最新復(fù)變函數(shù)試題庫(kù)

1、精品文檔精品文檔復(fù)變函數(shù)論試題庫(kù)梅一 A111復(fù)變函數(shù)考試試題(一)dz1、 ""z z°)n.(n為自然數(shù))2. sin z cos z3.函數(shù)sin z的周期為f(z)4.設(shè)1z21 ,則f (z)的孤立奇點(diǎn)有nz n的收斂半徑為6.若函數(shù)f(z)在整個(gè)平面上處處解析，則稱它是什 lim zn7.若nlim ,則nZiz2znn10.若z0是f (z)的極點(diǎn),則三.計(jì)算題(40分)：f(z)1.設(shè)內(nèi)的羅朗展式1lim f (z)z Z01(z 1)(z 2)求 f(z)在 D z:0 |z| 1dz.2 . |z| 1 cosz,、3 2 71一 .3 .設(shè)f

2、(z) c其中 C (z:|z| 3,試求 f'(1 i).z 1 w 4 .求復(fù)數(shù) z 1的實(shí)部與虛部.四.證明題.(20分)1 .函數(shù)f (z)在區(qū)域D內(nèi)解析.證明：如果 |f(z)| 在D內(nèi)為常數(shù),z e Res(二,0) 8. z,其中n為自然數(shù).sin z9.的孤立奇點(diǎn)為z那么它在D內(nèi)為常數(shù).2.試證：f (z) /I1z)在割去線段0 Rez 1的z平面內(nèi)能分出兩個(gè)單值解析分支，并求出支割線 0 Rez 1上岸取正值的那支在z 1的值.復(fù)變函數(shù)考試試題(二)填空題.(20分)1 .設(shè)z i,則|z| ,argz ,z 2 . 設(shè) f (z) (x2 2xy) i(1 sin

3、(x2 y2), z x iy C三.計(jì)算題.(40分)3、1 .求函數(shù)sln(2z)的哥級(jí)數(shù)展開(kāi)式2 .在復(fù)平面上取上半虛軸作割線.試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)7 z在正則實(shí)軸取正實(shí)值的一個(gè)解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點(diǎn)及右沿的點(diǎn)z i處的值.3.|z zo|dz1(z zo)n.(n為自然數(shù))i3.計(jì)算積分： Ii|z|dz, 積分路徑為(1)單位圓(| z| 1)的右半圓.4.哥級(jí)數(shù)nzn的收斂半徑為n 05 .若zo是f(z)的m階零點(diǎn)且m>0,則zo是f'(z)的 零點(diǎn).6 .函數(shù)ez的周期為.537 .萬(wàn)程2z z 3z 8 0在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ，1，8 .設(shè)f

4、(z) 2,則f(z)的孤立奇點(diǎn)有 .1 z9.函數(shù)f(z) |z|的不解析點(diǎn)之集為 .4.求lz 210.R吟1,1)sin zdz四.證明題.(20分)1 .設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是f (z)在D內(nèi)解析.2 .試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.復(fù)變函數(shù)考試試題(三)二.填空題.(20分)1 一 .、1 .設(shè)f (z) 一，則f (z)的定義域?yàn)?.z 12 .函數(shù)ez的周期為.3.若 zn -2 i (1 -)n ,則 lim Zn 1 n n n224. sin z cos z.dz2.試求哥級(jí)數(shù)nn!的收斂半徑5.|Z Zo|1(ZZ0)n. (

5、n為自然數(shù))3.算下列積分:eZdzCz2(z2 9)其中C是|z|1.復(fù)變函數(shù)考試試題(四)6 . 哥級(jí)數(shù)nxn的收斂半徑為.n 0一 17 .設(shè)f(Z) F ；,則f(Z)的孤立奇點(diǎn)有 Z 18 .設(shè) ez1,則 z .9 .若z0是f (z)的極點(diǎn)，則lim f (z).z Z0z_ e _10 . Res(en,0) .z三.計(jì)算題.(40分)11. 將函數(shù)f (z) z2eZ在圓環(huán)域0 z 內(nèi)展為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù).4.求z9 2z6 z2 8z 2 0在 z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù).四.證明題.(20分)1 .函數(shù)f (z)在區(qū)域D內(nèi)解析.證明：如果 |f(z)|在D內(nèi)為常數(shù)，那么它

