一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系典型例題

1、元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【同步教育信息】本周教學(xué)內(nèi)容：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（即：韋達(dá)定理及逆定理）；2. 靈活運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系確定字母系數(shù)的值；求關(guān)于兩根的對稱式的值； 根據(jù)已知方程的根，構(gòu)作根滿足某些要求的新方程。3. 在解題中鍛煉分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力；4. 提高自己綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識分析解決較復(fù)雜問題的能力。5. 體會特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)識事物的規(guī)律，有意培養(yǎng)自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律的興趣, 及樹立勇于探索規(guī)律的精神。二.重點(diǎn)、難點(diǎn)：1. 教學(xué)重點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系及其推導(dǎo)和應(yīng)用，注意往往不解方程，用

2、兩根和與積或各系 數(shù)就可解決問題，這時解了方程反而更麻煩。2. 教學(xué)難點(diǎn)：正確理解根與系數(shù)的關(guān)系，掌握配方思想，把某些代數(shù)式配成兩根和與積的形式才能將 系數(shù)代入?！镜湫屠}】例1.已知方程a I ： II的一個根是 1，求它的另一個根及 b的值。分析：含字母系數(shù)的一元二次方程中，若已知它的一個根，往往由韋達(dá)定理可求另一根, 并確定字母系數(shù)的值。設(shè)方程的另一根為 二，則由方程的根與系數(shù)關(guān)系得:_b2<1 >解得:32可=3<2>2x（方法二）由題意: 解得：二? 2/根據(jù)韋達(dá)定理設(shè)另一根為X,則1 " 1_Xj = 3f 4 = -5點(diǎn)撥：解法一較簡單，主要原因

3、是突出了求解的整體性。例2.已知方程-.-.的兩根為-vi:- '，求下列代數(shù)式的值:1 12 2 1（1）一 I _ ；（ 2）：行；（3）可求出關(guān)于的分析：若方程J-'匸二止兩根'''，則不解方程,對稱式的值，只須將其配成含有帀一匸、泊兀的形式。2 1Xi + Xj _ * Xi =1解：由已知，根據(jù)韋達(dá)定理匚X + X? (X + X? ) 2 兀陽(1)V2(2)11+ za 3 2X 冷-13舊_4心宀/1 3/99點(diǎn)撥：體會配方思想，將代數(shù)式配成含有【 V的形式，再代系數(shù)即可。例3.已知：一二是兩個不相等的實(shí)數(shù)，且滿足 .- -，那么求 -

4、1仏-1） 的值。分析：由兩個條件可得出 為方程 - II的兩不等實(shí)根,配方變形。解：由題意，： 二為冬2 - I'的兩個不等實(shí)根因而有-冷 一 ''I' j '又.| 匚 .-'* ' I H - . 1- ' hi -X 可 -1) = 2點(diǎn)撥：善于轉(zhuǎn)化未見過的題，充分挖掘已知條件。例4.已知關(guān)于x的一元二次方程 :十廣 二與II 求k的值。解：(解法一)設(shè)方程：'：-!'- 兩根 a、B,方程 -再對所求代數(shù)式一個相同的根，II的兩根爲(wèi)：，則有：Q+ &= 4<1>咖二k<2>

5、3<3>Of+ V-2k<4>a/ 二一2< 1 >-<3> :0-廠仝2由 - .:.71-當(dāng)Q二I.'時，代入 < 2 > ：上二 0 當(dāng)兮二u時，由爲(wèi)w 5<5> : y-代入一則匚】代入<1 > !住二-1把1 - _l' L' - I代入<2>中，七二:或：二 _ ；(解法二)將' ' !廣I與-.；：. .1相減得:H+x 二 0此時方程根為0或 即題中兩方程相同根為0或】(1) 若是0貝，二；(2) 若是，則七二或 一：點(diǎn)撥：兩種解法各有千秋，一

6、運(yùn)用了解方程組思想，二運(yùn)用了“若方程一*- 與二 0 有公共根，則公共根必滿足方程»-g（x） = O ”的結(jié)論。例 5.已知方程-.（1）若方程兩根之差為 5,求k。（2）若方程一根是另一根 2倍，求這兩根之積。分析：對含字母系數(shù)的一元二次方程，可根據(jù)題設(shè)中方程根與系數(shù)關(guān)系，確定方程系數(shù) 字母的值。解：（1）設(shè)方程兩根與7，由韋達(dá)定理知：巧 +（巧 +5）= 3! = -4又'h '- I;= -4 x 1 = -4（2）設(shè)方程兩根 I，- ' 1，由根系關(guān)系知：可+2畫1 = -3Aj = 1:.七二兀2可二 2x；二 2點(diǎn)撥：已知兩根的關(guān)系，應(yīng)用韋達(dá)定理

7、解決系數(shù)求值問題。例6.已知方程.一二丨- I兩根之比為1： 3,判別式值為16，求a、b的值。分析：必用判別式-1 -i -.，又韋達(dá)定理知；-'：，匚一二""，顯然可求a、b。解：設(shè)已知方程的兩根為 m，3m由韋達(dá)定理知：、'-：' /'即.-'Y：. - J.：'-'''A = / - 4b = （V 滋- 4 x 3酬=4滬=16鴉二 ±2把“"餐代入啟- :得：:-亠點(diǎn)撥：把判別式、韋達(dá)定理綜合出題，更易貫通新舊知識。例7.已知 / 是關(guān)于x的一元二次方程''

