2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)沖刺經(jīng)典專題第一編講方法第6講填空題的解題方法練習(xí)文

1、第6講填空題的解題方法題型特點(diǎn)解讀填空題不像解答題能分步得分，因此要保證填寫的結(jié)果正確，否則前功盡棄.解題時，要合理地分析和判斷，要求推理、運(yùn)算的每個步驟都正確無誤，還要求 將答案表達(dá)得準(zhǔn)確、完整.合情推理、優(yōu)化思路、少算多思是快速、準(zhǔn)確解答填空題的基本 要求.1巧妙計算法對于計算型的試題，多通過直接計算求解結(jié)果，這是解決填空題的基本方法，即直接從 題設(shè)條件出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論等，通過巧妙的變形，簡化計算過程，直接得到結(jié)果.要 善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，有意識地采取靈活、簡捷的解法.例1 (1)(2019 高三第三次全國大聯(lián)考)在ABC43,已知 AB= 3, BC= 2,若cos( C-1 A

2、)=-,貝U sin B=.答案5X3141解析 在線段AB上取點(diǎn)D,使得CD= AD設(shè)AD= x,則BD= 3-x,因?yàn)閏os( C A)=-,一11 . 一 5.即cos/BCm-,所以在 BCD43,由余弦定理可得(3 -x)2=x2+4-4x -,解得x=不 在4CD BD57：3BCD中，由正弦定理可得 Br加/ BCD因?yàn)镃D- 4, BA 3-x = -, sin / BC»看，所以5.3sin B=工. 14(2)(2019 大連市模擬)已知函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且f(x)在0 , +) 上單調(diào)遞增，則不等式 f(2x1)>f(x2)的解集為.答

3、案(8, 1) U(1 , +oo)解析 二.函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，.f(2x-1)>f(x- 2)可轉(zhuǎn)化為 f(|2 x- 1|)> f(| x2|),又 f(x)在0 , +8)上單調(diào)遞增， f(2x 1)>f (x2)? |2x1|>| x 2 ,兩邊平方解得 xC(oo, 1) u (1 ,+8),故 f(2 x 1)> f(x- 2)的解集為 xC(8, 1) U (1 , +8).方法指導(dǎo)直接法是解決計算型填空題最常用的方法，在計算過程中我們要根據(jù)題目的要求靈活處 理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活運(yùn)用，將計算過程簡化

4、從而得到 結(jié)果，這是快速、準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)填空題的關(guān)鍵.?對點(diǎn)精練1.設(shè)a為銳角，若兀COS a + R 63 w5,則 sin兀12答案二10解析a為銳角,7tsin兀+ y =1 cos2 a + k = 645.sin兀行=sin兀兀.a + = sin7t7ta +y cos7cos a+看 sin 4=2-64523x亞=巫 52102. (2019 湖北黃岡元月調(diào)研)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,.該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個數(shù)均為1,從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列

5、”， 記該數(shù)列為an,則(a. a2) + (a2a4 a3) + (a3a5 a4)+ (a2018 a2020 a019) =.答案 0解析 根據(jù)題意，aa3 a2= 1 x212= 1, a2a4 a2= 1 x 32之=一 1, a3a5a2=2x 53? =1,，則(aa3a2) + (a2a4a3) + (a3a5a4) + + (a2018a2020 a2019)= 1 1 + 1 1+ + 1 1 = 0.方法2特殊值代入法當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當(dāng)特殊值(特殊函數(shù)、特殊

6、角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點(diǎn)、特殊方程、特殊模型等)進(jìn)行處理，從而得出探求的結(jié)論.例2 (1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?R, f( 1) =2,且對任意的 xCR,f'(x)>2,則 f(x) >2x+ 4的解集為.答案( 1, +8)解析 解法一：特殊函數(shù)法：令f(x)=3x+5,則由3x+5>2x + 4,得x>1.解法二：令函數(shù) g(x) =f (x) - 2x-4,則 g' (x) = f' ( x) 2>0,因此 g(x)在 R上為增 函數(shù).又 g( 1) = f ( 1)+2 4=2+2 4=0,所以原不等式可化為 g(x)

7、 >g( 1),由 g(x)的單調(diào)性可得x>- 1.(2)如圖所示，在 ABC中，AO是BC邊上的中線，K為AO上一點(diǎn)，且Ab= 2取經(jīng)過K 的直線分別交直線 AB, AC于不同白兩點(diǎn) M N若AB= miAMAC= nAN則 出n=.答案 4解析 當(dāng)過點(diǎn)K的直線與BC平行時，MN是ABC勺一條中位線(.AO= 2AK, . K是AO 的中點(diǎn))，這時由于有 AB= miAM AC= nAN因此 m= n= 2,故mi+ n = 4.方法指導(dǎo)求值或比較大小關(guān)系等問題均可利用取特殊值代入求解，但要注意此種方法僅限于求解 結(jié)論只有一種的填空題，對于開放性的問題或者多種答案的填空題，不能使

