2019年江蘇卷數學高考試題(含答案)

1、絕密啟用前2019年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）數學I注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1 .本試卷共4頁，均為非選擇題（第1題第20題，共20題）。本卷滿分為160分，考試時間為120分鐘。 考試結束后，請將本試卷和答題卡一片交回。2 .答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用 0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3 .請認真核對監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符。4 .作答試題，必須用 0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。5 .如需作圖，須用 2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等

2、須加黑、加粗。參考公式：21 n樣本數據X1, X2，Xn的方差s - xn i 1柱體的體積V Sh,其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.1錐體的體積V 1Sh,其中S是錐體的底面積，h是錐體的高.3、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應位置上 1 .已知集合 A 1,0,1,6 , B x|x 0,x R,則 AI B 2 .已知復數（a 2i）（1 i）的實部為0,其中i為虛數單位，則實數 a的值是 3 .下圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是 4 .函數y j 6xX2的定義域是.5 .已知一組數據6, 7, 8, 8, 9, 10,則該組數據的

3、方差是.6 .從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是 .27 .在平面直角坐標系 xOy中，若雙曲線 x兀，2 ,則sin 2-的值是 4 丫2 1（b 0）經過點（3, 4）,則該雙曲線的漸近線方程是b2. . _ _ * . _ -一 _ . _ .8 .已知數列an( n N )是等差數列，Sn是其前n項和.若a2a5 % 0, S9 27 ,則Sg的值是 E- BCD的體積是 9 .如圖，長方體 ABCD AB1clD/勺體積是120, E為CC1的中點，則三棱錐一，一八4，”，,.10.在平面直角坐標系P到直線x+y=0的距離

4、的xOy中，P是曲線y x （x 0）上的一個動點，則點最小值是11 .在平面直角坐標系 xOy中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點 A處的切線經過點（-e, -1）（e為自然對數的底數），則點A的坐標是 .uur uuiruur uur12 .如圖，在ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA,AD與CE交于點O .若AB AC 6AO EC ,AB .則任的值是 AC* tan13.已知tan14.設f (x), g(x)是定義在R上的兩個周期函數,f(x)的周期為4, g(x)的周期為2,且f (x)是奇函數.k(x 2),0 x 1當 x (0,2時，f (x) Ji (

5、x 1)2, g(x) 1，其中 k>0.若在區(qū)間(0, 9上，關,1x22于x的方程f(x) g(x)有8個不同的實數根，則 k的取值范圍是.二、解答題：本大題共 6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域 內作答，解答時應寫出文字說明、證明過 程或演算步驟.15 .(本小題滿分14分)在4ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c.(1)若 a=3c, b= 22 , cosB=,求 c 的值；3/、什 sin A cosB若 a 2b，求sin(B)的值.16 .(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D, E分別為BC, AC的中點，AB=BC.求證：

6、(1) A1B1/平面 DEC1； BEXC1E.4, &,以C17.(本小題滿分14分)22如圖，在平面直角坐標系 xOy中，橢圓C：xy * 1(a b 0)的焦點為F1 ( - 1、0), a by2 4a2交于點A,與橢圓C2F2 (1, 0).過F2作x軸的垂線I,在x軸的上萬，l與圓F2：(x 1)交于點D.連結AF1并延長交圓F2于點B,連結BF2交橢圓C于點E,連結DF1 .已知DF 1= 5 .2(1)求橢圓C的標準方程;(2)求點E的坐標.18 .(本小題滿分16分)如圖，一個湖的邊界是圓心為。的圓，湖的一側有一條直線型公路 1,湖上有橋AB(AB是圓。的直徑).規(guī)

7、劃在公路1上選兩個點P、Q,并修建兩段直線型道路 PB、QA.規(guī)劃要求：線段 PB、QA上的所有點 到點O的距離均不.小.于.圓.。的半徑.已知點 A、B到直線1的距離分別為 AC和BD (C、D為垂足)，測得 AB=10, AC=6, BD=12 (單位：百米).(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路 PB的長；(2)在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在 D處？并說明理由；(3)在規(guī)劃要求下，若道路 PB和QA的長度均為d (單位：百米).求當d最小時，P、Q兩點間的距離.19 .(本小題滿分16分)設函數 f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R、f'(x)為 f(

8、x)的導函數.(1)若 a=b=c, f (4) =8,求 a 的值;若awb, b=c,且f (x)和f'(x)的零點均在集合 3,1,3中，求f (x)的極小值;4(3)若a 0,0 b, 1,c 1,且f(x)的極大值為 M,求證：MW.2720 .(本小滿分 16分)定義首項為1且公比為正數的等比數列為“ M-數列”.(1)已知等比數列an(nN )滿足：a2a4a5,a34a24a40 ,求證：數列an為“M數列”；1 22 已知數列bn(n N )滿足：b1 1, ,其中Sn為數列bn的前n項和.Sn bn bn 1求數列bn的通項公式；設m為正整數，右存在M數列cn(nN

