三年級奧數(shù)盈虧問題

1、第 4 講盈虧問題教學(xué)目標(biāo)本講主要學(xué)習(xí)三種類型的盈虧問題：1. 理解掌握條件轉(zhuǎn)型盈虧問題：2. 理解掌握關(guān)系互換性盈虧問題 ;3. 理解掌握其他類型的盈虧問題，本節(jié)課要求老師首先上學(xué)生理解盈虧問題其本公式的含義，在通過例題讓學(xué)生掌握解答應(yīng)困問題的其本技巧，培養(yǎng)學(xué)生的思維分析能力。經(jīng)典精講盈虧問題，故名思意有剩下就叫盈，不夠分就叫虧，不同的方法分配物品時，經(jīng)常會產(chǎn)程這種盈虧現(xiàn)象。盈虧問題的關(guān)鍵是專注兩次分配時盈虧總量的變化。我們把盈虧問題分為三類： “一盈一虧” 、 “兩盈” “兩虧” 。1 . “盈虧”型例如：學(xué)而思學(xué)校四年級基礎(chǔ)班的同學(xué)分糖果，如果每人分 4 粒就多 9 粒，如果每人分5 粒

2、則少 6 粒，問：有多少位同學(xué)分多少粒糖果？【分析】由題目條件知道，同學(xué)的人數(shù)與糖果的粒數(shù)不變，比較兩種分配方案，第一種沒人分 4 粒就多 9 粒， ，第二種每人分 5 粒則少 6 粒，兩種不同方案一多一少差9+6=15 （粒） ，相差原理在于兩種方案分配數(shù)不同，兩次分配數(shù)之差為 15 1 15 （位） ，糖果的粒數(shù)為： 4 15 9 69 （粒） 。2 .“盈盈”型例如：老猴子給小猴子分桃，每只小猴 10 個桃，就多出 9 個桃，每只小猴分11 個桃則多出 2 個桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個桃子？分析： 老猴子的第一種方案盈9 個桃子， 第二種方案盈2 個， 所以盈虧綜合是

3、9-2=7（個） ， 兩次分配之差是11-10-1（個）有盈虧問題公式得，有小猴子： 7 1 7 （只） ，老猴子有7 10 9 79 （個）桃子。3 .“虧虧”型例如：學(xué)而思學(xué)校新近一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發(fā) 10 本，還差 9 本，每人發(fā) 9 本，還差 9 本，第二次就只差2 本了呢？因為兩次分配數(shù)量不一樣，第一次分配時每人少發(fā)一本，也就是共有7 1 7 （人）書有7 10 9 61 （本） 。根據(jù)以上具體題目的分析，可以得出盈虧問題的基本關(guān)系式：（盈+虧 ）兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)（盈 -盈）兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)（虧 -虧）兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)條件轉(zhuǎn)化型的盈虧問

4、題這種類型的題目不能直接計算，要將其中的一個條件轉(zhuǎn)化，使之成為普通盈虧問題。【例 1】 軍隊分配宿舍，如果每間住3 人，則多出 20 人；如果每間住6 人，余下 2 人可以每人住一個房間，現(xiàn)在每間住 10 人，可以空出多少個房間？【分析】每間住 6 人，余下 2 人可以每人各住一個房間，說明多出兩個房間，同時多出兩個人，也就是第二次分配少 6 2 2 10 （人） ，那么兩次分配方案人數(shù)相差20+10=30 （人） ，即可以空出 10-50 10 5 （間）房間?！句亯|】學(xué)校給一批新入學(xué)分配宿舍。如果每個房間住 12 人，則 34 人沒有位置；如果每個房間住14 人，則空出 4個房間。求學(xué)生宿

5、舍有多少間，住宿學(xué)生有多少人？【分析】把“每個房間住 14 人，則空出 4 個房間”轉(zhuǎn)化為“每間住14 人，則少 14 4 56 （人） ”這樣兩種方案就可以比較了。第一種方案多出 34 人，第二種方案少56 人， 90 2 45 （間） ，學(xué)生數(shù)為： 12 45 34574 （人） 例 2 媽媽買來一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分 4 個，其余人每人分2 個，則多出 4 個；如果其中一人分6人，其余人每人分 4 個，則缺少12 個，媽媽買來橘子多少個？全加共有多少人？【分析】由“其中兩人分 4 個，其余每人分 2 個，則多出 4 個， ”轉(zhuǎn)化為全家每人都分 2 個，這分 4 個的兩人每人都