8、用該種方法求 解.為保證答案的正確性，在利用此方法時，一般應(yīng)多取幾個特例.一對點(diǎn)精練】.(2019 *貴州南白中學(xué)第一次聯(lián)考)設(shè)函數(shù)八)是定義 在R上的奇函數(shù),且當(dāng)t>0時，/(1) = In w,記"= /(y) ) =-/(log7ly)則 &小一的大小關(guān)系為.(用“”連接)答案 c>b>a解析 .當(dāng)x>0時，f(x)=ln x, f(x)在(0, +8)上單調(diào)遞增.= f(x)是定義在R上的奇函數(shù), log/Ty）=/（ Tog"=/（1。名伍2）,門 VMg 伍 2V2Q（；）"1 ,二0V（；）"log 再 23

9、. 二 f（O海）V/（bgp2）/，口即方.2.在 ABC中，角A, B C所對的邊分別為a, b, c,若a, b, c成等差數(shù)列,cosA+ cosC1cosAcosC4答案5解析 解法一：（取特殊值）a=3, b= 4, c=5,則cosA= 4 5cosC= 0,cosA+ cosC_1 cosAcosC-、，一 ,入兀1解法二：（取特殊角）A= B= C= , cosA= cosC=-,cosA cos C 41cosAcos C 5方法3推理法對于概念與性質(zhì)的判斷等類型的題目，應(yīng)按照相關(guān)的定義、性質(zhì)、定理等進(jìn)行合乎邏輯 的推演和判斷，有時涉及多選型的問題，尤其是新定義問題，必須進(jìn)

10、行嚴(yán)密的邏輯推理才能 得到正確的結(jié)果.例3 （1）（2019 洛陽市高三第三次統(tǒng)考 ）甲、乙、丙三位同學(xué)，其中一位是班長，一位 是團(tuán)支書，一位是學(xué)習(xí)委員，已知丙比學(xué)習(xí)委員的年齡大，甲與團(tuán)支書的年齡不同，團(tuán)支書 比乙的年齡小，據(jù)此推斷班長是 .答案乙解析 根據(jù)甲與團(tuán)支書的年齡不同，團(tuán)支書比乙年齡小，得到丙是團(tuán)支書.丙比學(xué)習(xí)委員的年齡大，甲與團(tuán)支書的年齡不同，團(tuán)支書比乙年齡小，得到年齡從大到小是乙丙學(xué)習(xí)委員，由此得到乙不是學(xué)習(xí)委員，故乙是班長.（2）（2019 衡水市全國普通高中高三大聯(lián)考）現(xiàn)有一場專家報告會， 張老師帶甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加，其中有一個特殊位置可與專家近距離交流，張老師看出每

11、個同學(xué)都想去坐 這個位置，因此給出一個問題，誰能猜對，誰去坐這個位置.問題如下：某班10位同學(xué)參加一次全年級的高二數(shù)學(xué)競賽，最后一道題只有6名同學(xué)A B, C, D, E, F嘗試做了，并且這6人中只有1人答對了.聽完后，四個同學(xué)給出猜測如下：甲猜：D或E答對了；乙猜：C不 可能答對；丙猜：A, B, F當(dāng)中必有1人答對了； 丁猜：D, E, F都不可能答對，在他們回答 完后，張老師說四人中只有 1人猜對，則張老師把特殊位置給了 .答案 丁解析 若同學(xué)A做對了，則乙、丙、丁猜對了，與題設(shè)矛盾，故不符合題意；若同 學(xué)B做對了，則乙、丙、丁猜對了，與題設(shè)矛盾，故不符合題意；若同學(xué)C做對了，則丁猜對

12、了，與題設(shè)相符，故滿足題意；若同學(xué)D做對了，則甲、乙猜對了，與題設(shè)矛盾，故不符合題意；若同學(xué) E做對了，則甲、乙猜對了，與題設(shè)矛盾，故不符合題意；若同學(xué) F 做對了，則乙、丙猜對了，與題設(shè)矛盾，故不符合題意.綜上可知，同學(xué)C做對了，丁猜對了.故張老師把特殊位置給了丁.方法指導(dǎo)推理法講究“推之有理，推之有據(jù)”，在推理的過程中要嚴(yán)格按照定義的法則和相關(guān)的 定理進(jìn)行，歸納推理和類比推理也要依據(jù)自身的推理法則，不能妄加推測.r對點(diǎn)精練1 . (2019 延安市模擬)甲、乙、丙三位教師分別在延安、咸陽、寶雞的三所中學(xué)里教不 同的學(xué)科A, B, C,已知：甲不在延安工作，乙不在咸陽工作；在延安工作的教師不