8、; 1' |N的兩個實(shí)數(shù)根。2丄2（1）用含m的代數(shù)式表示；（2）當(dāng)- 時，求m的值。分析：應(yīng)注意 廠 H ； -山匚，即可用根系關(guān)系。解：（1 ）由題意：-,一丨丨柄=Hf +10彳+二佃+扇2碼X? 二-（2桝+1）_2（/ +1）=亦'+4牌一 1（2）由（1）得：:對-'.-'- 解得：_ J' "I - - 檢驗(yàn)：當(dāng)-時，原方程無實(shí)根。舍去當(dāng)一時，原方程有實(shí)根。 - 1點(diǎn)撥：易忽略檢驗(yàn)，要學(xué)會靈活應(yīng)用一元二次方程有關(guān)概念，及判別式，根系關(guān)系。例8.已知方程>.； - II的兩根為 '，求一個一元二次方程，使它兩根為 |和

9、-。y -分析：所求方程 可，轉(zhuǎn)化成例2類型了。解：設(shè)所求4 + -7k+-7* -7 = °元二次方程為11 1 1Uo,只要求出1 1 盲+丁 1-的值即1 "J 為方程- 一 - II 的兩根3X】+砧二3,和屁=-由韋達(dá)定理一11 斗+球（忑+碼- 2砂立心乳2Hi叼）所求一元二次方程為J :即：-點(diǎn)撥：應(yīng)用根系關(guān)系構(gòu)造方程，如果方程有兩實(shí)根二I ,那么方程為 二二一，當(dāng)為分?jǐn)?shù)時，往往化成整系數(shù)方程?？偨Y(jié)擴(kuò)展1. 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行。它深化了兩根的和 與積和系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟

10、 記，為進(jìn)一步使用打下基礎(chǔ)。2. 以一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導(dǎo)，向?qū)W生展示認(rèn)識事物的一般規(guī)律，提倡積極思維，勇于探索的精神，借此鍛煉學(xué)生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力。3. 本節(jié)課學(xué)習(xí)了根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，主要有如下幾方面：（1）驗(yàn)根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代數(shù)式的值；（4）求作一個新方程”4. 通過根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，能較好地熟悉和掌握了根與系數(shù)的關(guān)系，由此鍛煉和培 養(yǎng)了學(xué)生邏輯思維能力?！灸M試題】（答題時間：40分鐘）一.選擇題。1.已知二是關(guān)于x的一元二次方程 f * '-:的一個根，則 k與另 根分別為（）A. 2, -1D. 1

11、 , -2B. -1 , 2C. -2 , 1" 一的兩根互為相反數(shù)，則m的值是（B. -4C. 1D. -11, 一根小于1.則k的取值范圍是（C.2. 已知方程A. 43. 若方程! I -:有兩根，一根大于A. ； .B. '1124. 若方程的兩根中，只有一個是a. p二g = ob.去黑階二。c p 二 0! g H 0F - px+- = 05. 方程 '-2-1D.不能確定的大根與小根之差等于（C. 1D.那么（D.-1 + 5 -1-756.以2 ? 2為根的，且二:次項(xiàng)系數(shù)為1的一兀A.+ x + l二 0B.+ x - 1 = 0一 x + 1 =

12、 0D.-i-l=O次方程是（ ）.填空題。7. 關(guān)于x的一元二次方程-1 '廣一：的兩根互為倒數(shù)，則 m=.&已知一元二次方程_ II兩根比2： 3，貝U a, b, c之間的關(guān)系是9已知方程的兩根 010. 已知比0是方程2-5x-2二0的兩根，不解方程可得：&+嚴(yán)二，1 1 _盤廠伊 ，=。11. 已知疋+廳二1N 1 -甸（1一 0）二2,則以氐0為根的一元二次方程是 三.解答題。12. 已知方程.：匚：:-:的兩個實(shí)根中，其中一個是另一個的2倍，主m的值。13. 已知方程 1丄:-的兩根'kr-' 不解方程，求 .二】-和- _、：的值。14.

13、 已知方程.； 一 |的兩根上；Q，求作以' /為兩根的方程。15. 設(shè)'是方程二丨卩 的兩個實(shí)根，且兩實(shí)根的倒數(shù)和等于3,試求m的值?！驹囶}答案】選擇題。1. A2. B二.填空題。J2 仙+ 1）-4/王0w2 = 13. D4. B5. C6. B7.8. 設(shè)二；二！二”，貝y6f =a畫+乃二堰皿=*（楙+ 4）9.- 2）（叼-2）= 9今+廉仏+4） - 2牌二亍- 加-15= 0一；:或用=一】： ：-:時，原方程< o，故舍去，-: -:;210.朋二-1cf +伊二（住+貳-2afi=手+2二手1 1 1臣+二著血+總+岸-哪八4丿185V+ F =J應(yīng)

14、+ 府=1311(1珈 1 對=2 =1_G+Q+夠=2W +用=13 由此化+ 0二矽_1 (口+總2二農(nóng)+廳+2即=1?+2瑚 (ajS-1)2 二審 j矽+ =>刃用4矽12 = 0一 ；或:1.二' 或二：；=''所求方程.'."-I '.-.或一 H 三.解答題。12.解：設(shè)方程的一個根為 x，另一根2x3z + 2x =<12由根系關(guān)系知:解得：Lm- 113.解：由題設(shè)條件 + 6=-嚴(yán)214.解：鄴=由題意.2（a+ 20）（甌 + 09 7 =- + -2 2=8.9故所求方程是一，即'IA =一（加+ 1：-斗犧2 > Q<1>工+花=加+1<2>XjX3 = M3<3>1 1 1= 3<4 >15.解：由小1 4 酬+120-a14由!兩+陽二辦屈2m+1= W:、拓-亦一 1 = 0- 1）（恥 +1） = 01 15 = h 2 =-4舍去© =-3不符合題意,m- 1【勵志故事】果斷有一個6歲的小男孩，一天在外面玩耍時，發(fā)現(xiàn)了一個鳥巢被風(fēng)從樹