9、 ),對任意正整數k,當kwm時，都有ckffckck1成立，求m的最大值.2019年普通高等學校招生全國統一考試(江蘇卷)數學I參考答案一、填空題：本題考查基礎知識、基本運算和基本思想方法.每小題5分，共計70分.1.1,62.23.54. 1,75.56.7. y 2x3108.169.1010.411. (e, 1)12,313.214.- ,103 4二、解答題15.本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數關系、誘導公式等基礎知識，考查運算求解能力滿分14分.解：(1)因為 a 3c,b J2,cos B -,3由余弦定理cosBa2 c2 b22 (3c)2 c2 (、.2)2

10、21，行，日)c 2ac32 3c c3所以c * 3(2)因為snAa由正弦定理asin AcosB2bb cos B sin B，得，所以cosB 2sin B .sin B 2bb從而cos2 B_ ._ 2_2 _2 _. .2 _4（2sin B）,即 cos B 4 1 cos B ,故 cos B 5因為sin B0,所以 cosB 2sinB 0,從而 cosB 迤5因此sin B16 .本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.滿分14分.證明：（1）因為D, E分別為BC, AC的中點，所以 ED / AB.在直三

11、棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB/A1B1,所以 A1B1 / ED.又因為ED?平面DEC1, A1B1 平面DEC1,所以A1B1 /平面 DEC1.（2）因為AB=BC, E為AC的中點，所以 BEX AC.因為三棱柱 ABC-A1B1C1是直棱柱，所以 CC平面 ABC.又因為BE?平面ABC,所以CC/BE.因為 C1C?平面 A1ACC1, AC?平面 A1ACC1, C1CAAC=C,（第16題）所以BE,平面A1ACC1.因為C1E?平面A1ACC1,所以BEXC1E.17 .本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質、直線與圓及橢圓的位置關系等基礎知識，考

12、查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.滿分14分.解：（1）設橢圓C的焦距為2c.因為 F1（-1 , 0）, F2（1 , 0）,所以 F1F2=2, c=1.5. DF12 F1F22 J（5）2 223又因為 DFi= 2 , AF2，x 軸，所以 DF2=2 22,因止匕2a=DF + DF2=4,從而a=2.由 b2=a2-c2,得 b2=3.因此，橢圓C的標準方程為43（2）解法22上 L 1由(1)知，橢圓 C： 43, a=2,因為AF2，x軸，所以點A的橫坐標為1.將x=1代入圓F2的方程（x-1），y2=16,解得y=±4.因為點A在x軸上方，所以A（1,

13、4）.又 F1(-1, 0),所以直線 AF1: y=2x+2.y由（x2x1)216 得 5x26x11解得11115代入y 2x 2125因此B(115.又 F2(10）,所以直線BF2:4(x1)4(x2 y31)r 2得7x6x 13 0解得x137又因為E是線段BF 2與橢圓的交點,所以將x1代入y3(x 1)432 .因此E(1,i)解法二:由（1）知，橢圓C: 41.如圖，連結EF1.因為 BF2=2a, EF1 + EF2=2a,所以 EF1=EB,從而/ BFE=/B.因為 F2A=F2B,所以/ A=/ B,所以/ A=/ BF1E,從而 EF1 II F2A.因為AF2，

14、x軸,所以EFx軸.（第17巷）%"x1因為 Fi(-1 , 0),2 y_ §又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求3E( 1,-) 因此218.本小題主要考查三角函數的應用、解方程、直線與圓等基礎知識，考查直觀想象和數學建模及運用數學 知識分析和解決實際問題的能力.滿分16分.解：解法一：（1）過A作AE BD ,垂足為E.由已知條件得，四邊形 ACDE為矩形，DE BE AC 6, AE CD 8.'所以cos所以PB因為PBXAB,PBD sin ABE 10BD 12 “ V 15. cos PBD 45因此道路PB的長為1

15、5 （百米）第IS題）（2）若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點（除B, E）到點。的距離均小于圓的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求若Q在D處，連結AD ,由（1）知AD JAE2 ED2 10 ,從而cos BAD_ 2_ 2 2AD AB BD 72AD AB 250 ,所以/ BAD為銳角.所以線段AD上存在點到點 O的距離小于圓O的半徑.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當/ OBP<90。時，線段PB上存在點到點 O的距離小于圓 O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當/OBP>90時，對線段PB上任意一點F, OF2B,即線段PB上所有點到點