13、教C學(xué)科；在咸陽工作的教師教A學(xué)科；乙不教 B學(xué)科.可以判斷乙工作的地方和教的學(xué)科分別是 、.答案寶雞 C解析 由得在咸陽工作的教師教 A學(xué)科；又由得乙不在咸陽工作，所以乙不教A學(xué)科；由得乙不教 B學(xué)科，結(jié)合乙不教 A學(xué)科，可得乙必教 C學(xué)科，由得乙不在延安工 作，由得乙不在咸陽工作；所以乙在寶雞工作，綜上，乙工作的地方和教的學(xué)科分別是寶 雞和C學(xué)科.2 .求“方程12 x+ 5： x=1的解”有如下解題思路：設(shè)函數(shù)f(x)=叫x+2x,則函13131313數(shù)f (x)在R上單調(diào)遞減，且 f(2) = 1,所以原方程有唯一解 x= 2.類比上述解題思路，方程 x6+x2= (2 -x)3+ 2

14、-x 的解集為 .答案 1 , 2解析 類比上述解題思路，設(shè) f(x)=x3+x,由于f' (x) =3x2+1 >0,所以函數(shù)f(x) = x3+x 在 R上單調(diào)遞增，又 x6+ x2= (2 -x) 3+ 2-x,即(x2)3+x2= (2 x) 3+2 x,所以 x2= 2 x,解得 x=1 或 x=2,所以方程 x6+x2=(2x)3+2 x 的解集為1 , 2.方法4 圖象分析法對于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合，往往能迅 速作出判斷，簡捷地解決問題.韋恩圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖象及方程的曲線等，都是常用的圖形.例4 (1)若函數(shù)f(x)

15、=xln xa有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 .答案?，0 e解析 令g(x)=xln x, h(x) = a,則問題可轉(zhuǎn)化成函數(shù) g(x)與h(x)的圖象有兩個交點(diǎn).由g' (x) = ln x+1,令 g' (x)<0,即 In xv1,可解得 0vx；令 g' (x)>0,即 In x> e1,可解得x>",所以當(dāng)0vxl時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.由 eee此可知當(dāng)x=l時，g(x) min= 1.作出函數(shù)g(x)和h(x)的簡圖，如圖，據(jù)圖可得一 -<a<0. eee(2)

16、(2019 蚌埠市高三教學(xué)質(zhì)量檢查)已知函數(shù)f (x) =ex- ax- 1, g(x)=ln xax+ a,若對任意xC 1 , e,均有f(x)g(x)wo,則實(shí)數(shù)a的最小值為 .答案 1解析 由 f (x) =ex ax1 = 0,得 ex=ax+1,設(shè) m(x) =ex, y=ax+1,則直線 y=ax+ 1過定點(diǎn)(0,1),當(dāng) x= 1 時，n(1) =e,即 B(1 , e)；當(dāng) x= e 時，n(e) = ee,即 C(e , ee).當(dāng)直線 y=ax+1 經(jīng)過點(diǎn) B時，e= a+ 1, IP a= e- 1;當(dāng)直線y=ax+1經(jīng)過點(diǎn) C時，ee=ae+1,即a=-. e由 g(

17、x) = ln x ax+a=0,彳導(dǎo) In x= ax- a,設(shè) h(x) = ln x, y=ax a= a(x1)過定點(diǎn)(1,0),則h1 (x) = -, h' (1) = 1,即過點(diǎn)(1,0)的切線斜率k=1,x當(dāng) x=e時，h(e) = In e =1,即 D(e,1).當(dāng)直線 y=a(x 1)經(jīng)過點(diǎn) D時，1 = a(e 1),即 a= e 1當(dāng)a<e- 1時，ax+ 1<e x,即此時f (x)封0,要使對任意xC 1 , e,均有f (x) g(x) <0,則 g(x) <0,即 In x- ax+a<0,則 In x< ax- a

18、,則此時 a>1,此時 1< a<e- 1 ；.ee 1 ,x 一 ,，,一當(dāng)"丁時，ax+，即此時f(x)”要使對任意xme,均有f(x)g(x)”r 1,ee 1則 g(x) >0,即 ln xax+ a>0,則 In x>ax-a,則此時 a< 此時要求 a>e 1e-1且aw此時a無解；e 1_，ee 1 ,一，. 一 ,，一當(dāng)e- 1<a<時，a>e1>1,則對x 1 , e,均有g(shù)(x)<0,但f(x)可取正值也可e取負(fù)值，不滿足對任意xC1 , e,均有f(x)g(x)w0.綜上，滿足條件的