6、拿出 2 個，共拿出 4 個，結(jié)果就多了 4+4=8 個：由“一人分6 個，其余每人分4 個，則缺少12 個”轉(zhuǎn)化為全家每人都分 4 個，分 6 個的人拿出 2 個。結(jié)果就少了 12-2=10 個，轉(zhuǎn)變成了盈虧問題的一半類型,則：全家的人數(shù)： 4 2 2 (12 2) (4 2) 18 2 9 (人) 橘子的個數(shù)： 2 9 8 26 （個）【鋪墊】實驗小學(xué)的少先隊員去植樹。如果每人種 5 棵還有 3 棵每人種；如果其中 2 人各種 4 棵。其余的人各種 6 棵，這些樹苗正好種完，問有多少少先隊員參加植樹，一共 iozhong 多少課樹苗？【分析】這是一道較難的盈虧問題，主要難在對第二個已知條件

7、的理解上：如果其中 2 人各種 4 棵，其余的人各種6 棵，就恰好種完，這組條件中包含著兩種種樹的情況 2 人各種 4 棵，其余的人各種 6 棵。如果我們把他們統(tǒng)一成一種情況，讓每人種六棵，那么，就可以多種樹（ 6-4 ）2 4 （棵） 。因此，原問題就轉(zhuǎn)化為：如果每人各種5 棵樹苗，還有3 棵沒人種 ;如果每人種 6 棵數(shù)樹苗，還缺4 棵。問有多少少先隊員，一共種多少樹苗？人數(shù)： 3+（6-4）2 （6 5） 7（人） ，棵樹： 5 7 3 38 （棵）或 6 7 4 38 （棵）【小結(jié)】 盈虧問題必須是將一定數(shù)量的物體平均分給固定對象， 而本題中兩次分橘子均不是每人分別的橘子數(shù)相同。碰到此

8、類似情況時，不需將其調(diào)整成兩次都是平均分，然后解答?！纠?2】 學(xué)校規(guī)定上午8 時到校，小明去上學(xué)，如果每分鐘走60 米，可提早10 分鐘到校；如果每分鐘走50 米，可提早 8 分鐘到校，求小明幾時幾分離家剛好8 時到校？由家到學(xué)校的路程是多少？【分析】小明每分鐘走60 米，可提早10分鐘到校，即到校后還可多走60 10 600米，如果每分鐘走50 米，可提早 8 分鐘到校， 即到校后還可多走50 8=400（米）， 第一種情況比第二種情況每分鐘多走60-50=10（米），就可以奪走600-400=200 （米） ，從而可以求出小明由家道校所需時間。（ 1） 10 分鐘走多少米？ 60 10

9、600 （米） ，（ 2） 8 分鐘走多少米？ 50 8400 （米）（ 3）需要時間： （ 600-400）（60 50） 20 （分鐘） ，所以小明 7 時 40 分離家剛好8 時到校。（ 4）由家到校的路程： 60 （20 10） 600 （米）或 50 （20 8） 600 （米） .50 米，上課就要遲到 3 分鐘；如果每分鐘 60 米，就可以比上課時間提前2 分鐘奪走60-50=10（米）， 就可以奪走150+120=270（米）， 童童從家到學(xué)校所用時間是： 270 10 27（分鐘） ，加到學(xué)校的距離是： 50 （27 3） 50 30 1500 （米） 。4 】 （第二屆“華

10、杯賽”試題）有一個半同學(xué)去劃船。他們計算以下，如果增加一條船，正好每條船作6 人；跑如果減少一條船，正好每條船坐6 人。如果減少一條船，正好每條船坐9 人。問：這個班共有多少學(xué)生6 人。然后去掉兩條船，就會余下6 2 12 （名）同學(xué)。改為每條船9人， 也就是說， 每條船增加9-6=3（人）， 正好可以把余下的 12 名同學(xué)全部安排上去， 所以現(xiàn)在還有12 3 4（條）船，而全班同學(xué)的人數(shù)是9 4 36 （人） 。6 人，然后去掉四條船，就會余下 6 4 24 （人） ，改為每只船9 人 ，即每條船增加 9-6=3 （人） ，正好可以把余下的 24 人全部安排上去，所以現(xiàn)在船數(shù)為 24 3 8