6、在D內(nèi)為常數(shù).2 .設(shè)f (Z)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個(gè)正整數(shù)n,以及兩個(gè)正數(shù)R及M使彳導(dǎo)當(dāng)| Z| R時(shí)| f(z)| M |z|n,證明f (z)是一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù)。二.填空題.(20分)11 .設(shè)z ，則1 i2 .若lim4,則nRez ,Imz lim z1 z2 zn nn3 .函數(shù)ez的周期為.一 ，1，一，4 .函數(shù)f(z) 2的寨級(jí)數(shù)展開(kāi)式為1 z25 .若函數(shù)f(z)在復(fù)平面上處處解析，則稱它是 .6 .若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的.7 .設(shè)C:| z| 1,則(z 1)dz . Csin z8 .的孤立奇點(diǎn)為.9 .

7、若z0是f (z)的極點(diǎn)，則lim f (z).z z0ze10 . Res(,0).z 3 .計(jì)算題.(40分)31 .解方程z 10.ze2 .設(shè) f(z) ，求 Res(f(z),). z 13.|z|2(9 z2)(z一dz.i)1一- z4.函數(shù) f (z) e 11z有哪些奇點(diǎn)？各屬何類型(若是極點(diǎn)，指明它的階數(shù)).4 .證明題.(20分)1 .證明：若函數(shù) f (z)在上半平面解析，則函數(shù) f (z)在下半平面解 析.2.證明z4 6z 3 0方程在1 |z| 2內(nèi)僅有3個(gè)根.復(fù)變函數(shù)考試試題(五)二.填空題.(20分)1 .設(shè)z 1 7 3,則|z| ,argz ,zz2 .當(dāng)

8、z 時(shí)，e為實(shí)數(shù).3 .設(shè) ez1,則 z .z4 . e的周期為.5 .設(shè)C :| z| 1,則(z 1)dz C ''ez1小6 . Res(,0)z7 .若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是 的。一 ，1 ，一，8 .函數(shù)f (z) 2的哥級(jí)數(shù)展開(kāi)式為1 z2sin z9 .的孤立奇點(diǎn)為.、幾一E110 .設(shè)C是以為a心，為半徑的圓周，則 1dzC(z a)(n為自然數(shù))三.計(jì)算題.(40分)z 11.求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.z 12.計(jì)算積分：I l Rezdz,在這里L(fēng)表示連接原點(diǎn)到1 i的直線段.2 d3. 求積分：I 2 ,其中0<a&l

9、t;1 .0 1 2acos a4. 應(yīng)用儒歇定理求方程 z (z),在|z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù)，在這里 (z)在| z| 1上解析，并且| (z) | 1.四.證明題.(20分)21 .證明函數(shù) f (z) |z| 除去在z 0外，處處不可微.2 .設(shè)f (z)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個(gè)正整數(shù)n,以及兩個(gè)數(shù) R及m,使得當(dāng)| z | R時(shí)| f(z)| M |z|n,i).證明：f(z)是一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù).復(fù)變函數(shù)考試試題(六)1.一、填空題(20分)n 21°一1 .若 Zn J i(1)n,則 limZn .1 nn12 .設(shè) f(z), 則 f(z) 的 定

10、義域?yàn)閦2 1., ix10.公式 e cosx isinx 稱為、計(jì)算題(30分)1、lim n3712、設(shè) f (z) c-d ，其中 C z: z 3 ,試求 f (1ze3、設(shè) f (z),求 Res( f (z),i). z 1sin z 函數(shù)sin z的周期為. 一一 22 sin z cos z . 哥級(jí)數(shù) nzn的收斂半徑為. n 06.若z0是f(z)的m階零點(diǎn)且 m 1,則z0是f(z)的 零與八、.7.若函數(shù)f(z)在整個(gè)復(fù)平面處處解析，則稱它是 . 8.函數(shù)f (z) z的不解析點(diǎn)之集為.、53.、.4、求函數(shù)9卷在0 z 內(nèi)的羅朗展式 zz 1 ,5、求復(fù)數(shù)w 的實(shí)部