19、a的取值范圍是1wawe1,則實(shí)數(shù)a的最小值為1.方法指導(dǎo)圖象分析法的實(shí)質(zhì)就是數(shù)形結(jié)合思想方法在解決填空題中的應(yīng)用，利用形的直觀性結(jié)合 所學(xué)知識便可得到相應(yīng)的結(jié)論，這也是高考命題的熱點(diǎn).運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是正確把握各 種式子與幾何圖形中變量之間的對應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解.對點(diǎn)精練11 .若不等式|x 2a| >2x + a1對xCR恒成立，則a的取值范圍是 .1答案 OO , 2一一 ，.一 1、，,1解析 作出y= | x2a|和y= X+a 1的間圖，依題息知應(yīng)有2aw22a,故aw -.2 . (2019 德州市高三下學(xué)期第一次練習(xí))設(shè)£(*)是定義在R

20、上，周期為2的函數(shù)，且cos 2 % x , 0< x< 1,1f(x) = 2記 g(x) =f (x) a,若 2<a<1,則函數(shù) g(x)在區(qū)間2,3上零點(diǎn)的個數(shù)是.答案 8解析 :“*)是定義在R上，周期為2的函數(shù)，cos 2 7tx , 0< x< 1,且f(x)= 1-啕雙，1<x<2,.作出f(x)在區(qū)間"2, 3上的圖象如圖所示,人1，一 1一 ,由 g(x) = f(x) a,令 g(x) =0,得 f(x) =a, ,2<a<1，作出 y=2和 y=1 的圖象，由 一， ，1 ，一 “ 一，一一， 一，一

21、 ，一，圖象知，當(dāng)2<a<1時，兩個函數(shù)的圖象共有 8個交點(diǎn)，即g(x)的零點(diǎn)個數(shù)為8.方法5 構(gòu)造法構(gòu)造法解填空題，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，從而簡化推 理與計算過程，使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得到簡捷地解決，它來源于對基礎(chǔ)知識和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過的類似問 題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學(xué)模型，使問題快速解決.例5 (1)(2019 湖北省八校高三第二次聯(lián)合考試)下列命題為真命題的個數(shù)是 ln 3< 32 2 ;ln 兀<； 2/<15; 3eln 2<

22、4 小.答案 3ln x1 ln x解析構(gòu)造函數(shù) f(x),導(dǎo)數(shù)為 f'(x)= -2一,當(dāng)0<x<e時，f '(x)>0 ,f(x)xx當(dāng)x>e時，f ' (x)<0, f(x)單調(diào)遞減，可得當(dāng)一 ，一 1x= e時，f (x)取得取大值.ln e<e,可得f(Ve)<f(正)，故錯誤；構(gòu)造函數(shù)Rx)=1n x，xln 2? 2ln 水氣31n 2?y3-<2,由 J3<2<e 可得 f h/3)<f (2),故正確；In貝U F' (x) =1T W 當(dāng) 0<x<e2時，F(xiàn)'

23、; (x)>0, F(x)單調(diào)遞增；當(dāng) x>e2時，F(xiàn)' (x)>0 , F(x)32x單調(diào)遞減.2 JT5<15? J151n 2<1n 15 ? 4Jn_2_<1n_15_? lnJn, . . 16>15>e2 415 ,16.,15故正確.綜. F(16)< F(15),故正確；3e1n 2<4 ；2?<(由f (x)的最大值為e上所述，真命題的個數(shù)是 3.(2)已知三棱錐 P ABC的四個頂點(diǎn)在球 O的球面上，PA= PB= PC ABC是邊長為2的 正三角形，E, F分別是PA AB的中點(diǎn)，/ CEF= 90。，則球 O的體積為 .答案 ：6兀解析 /P/ PB= PC ABC邊長為2的等邊三角形，三棱錐 P- ABC正三棱錐，. PBLAC 又 E, F分別為 PA AB的中點(diǎn)，EF/ PR z. EFL AC 又 EFL CE Cm AC= C, EFL平面 PAC PBL平面 PAC . - Z APB= 90 ,，PA= PB= PC=取,.以 P 為一個頂點(diǎn)，PA PB, PC為三條棱可構(gòu)造出一個正方體，且正三棱錐P- ABC正方體的一部分，球 O的直徑長即為正方體體對角線的長， 故2R= ,2+2 +