11、 （條） ，這個班的 人數(shù)為 9 8 72 （人） 。【小結(jié)】這部分的題目不能直接運用公式計算，首先需要將一定的條件轉(zhuǎn)化，使之成為跟第一步分相似的題型，在運用公式計算。關(guān)系互換型的盈虧問題這種題型中會出現(xiàn)兩種物品，一半兩者之間還存在數(shù)量關(guān)系，如和差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系等，我們應(yīng)該先利用數(shù)量關(guān)系將已知條件轉(zhuǎn)化為一種物品的盈虧關(guān)系，再根據(jù)盈虧問題的 解法計算。5 】 （ 2004 “走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”數(shù)學(xué)邀請賽）幼兒園老師把一袋糖果分給下朋友。如果分給打扮的小朋友，每人 5 粒就缺 6 粒。如果分給小班的小朋友，每人4粒。已知大班比小班少2 個小朋友這袋糖果共有多少粒？【分析】如果大班增加2 個小朋友

12、，大、小班人數(shù)就相等了，變?yōu)椤懊咳? 粒缺 16 粒，每人 4 粒多 4 ?！钡挠潌栴}。小班有（16 4） （5 4） 20 （人） 。這袋糖果有4 20 4 84 （粒） ?！就卣埂?（ 2007 年湖北省“創(chuàng)新杯”決賽）四（ 2）班舉行“六一”聯(lián)歡晚會，輔導(dǎo)員老師帶著一筆錢取買糖果。如果買芒果13 千克，還差4 元 ;如果買奶糖15千克，則還剩2 元。已知每千克芒果比奶糖貴2元，那么， ，輔導(dǎo)員老師帶了 元錢 .分析 這筆錢買了 13千克芒果還差4 元,若把 13 千克芒果換成奶糖就會多出 13 2 26元，所以這筆錢買13 千克奶糖會多出 26-4=22 元。而這筆錢埋 15 千克奶糖

13、會多出 2 元，所以每千克奶糖的價格為： （ 22-2 ）（15 13） 10 （元） 。輔導(dǎo)老師共帶了 10 15 2 152 （元）【例6 】 （ 2004 南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營）甲、 乙兩人各買了相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信封，甲每封信用 2 張信紙信紙，乙每封信用 3 張信紙，一段時間后，甲用完了所有的信封還剩 20 張信封，乙用完所有信紙還剩下10 個信封，則他們每人各買了多少張信紙？【分析】由題意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 張信紙。這是盈虧問題，盈虧總額為（ 20+30 ）張信紙，兩次分配的差為（ 3-2）張信紙，所有的信封（ 20+30）（3 2） 5

14、0 （個） ，有信紙 2 50 20 120） （張）【鞏固】甲、乙兩人的信紙一樣多，信封也一樣多，甲寫一封信用一張信紙，乙寫一封信用 3 張信紙。結(jié)果甲的信封用完時還剩 50 張信紙，乙的信紙用完時還剩 50 個信封，原來他們各自有信封多少個？信紙多少張？【分析】 乙要想用完剩余的 50 個信封， 還需再多 50 3=150 張信紙， 也就是要用完同樣多的信封， 甲多 50 張信紙，乙少 150 張信紙。信封的個數(shù)：（50 3 50）（3 1） 100 （個）信紙的張數(shù)：100+50=150 （張）【小結(jié)】不同的人，相同的物品，假設(shè)都用完同樣多的信封，這就是“盈虧”的關(guān)聯(lián)點，問題便于解決了。

