（1 -2x）7 = a0 - a1x - a2x整

6、除性問題或求余數(shù)的處理方法 解決這類問題，必須構造一個與題目條件有關的二項式 用二項式定理處理整除問題，通常把幕的底數(shù)寫成除數(shù)的倍數(shù)與某數(shù)k的和或差的形式，再利用二項式定理展開，這里的k通常為一1，若k為其他數(shù)，則需對幕的底數(shù)k再次構造 a7x7，求：(1)aia2丨 I ( 'a7；( 2)aia3a5*7 ；( 3)|a。| |ai| 11 ( | a71.六、二項式定理的應用：1、二項式定理還應用與以下幾方面：（1）進行近似計算（2 ）證明某些整除性問題或求余數(shù)（3）證明有關的等式和不等式。如證明：2>2n（n >3, nw N 取 2“ = （1 +1 j的展開式中

7、的四項即可。2、各種問題的常用處理方法（1）近似計算的處理方法當n不是很大，| x |比較小時可以用展開式的前幾項求（1 - x）n的近似值。例題：（1.05）2 和或差的形式再展開，只考慮后面（或者是某項）一、二項就可以了 要注意余數(shù)的范圍，對給定的整數(shù)a,b（b = 0），有確定的一對整數(shù) q和r，滿足a = bq r , 其中b為除數(shù)，r為余數(shù)，r b,|b】，利用二項式定理展開變形后，若剩余部分是負數(shù)，要注意轉換成正數(shù) 例題：求201363除以7所得的余數(shù)的計算結果精確到 0.01的近似值是（）A. 1.23B. 1.24C. 1.33D. 1.34例題：若n為奇數(shù)，則7n «

8、;：7心，C；7n， 弋：7被9除得的余數(shù)是（）A. 0 Bo 2 Co 7D.81例題：當 n N 且 n >1,求證 2 (1)n ： 3n【思維點撥】 這類是二項式定理的應用問題，它的取舍根據(jù)題目而定綜合測試、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的10在X _ 3的展開式中,x6 *的系數(shù)為A. 27C：oB.27C：oC - 9C6o4D. 9C4o已知 a b 0,b = 4a,a b n的展開式按a的降幕排列,其中第n項與第n+1項相等，那么正整數(shù)n等于A. 4B.C. 10D.11已知(.an的展開式的第三項與第二

9、項的系數(shù)的比為11 :2,則A. 10B. 11C4. 5310被8除的余數(shù)是A. 1B. 2c12D.13()3D.7()1.33D.1.34二項式 2- 41I VxA. 1B. 2C. 31 1t，其二項式系數(shù)之和為h,若t+h=2 72，則展開7.設(3x3+x2)n展開式的各項系數(shù)之和為式的x2項的系數(shù)是A. 1B. 1C. 22&在(V x-x2)6的展開式中x5的系數(shù)為D. 3( )A. 4B. 5C. 6D. 7（；宵琲）n展開式中所有奇數(shù)項系數(shù)之和等于1024，則所有項的系數(shù)中最大的值是10.11.A. 330B. 462C.680D. 790C.X 1)4(X -1

10、)5的展開式中,4X的系數(shù)為A. 40B. 10C.40D. 45二項式（1+sinx）n的展開式中，末尾兩項的系數(shù)之和為且系數(shù)最大的一項的值為則x在0 , 2 n 內的值為A.或上6312.在（1+X）5 + （1+X）6+（1+X）7的展開式中，含X4項的系數(shù)是等差數(shù)列an=3n 5 的A.第2項B. 第11項C. 第20項D. 第24項二、填空題：本大題滿分 16分，每小題4分，各題只要求直接寫出結果 13. （x2 -丄）9展開式中X9的系數(shù)是 .2x14. 若（2x + J3 ） =a° +ax + +a4X，則（a。+a? +a4 f - +a3 f 的值為15. 若（x

11、3，x ）n的展開式中只有第 6項的系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是 16. 對于二項式（1-x） 1999，有下列四個命題:展開式中 T1000 =1000999 ；C1999X ； 展開式中非常數(shù)項的系數(shù)和是1; 展開式中系數(shù)最大的項是第1000項和第1001項; 當x=2000時，（1-X） 1999除以2000的余數(shù)是1.其中正確命題的序號是 .（把你認為正確的命題序號都填上）三、解答題：本大題滿分 74分.A17.三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列.（12分）若（6 x 6）n展開式中第二、<x（1）求n的值；（2）此展開式中是否有常數(shù)項，為什么?118. （12分）已知（2x）n的

12、展開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于37,求展式中二項4式系數(shù)最大的項的系數(shù).19. （12分）是否存在等差數(shù)列 a、使a1C0n a2C； a3c2 an .Q； = n公對任意n 3 n*都成立？若存在，求出數(shù)列 'an ?的通項公式；若不存在，請說明理由.20. （ 12分）某地現(xiàn)有耕地100000畝，規(guī)劃10年后糧食單產比現(xiàn)在增加 22%，人均糧食占 有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增加率為 1%,那么耕地平均每年至多只能減少多少 畝（精確到1畝）？11 ,這是21. (12分)設f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、N)，若其展開式中，關于x的一次項系數(shù)為試問：m、n取何值時，f(x)的展開式中含x2項的系數(shù)取最小值，并求出這個最小值22. (14分)規(guī)定C；二一以一山1)，其中xR,m是正整數(shù)，且C0=1,m!組合數(shù)C： (n、m是正整數(shù)，且 mW n)的一種推廣.3(1