11、與虛部. z 1-i6、求e 3的值.三、證明題(20分)1、方程z9.方程2z z 3z 8 0在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 . 9z6 6z3 1 0在單位圓內(nèi)的卞的個(gè)數(shù)為6.2、若函數(shù)f (z) u(x, y) iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，v(x, y)等于常數(shù),則f (z)在D恒等于常數(shù)13、若zo是f(z)的m階零點(diǎn)，則zo是的m階極點(diǎn). f二.填空題1.試卷一至十四參考答案復(fù)變函數(shù)考試試題(一)參考答案6 .計(jì)算下列積分.(8分)2. 1；3.2k，(k z)4. z i ;5.?z 2- (zsin z2)(2)?z6.整函數(shù);7.；8.(n7.計(jì)算積分0 5 3cos8 .求下列騫

12、級(jí)數(shù)的收斂半徑.(6 分)10.三.計(jì)算題.(6分)1.解因?yàn)?1,所以01)!9. 0;n n(1 i) z ;n 1(2)(n!)、nn z , n i n9.設(shè)f(z) my3 nx2y i(x3 Ixy2)為復(fù)平面上的解析函數(shù)， 試確定l ,m , n的值.(6分)三、證明題.1 .設(shè)函數(shù)f (z)在區(qū)域D內(nèi)解析，f (z)在區(qū)域D內(nèi)也解析，證明f(z)必為常數(shù).(5分)2 .試證明az az b 0的軌跡是一直線，其中 a為復(fù)常數(shù)，b為實(shí)常 數(shù).(5分)f(z)(z 1)(z 2)2.解因?yàn)閦 -Res f (z) lim2z 2 8sz1 z 2(1 e)(f)n.limz 2si

13、n z1,Res f (z)z _2z -lim 2z cosz21.lim 1.z _ sin z2令 f (z) u iv,則 f(z)2u2 v2 c2.兩邊分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)數(shù)，得uux vvx 0 (1)UUy VVy 0 (2)2 i(Resf(z)z _2Resf(z) 0.z _ 223.解令()371,則它在z平面解析，由柯西公式有在z 31所以-dz|z| 2 cosz內(nèi)，fc2 2 i.所以 f (1 i) 2 i (z) z 1 i 2 i(13 6i) 2 ( 6 13i).4.解令z a bi,則因?yàn)楹瘮?shù)在D內(nèi)解析，所以Ux Vy,Uy Vx.代入(2)則上述方程

14、組變?yōu)閁Ux VVx 022.消去 Ux得，(U V )Vx 0.VUx UVx 0221) 若U v 0,則f (z) 0為常數(shù).2) 若Vx 0,由方程(1) (2)及 C. R.方程有Ux 0, Uy 0 ,Vy 0.2b(a 1)2 b2所以u(píng) c1,vc2. (G,c2為常數(shù)).2(a 1 bi) 12(a 1)(a 1)2 b2 (a 1)2 b2_ z 1故 Re(一 ) 1z 12(a 1)(a 1)2 b2Im(- z2b(a 1)2 b2所以f (z) g 心為常數(shù).四.證明題.2.證明f(z) Jz(1 z)的支點(diǎn)為z 0,1.于是割去線段0 Rez 1的1.證明設(shè)在D內(nèi)

15、f (z) C.z平面內(nèi)變點(diǎn)就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周，故能分出兩個(gè)單值解析分支.由于當(dāng)z從支割線上岸一點(diǎn)出發(fā)，連續(xù)變動(dòng)到z 0,1時(shí)，只有z的幅角增加.所以f(z)Jz(1 z)的幅角共增加-.由已知所取分支在支割線上岸取正值于是可認(rèn)為該分支在上岸之幅角為0,因而此分支在 z1的幅角為,i 2k則 f(z) 、, z re 2 , (k 0,1).又因?yàn)樵谡龑?shí)軸去正實(shí)值，所以 k 0.i_所以 f (i) e4.復(fù)變函數(shù)考試試題(二)參考答案二.填空題1.1 ，2. 3 (1 sin2)i；3.5. m4.1；6. 2k(kz).7. 0;8. i ；9. R；10. 0.計(jì)算題3 .1.解