15、【例 7】體育中心將一些乒乓球分給若干人，每人5 個還多余 10 個乒乓球，如果人數(shù)增加到 3 倍，那么每人分2個乒乓球還缺少8 個，問有乒乓球多少個？【分析】考慮人數(shù)增加3 倍后，相當(dāng)于按原人數(shù)每人給2 3 6 （個） ，每人給 5 個與給 6 個，總數(shù)相差10+8=18（個） ，所以原有人數(shù) 18 （6 5） 18 （人） ，乒乓球總數(shù)是5 18 10 100 （個）【拓展】臥龍自然保護(hù)區(qū)管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，每只大熊貓分 5 個還多余 10 棵竹子，如果大熊貓數(shù)增加到 3 倍還少 5 只大熊貓，那么每只大熊貓分2 個還缺 8 棵竹子，問有大熊貓多少只，竹子多少課？4 / 6【

16、注意】以上題型中會出現(xiàn)兩種物品，一般兩者之間還存在數(shù)量關(guān)系，如和差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系等，我們應(yīng)該先利用數(shù)量關(guān)系將已知條件轉(zhuǎn)化為一種物品的盈虧關(guān)系，再根據(jù)普通盈虧問題的解法計算?！纠?8 】幼兒園阿姨拿來水果糖和奶糖分給小朋友，且水果糖的個數(shù)是奶糖的 2 倍。如果每個小朋友分2 個奶糖，就多余 4 個奶糖；如果每個小朋友分5 個水果糖，則少2 個水果糖。阿姨拿來了水果糖和奶糖個多少個？【分析】水果糖和奶糖的個數(shù)不相等，不能將兩者直接比較，如果本題中水果糖和奶糖一樣多就好了。所以，我們可以假設(shè)水果糖和奶糖一樣多，也就是假設(shè)奶糖是實際數(shù)量的 2 倍，那么，分給同樣多的小朋友后，每個小朋友可以分到 2 2

17、=4 個，而多余的奶糖是4 2 8 （個） 、分到太奶糖和水果糖相差8+2=10 個，原因是每個小朋友多分了 5-4=1 個，這樣就可以求出小朋友的人數(shù)，然后根據(jù)太燙和水果糖的實際分配情況，分別求出奶糖和水果糖的個數(shù)，然后根據(jù)奶糖和水果糖的實際分配情況，分別求出奶糖和水果糖的個數(shù)，即：（4 2 2） （5 2 2） 10 1 10 （個）小朋友的人數(shù)10 2424（ 個 ）奶糖的個數(shù)10 5 248 （個）水果糖的個數(shù)【注意】本題的解題關(guān)鍵在于通過假設(shè)，使兩種糖的個數(shù)變得同樣多在解答。其他類型的盈虧問題盈虧問題有的題型不想普通的盈虧問題那么標(biāo)準(zhǔn)，它是經(jīng)過普通盈虧問題的變形和拓展，解答這類問題也

18、要利用其本盈虧問題解答方法，根據(jù)不同的題型作出相應(yīng)的應(yīng)對?！纠?9 】幼兒園老師給小朋友分糖果。若每人分8 快，還剩 10 快；若沒人分9 塊，左后一人分不到 9 塊，但至少可分到一塊。那么糖果最多有多少塊？【分析】最后一人分不到 9 塊，那么最多可以分到 8 塊，即若每人分9 塊，還差 1 塊。根據(jù)盈虧計算公式，人數(shù)有（ 1+10）（9-8） =11 （人） ，糖果最多有9 11 1 98 （塊） ；最后一人分不到 9 塊，但至少可分到一塊，即最少是最后一人差8 塊， 根據(jù)盈虧計算公式， 人數(shù)有 （8+10）（9 8） 18 （人） ， 糖果最多有9 18 8154（塊）；所以，這批糖果最多

19、有154 塊?！就卣埂?有若干盒卡片， 每盒中卡片數(shù)一樣多。 把這些卡片分給一些小朋友， 如果只分一盒， 每人均至少可得7 張，但若都分8 張則缺少 5 張?，F(xiàn)在把所有卡片都分完，每人都分到 60 張，而且還多出 4 張。問共有小朋友多少人？【分析】60 784,60 8 74,說明卡片的盒數(shù)是8盒，“若都分8張則還缺少5張”，即如果我們每盒中加5 張（ 8 盒共加 40 張） ，每人就可以得到 8 8 64 （張） ，現(xiàn)在時機(jī)每人得到 60 張，即每人需要退 4 張，其中要有4 張式每人 60 張后多下來的，還有40 張我們一開始借來的要還出去，即要退出 44 張， 44 4 11（人） ，