16、。的距離均不小于圓 O 的半徑，點P符合規(guī)劃要求.設P,為l上一點，且PB AB ,由（1）知，RB=15,3此時 RD pBsin RBD PB cos EBA 15 - 9;5當/ OBP>90 時，在PRB 中，PB PB 15.由上可知，d>15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA>15點Q只有位于點C的右側，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，CQ JQA2 AC2 出52 62 3721 .此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓 O的半徑. 綜上，當 PBLAB,點Q位于點 C右側，且 CQ=3后時，d最小，此時 P, Q兩點間的距離PQ=PD+CD+C

17、Q=17+3: 21.因此，d最小時，P, Q兩點間的距離為17+3偽（百米）解法二：（1）如圖，過 O作OH，l,垂足為H.以O為坐標原點，直線 OH為y軸，建立平面直角坐標系因為BD=12, AC=6,所以OH=9,直線l的方程為y=9,點A, B的縱坐標分別為3,-3.因為AB為圓。的直徑，AB=10,所以圓。的方程為x2+y2=25.從而A (4, 3) , B (-4, -3),直線AB的斜率為3.4因為PBAB,所以直線 PB的斜率為 -, 3，、一425直線PB的方程為y 4x 25. 33所以 P (-13, 9) , PB J( 13 4)2 (9 3)2 15.因此道路PB

18、的長為15 (百米).(2)若P在D處，取線段BD上一點E (-4, 0),則EO=4<5,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求若Q在D處，連結AD,由(1)知D (-4, 9),又A (4, 3), 3所以線段AD： y x 6( 4款X 4).4在線段AD上取點M (3,坦)，因為om 似 3 42 5,4-4所以線段AD上存在點到點 O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.(3)先討論點P的位置.當/ OBP<90。時，線段PB上存在點到點 O的距離小于圓 O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當/ OBP>90°時，對線段 PB上

19、任意一點F, OFRB,即線段PB上所有點到點 。的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規(guī)劃要求.設 P1 為 l 上一點，且 PB AB,由(1)知，P1B=15,此時 P (-13, 9);當/ OBP>90 時，在 P"B 中，PB PB 15.由上可知，d>15.再討論點Q的位置.由(2)知，要使得QA 15,點Q只有位于點C的右側，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，設Q (a, 9), 由 AQ J(a 4)2 (9 3)2 15(a 4)，得 a= 4 3721，所以 Q (4 3/21 , 9),此時，線段 QA上所有點到點 O的距離均不小于圓 O的半徑.綜上，

20、當P (-13, 9) , Q (4 3標,9)時，d最小，此時P, Q兩點間的距離PQ 4 3.21 ( 13) 17 3.21 .因此，d最小時，P, Q兩點間的距離為17 3歷 (百米)19.本小題主要考查利用導數研究函數的性質，考查綜合運用數學思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力.滿分16分.解：(1)因為 a b c,所以 f(x) (x a)(x b)(x c) (x a)3.因為f(4) 8,所以(4 a)3 8,解得a 2.(2)因為b c,所以 f (x) (x a)(x b)2 x3 (a 2b)x2 b(2a b)x ab2 ,從而 f'(x) 3(x b) x

21、 2ab .令 f'(x) 0,得 x b或 x 2ab332a b因為a,b,2ab,都在集合 3,1,3中，且a b,3所以四1,a 3,b3.3此時 f (x) (x 3)(x 3)2, f'(x) 3(x 3)(x 1).令f'(x) 0,得x 3或x 1 .列表如下:x(,3)3(3,1)1(1,)f'(x)+0一0+f(x)Z極大值極小值Z所以f(x)的極小值為f(1) (1 3)(1 3)232 .(3)因為 a 0,c 1 ,所以 f (x) x(x b)(x 1) x3 (b 1)x2 bx,- 2一f'(x)3x2(b 1)xb .因

22、為 0b 1,所以4(b1)212b (2b 1)2 3 0,則f'(x)有2個不同的零點，設為 K,x2 x1 x2 .b 1b2 b 1 b 1 、b2 b 1由 f'(x) 0 ,得為,x2 .33列表如下：x(,x1)x1x1，x2x2(x2 ,)f'(x)+0一0+f(x)Z極大值極小值Z所以f (x)的極大值M f解法一:M f x132x1 (b 1)x1bxi2-3x 2(b1)Xi bXi2 b2 b 1zx1b(b 1)92 b2 b1 (b 1)27b(b 1)-92 3一 b2 b 127b(b 1)27_22(b 1)(b27-27(屈1) 1