16、sin(2z )(1)n(2z3)2n 1(1)n 22n1 6nz0(2n 1)!n 0(2n 1)!2.解令z rei3.單位圓的右半圓周為 z ei ,-22i二 ii ;所以 i zdz 2 de e 2 2i ."22.4.解sin zL'|z 22dz 2 i(sinz)(z -)2z2四.證明題.1.證明(必要性)令f (z)c12 i coszz 一2=0.6,則f(z) g 心.(a。為實(shí)常數(shù)).令 u(x, y) c1，v(x, y)c2.則 Ux Vy Uy Vx 0 .即u,v滿足C. R.,且Ux,Vy,Uy,Vx連續(xù)，故f(z)在D內(nèi)解析.(充分性

17、)令f (z) u iv ,則f (z)u iv,因?yàn)閒(z)與f (z)在D內(nèi)解析，所以Ux Vy,Uy Vx,且 Ux (V)yVy,Uy( V*)”.比較等式兩邊得UxVyUyVx0 .從而在D內(nèi)U,V均為常數(shù)，故f (z)在D內(nèi)為常數(shù).2.即要證 任一 n次方程a°zn azn 1anz an0 0)有且只有證 明R maxn個(gè)根”.令a1af(z)an,1(z)|同出由儒歇定理知在圓an 1na°z內(nèi),ann 1a1zan 1Z an 0C：z r(aif(z).方程a0znna1Zan)Rn1iZRn .an2.解 lim n所以收斂半徑為3.解令f(z)lim

18、ne.n!n nz2(z2 9)故原式 2 i Re°s f(z)(n 1)n1(n1)!n lim(一 n)n nlim(1 n1、n)e. nRes f (z)z 0zez2 9a0Zn0有相同個(gè)數(shù)的根.而na0ZR內(nèi)有一個(gè)重根0.因此n次方程在z內(nèi)有個(gè)根.復(fù)變函數(shù)考試試題(三)參考答案二.填空題.1. z zi,2. 2k(kz);3.1 ei;4.1;5.6. 1;7.8.z (2k 1) i;9.10.(n 1)!.計(jì)算題.1.2 二1.解 z ezz2(112!z2n 2 z0 n!4.解令f (z)則在C : z 由儒歇定理有N(f ,C)四.證明題.1.證明 證明z9

19、 2z62 i92 z1上f(z)與2,(z)(z)均解析，8z.且 f(z)N(f ,C)1.即在內(nèi)，方程只有一個(gè)根.設(shè)在D內(nèi)f (z)令 f (z) u iv,則 f (z)2兩邊分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)數(shù)，得因?yàn)楹瘮?shù)在uuxVUxD內(nèi)解析，所以u(píng)xC.VVxUVx0.消去ux得，(u0UUxUUyvvyVy,uyVx .代入(2)則上述方程組變22、V )Vx0.1)v2 0,則f(z) 0為常數(shù).2)若vx0,由方程 (1) (2)及 C. R.方程有Ux0, Uy0,(n 1)!三.計(jì)算題.1.vy0.解:2kz cos-所以U Ci,vC2.(Ci,C2為常數(shù)).所以f(z)ic2為常

20、數(shù).z2cos3 cosi sin3i sin33 . i2isin-2k0,1,22.證明f (k)(0)取k!2 lzlrf(z)k 1 zdz則對(duì)k!Mrnkr切正整數(shù) k nz32.于是由r的任意性知對(duì)一切nn均有 f(k)(0) 0.故 f (z)CnZn ,即 f(z)是0個(gè)至多n次多項(xiàng)式或常數(shù).復(fù)變函數(shù)考試試題(四)參考答案.二.填空題.,111.,;2.;3. 2k i (k z) ;4.22(1)nz2n(z 1);5.整函數(shù)；n 06.亞純函數(shù)；7. 0;8. z 0;9.;10.3.4.k5cos一3isin解 Res f (z)故原式 2原式 21ez 11, 2,.1