20、說明有11 人?！纠?10 】媽媽給了紅紅一些錢去買賀年卡，有甲、乙、丙三種賀年卡， ，甲種卡每張1 元，丙種卡片每張2 元。用完這些錢買甲種卡要比乙種卡多買8 張，買乙種卡要比買丙種卡多買6 張。媽媽給了紅紅多少錢？乙種卡每張多少錢？【分析】 “用這些錢買甲種卡要比買乙種卡多買8 張，買乙種要比買丙種卡多買6 張”所以盈虧總額是：1 8 2 6 20 （元） ，單價相加 2-1=1 （元） ，所以工可以買衣種卡20 1 20 （張） ，媽媽給紅紅的錢數(shù)是：4 / 620+8） 1=28 （元） ，乙種卡每張： 28 20=1 元 4 角?！就卣埂繕窐酚幸粋€儲蓄筒，存放的都是硬幣，其中 2 分

21、幣比 5 分幣多 22 個;按錢數(shù)算， 5 分幣比 2 分幣多 4 角；另外，還有36 個 1 分幣。樂樂共花了多少錢？【分析】假設(shè)去掉22 個 2 分幣，那么按錢數(shù)算， 5 分幣比 2 分幣多 8 角 4 分，一個 5 分幣比一個二分幣多 3 分，所以 5 分幣有： 84 （5-2 ） =28個2 分幣有： 28+22=50 （個）所以樂樂共存錢： 5 28 2 50 1 36 140 100 36 276 （分） 。鞏固精煉1. 小明讀一本書，如果每天讀6 頁，還剩 20 頁沒有讀完，如果每天讀10 也，書還少24 頁，這本書共有多少頁，小明打算幾天讀完？【分析】在兩種方法中，數(shù)的頁數(shù)和打

22、算讀的天數(shù)沒有改變，而第一種讀法，書沒讀完，還剩 20 頁；第二種讀法，不僅可將余下的 29 頁讀完，如果書還有24 頁也能恰好讀完。兩種不同讀法總頁數(shù)相差20+24=44 頁，造成這個差異的原因就是每天多讀天了 10-6=4 頁。每天多讀 4頁就要多讀44 頁，因此打算毒的天數(shù)是444 11 天，即：20+24） （ 10-6） =44 4=11（天）6 114 20 86 （頁）2. 陽光小學(xué)學(xué)生乘汽車到香山春游。如果每車坐65 人，則有 5 人不能乘上車；如果沒車多坐5 人，恰好多于一輛車，問一共有幾輛汽車，有多少學(xué)生?分析 每車多坐 5 人，實際是每車可坐5+65=70 （人） ，恰好

23、多余一輛車，也就是還差一輛汽車的人，即 70 人，因而原因問題轉(zhuǎn)化為：如果沒車坐65 人，則多出 5 人無人乘坐；如果每車坐70 人，還少 70 人，求有多少人和多少輛車？車數(shù)是（ 5+5+65）515 （輛）人數(shù)是65 15 5980 （人）或（5+65）（15 1） 980 （人）3. 王老師由家里到學(xué)校，如果騎車每分鐘每分鐘 500 米，上課就要遲到 3 分鐘；如果騎車每分鐘 600 米，就可以比上課時間提前2 分鐘到校。王老師家到學(xué)校的路程是多少米？【分析】 遲到 3 分鐘轉(zhuǎn)化成米數(shù)： 500 3=1500（米）， 提前兩分鐘到校轉(zhuǎn)化成米數(shù)： 600 2=1200（米）， （ 1500+1200 ）（ 600-500 ） =27（分鐘）500 （27 3） 15000 （米）4. 王阿姨去買水果。如果買5 千克橙子，就差10 元錢；如果買6 千克葡萄，則余2 元錢。已知每千克橙子比每千克葡萄貴 4 元，每千克橙子和每千克葡萄個多少元？【分析】本題涉及到兩種水果，較難入手。但題中告訴我們每千克橙子比每千克葡萄貴 4 元，所以可以設(shè)法把兩種水果轉(zhuǎn)化為一種水果。因為每千克橙子比每千克葡萄貴 4 元， 所以將買 5 千克橙子換成買5 千克葡萄， 就要少用 4 5=20（元），