23、)3b(b 1)27解法二：2427274因此M -27因為0 b所以x1(0,1).當 x (0,1)時,f(x)x(x b)(x 1)x(x 1)2.令 g(x)x(x1)2,x(0,1),則 g'(x)c 1 .3 x (x31)-令 g'(x)x1(叼13g'(x)+0一g(x)Z極大值10,得x -.列表如下:31 ,，-一-，1時，g(x)取得極大值，且是取大值，故 g(x)max g14所以當x327所以當x44(0,1)時，f(x) g(x) 一，因此 M 272720.本小題主要考查等差和等比數列的定義、通項公式、性質等基礎知識，考查代數推理、轉化與化

24、歸及綜合運用數學知識探究與解決問題的能力.滿分16分.解：（1）設等比數列an的公比為q,所以aiwqqw 0.2 4a2 a4 a5a qa3 4a2 4a10 得 a1q24aq4a1q 4al 0解得a1 1q 2因此數列 an為(2)因為2bn2bn 1bn1,Sibi1得1b2 ,則 b2由SnbnSnbnbn 12(bn 1 bn)2時,由 bnSnbnSn 1 ,得bnbn2 bn 11bnbn h2 bnbn 1整理得bn 1bn 1 2bn所以數列 bn是首項和公差均為1的等差數列.因此，數列bn的通項公式為*n N bn=n*由知，bk=k, k N因為數列Cn為“M-數列

25、”,設公比為q,所以C1 = 1q>0.因為Ck心Wk+1,所以qkq ,其中k=12,3,，m.當k=1時，有q>1;當k=2, 3,，m時,ln kkln qIn kk 11 f'(x) 1,則ln x2XInx /(x 1) 設 f ( x) = x令f'（X）。，得x=e.列表如下:x(1.e)e(e, +°°)f'(x)+0一f (x)極大值*ln2ln8In91n3ln3f（k）max f（3） 因為2663,所以3.In k .廠 3, Inqk取 q V3 ,當 k=i, 2, 3, 4, 5 時，k ，即 k q ,k

26、1,經檢驗知qk也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m>6分另1J取k=3, 6,得3司3,且qy6從而q15>243且q15< 216所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5.數學n（附加題）21 .【選做題】本題包括 A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內作答.若多做，則 按作答的前兩小題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選彳4-2:矩陣與變換（本小題滿分10分）已知矩陣A(1)求 A2；（2）求矩陣A的特征值.B.選彳4> 4-4:坐標系與參數方程（本小題滿分10分）在極坐標系中，已知兩點 A3, ,B

27、 樞，直線1的方程為 sin -3.424（1）求A, B兩點間的距離；（2）求點B到直線l的距離.C.選彳4-5:不等式選講（本小題滿分10分）設x R ,解不等式|x|+|2 x 1|>2.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域 內作答，解答時應寫出文字 說明、證明過程或演算步驟.22 .（本小題滿分 10分）設（1 x）n a0 ax a2*2 L anxn,n4, n N*.已知 a2 2a2a4.（1）求n的值；（2）設（1 廚 a bT3,其中a,b N* ,求a2 3b2的值.23 .(本小題滿分10分)在平面直角坐標系xOy中，設點集An

28、 (0,0),(1,0),(2,0),(n,0)Bn(0,1),(n,1),Cn (0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2), n N .令Mn An U Bn UCn .從集合Mn中任取兩個不同的點，用隨機變量X表示它們之間的距離(1)當n=1時，求X的概率分布；(2)對給定的正整數 n (n>3),求概率P (X而)(用n表示)數學n (附加題)參考答案【選做題】A .選彳4-2:矩陣與變換10分.解:(1)因為所以(2)A2矩陣A的特征多項式為11 510 6f()令f()0 ,解得A的特征值1, 24B.選修4 - 4:坐標系與參數方程本小題主要考查矩陣的運算、特征

29、值等基礎知識，考查運算求解能力.滿分10分.本小題主要考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力.滿分解：(1)設極點為。在 OAB中，A (3, 4), b (五，2),. 32 (，2)2 2 32 cos( )-5由余弦定理，得 AB= '24(2)因為直線l的方程為sin( -) 34則直線l過點(3.2,-)，2 ,傾斜角為4 .-3B(.2,-)(3,2 、.2) sin(7 -)2又 2 ,所以點b到直線l的距離為42C.選彳4節(jié)：不等式選講本小題主要考查解不等式等基礎知識，考查運算求解和推理論證能力.滿分10分.解：當x<0時，原不等式可化為 x 1 2x當0<XW2時，原不等式可化為 x+1 -2x>2,即當x> 2時，原不等式可化為 x+2x-1>2,解得x>1.,1e、x|x-或x1綜上，原不等式的解集為322.