21、lim(z 0 ez3zez 1i (Res f (z)z 1i Res f (z)z i3. i2e萬(wàn)，Res f (z)Resf(z)z(ez1)i(ez z ze e zezi29 z2令 z(ez1)z(ezez 11)zlim -z 0 eze 1).zezze0,zz0為可去奇點(diǎn)2k i2ki 時(shí)，(k 0),zez 1 0(ez1)z而一階極點(diǎn).四.證明題.ez 12k iz zez 2k iz 2k i 為1.證明設(shè)F(z)z的點(diǎn)，考慮f (z),在下半平面內(nèi)任取一點(diǎn)zo, z是下半平面內(nèi)異2.lim F(z) F(z0)zz0z。,()證明z z0lim f(z)f(zo)z

22、 z0z z0limz z0f(z) f(z。)z z0z在上半平面內(nèi)，已知f (z)在上半平面解析，因此f (z0),從而F(z) f (z)在下半平面內(nèi)解析.令 f(z) 6z 3,且在 C1：|z 2上，|f(z)(z)154z , (z)則f(z)與(z)在全平面解析，16,故在z在 C2: z故在z2內(nèi) N(f C)1 上，|f(z) 31 內(nèi) N(f C)N( C)(z) 1,N(f,C2)4.1.所以f2內(nèi)僅有三個(gè)零點(diǎn),即原方程在1 z 2內(nèi)僅有三個(gè)根.復(fù)變函數(shù)考試試題(五)參考答案一.判斷題.1. V2 . V 3 . X 4 .二.填空題.1.2,- , 1 ,3i ;3.

23、(2 k 1) i , 6. 0;7.亞純函數(shù);0 n 1.計(jì)算題.1.解令zX 6.x 7.x8.，9.，10.，.2. a 2k i(kz,a為任意實(shí)數(shù)(kz)；8.n 2n1) z4. 2ki,(kz)；5.0;bi,2(a1 bi)(a 1)2 b2(z1);9. 0;10.2(a1)(a 1)2 b22b(a 1)2 b2 .故 Re(-z-)z 12.解連接原點(diǎn)及故 Re zdzc2(a 1).22 , Im(a 1) bi的直線段的參數(shù)方程為Re(1dzizi)t (1 i)dt (12b(a 1)2 b2 .z (1 i)t 0 t 1,11 ii) tdt0211rozzaa

24、 1),由殘數(shù)定理有Res f (z)z a12I -2 iResf(z)2,(0i z a 1 a4.解令 f(z) z,則 f (z),(z) 1 |f(z)|, 所以在z 1內(nèi)，N(f ,C) 一個(gè)根.四.證明題.1.證 明 因 為Ux 2x, Uy 2y,Vx Vy 0.2/1、2 (z a)(1 az)1 2acos a 1 a(z z ) a ,z1dz1故I -，且在圓|z 1內(nèi)f(z)只以i 閏1 (z a)(1 az)(z a)(1 az)za 為一級(jí)極點(diǎn)，在 z1 上無(wú)奇點(diǎn)，故a 1).(z)在z 1內(nèi)解析，且在C:|z 1上,N(f,C) 1,即原方程在 z 1內(nèi)只有22U(x, y) X y,v(x, y) 0,故復(fù)變函數(shù)考試試題(六)參考答案二、填空題：1.1 ei 2. z 13. 24. 15.16. m 1階 7.整函數(shù)8. £9.010.歐拉公式三、計(jì)算題：1 .解：因?yàn)镠 二限1, | 6 I 9 366故 lim(")n 0. n 62 .解：Q 1 i J2 3,f(z)這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在z平面上處處連續(xù)，但只在z 0處滿足C. R.條件,故f(z)只在除了 z 0外處處不可微2.證明f(k)(0)取 r R , 旦生| dz 2 lz r| zk 1