判定平行四邊形的五種方法

1、判定平行四邊形的五種方法平行四邊形的判定方法有：（1 ）證兩組對邊分別平行；（2）證兩組對邊分別相等；（3）證一組對邊平行 且相等；（4）證對角線互相平分；（5）證兩組對角分別相等。下面以近幾年的中考題為例說明如何證明四邊 形是平行四邊形。一、兩組對邊分別平行如圖1,已知 ABC是等邊三角形， D E分別在邊BG AC上，且CD=CE連結(jié)DE并延長至點F,使EF=AE 連結(jié)AF、BE和CFAd C（1）請在圖中找出一對全等三角形，并加以證明； 判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由。解：（1）選證 BDEA FEC證明： ABC是等邊三角形， BC=ACZ ACD=60CD=CEBD=A

2、EA EDC 是等邊三角形 DE=ECZ CDEM DEC=60/ BDEM FEC=120又 EF=AE BD=FEBDEA FEC（2）四邊形ABDF是平行四邊形理由：由（1）知， ABC EDC AEF都是等邊三角形/ CDEM ABCM EFA=60 AB/ DF, BD/ AF四邊形ABDF是平行四邊形。點評：當(dāng)四邊形兩組對邊分別被第三邊所截，易證截得的同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角相等時，可證四邊形的兩組對邊分別平行，從而四邊形是平行四邊形。一組對邊平行且相等例2 已知：如圖2，在正方形 ABCD中, G是CD上一點，延長 BC到E,使CE=CG連結(jié)BG并延長交 DE（1）求證：

3、 BCG DCE（2）將厶DCE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到 DAE，判斷四邊形 E' BGD是什么特殊四邊形？并說明 理由。分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有 AB/ DC又通過旋轉(zhuǎn) CE=AE已知CE=CG所以E' A=CG 這樣就有BE' =GD可證E' BGD是平行四邊形。解：(1)V ABCD是正方形，AD/ BCDM DCE=90 又 T CG=CE DCE(藥： DCE繞D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到 DAE , CE=AE,t CE=CG - CG=AE ,四邊形ABCD是正方形 BE / DG AB=CD AB-AE =CDCG

4、,即卩 BE =DG四邊形de bg是平行四邊形點評：當(dāng)四邊形一組對邊平行時，再證這組對邊相等，即可得這個四邊形是平行四邊形三、兩組對邊分別相等例3 如圖3所示，在 ABC中，分別以AB AC BC為邊在BC的同側(cè)作等邊 ABD等邊 ACE等邊 BCF求證：四邊形 DAEF是平行四邊形；分析：利用證三角形全等可得四邊形DAEF的兩組對邊分別相等，從而四邊形DAEF是平行四邊形。解： ABD和厶FBC都是等邊三角形 / DBF+Z FBA=/ ABC+/ FBA=60 / DBF/ ABC又 BD=BA BF=BCABCA DBF AC=DF=AE 同理 ABCA EFC AB=EF=AD四邊形

5、adfe是平行四邊形點評：題設(shè)中存在較多線段相等關(guān)系時，可證四邊形的兩組對邊分別相等，從而可證四邊形是平行四邊形。四、對角線互相平分例4已知：如圖 4,平行四邊形 ABCD的對角線 AC和BD相交于 O, AE!BD于E, BF丄AC于F, CGLBD于G, DH丄AC于H,求證：四邊形 EFGH是平行四邊形。分析：因為題設(shè)條件是從四個頂點向?qū)蔷€引垂線，這些條件與四邊形EFGH的對角線有關(guān)，若能證出OE=OG OF=OH則問題可獲得解決。證明： AE! BD CGL BD/ AEON CGO/ AOEN COG OA=OC5 AOEA COG - OE=OG同理 BOFA DOH OF=OH

6、四邊形EFGH是平行四邊形 點評：當(dāng)已知條件與四邊形兩對角線有關(guān)時，可證兩對角線互相平分，從而證四邊形是平行四邊形。五、兩組對角相等例5將兩塊全等的含 30°角的三角尺如圖1擺放在一起四邊形ABCD是平行四邊形嗎？理由 。(1)如圖2,將Rt BCD沿射線BD方向平移到 RtAB iCD的位置，四邊形 ABGD是平行四邊形嗎?說出你的結(jié)論和理由： 。分析：因為題設(shè)與四邊形內(nèi)角有關(guān)，故考慮四邊形的兩組內(nèi)角相等解決問題。解：(1)四邊形ABCD是平行四邊形，理由如下：/ ABCN ABDN DBC=30 +90° =120°,/ ADCN ADBN CDB=90 +30° =120°又/ A=60°，/ C=60 ,/ ABCN ADC / A=ZC(2)四邊形ABCD是平行四邊形，理由如下：將Rt BCD沿射線方向平移到 RtAB 1CD的位置時，有 Rt 1BBBRt ADD/CiBB=/ ADD,/ BCBi=Z DAD有上C iBA=/ABD/C iBB=/C idB + /ADB=/ADC,/ BC D=/ BC Bi+/ B CiD=/DAD+/ DAB/D 1AB