高數(shù)微積分--定積分

1、定積分的換元法定理設(shè)函麴Xx)在區(qū)間明加上連續(xù)，函數(shù)= 0(，) 滿足條件：(1)例。)=% 夕(夕)= 5；(2)0在a,0(或4,a上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，.其值域不越渺，外則有fxdx-f<p(t)pt)dt這個公式叫定積分的癡公式。證 設(shè)b(x)是f(幻的一個原函數(shù)，貝！I f(x)dx = F(b) - F(a)Ja另一方面，令ia)=F0(f)j有G')= P(w)w。)= f(p(t)«)所以G")是的一個原函數(shù)因此有)切。M，= G(4)-G(a)Ja=尸即(7?) 一廠奴a) = F(b) - F(a)所以r£ /即(，)切'用換元

2、法求定積分時當(dāng)積分變量換成資 變量后，積分限也要換新變量的積分幅例 1 la2 -x2dx (a >0)角星令x = a sin i,貝Udx = a costdt當(dāng)x = 0時j = 0當(dāng)x = 時j =& L2所以 yja2 - x2 dx =：? cos2 tdtmi，2 萬2 ir=- 2(1 +cos2r)Jr=(r + -sin2/)2 =2 J。220換無公式也可以反過來更用：=f1 f(y)dy (c =d a),d =奴)產(chǎn)例X)Jc例2 計算：8s、xsin xdx解因cos5 xsin xdx = -J2 cos5 xd cos xly =cosx,當(dāng)X =

3、 o時,y = l,當(dāng)時,y=0所以j?c。/ Xsi仙心=一/"辦=/力= ：/：此種方法可以不明顯寫II新變量，如上例也 可這樣解：斤<解 8S、xsinxdx = - | 2cos xd cosxJoJo注：當(dāng)不明顯寫出新變計時，積分限就不變電例3證明謝a)在-出。上連續(xù)目.為偶函數(shù)，則 fafa(2)J /(x)Jx= 21 f(x)dx茍'(x)在上連續(xù)且為奇函數(shù),貝!J f(x)dx=0J-af f(x)dx = f： f(x)dx+"(x)dx在J f(x)dx 令x = -t,則將j /(x)t/x= 一f/(T)力=£= ；'

4、;/(一x)dx于是J：/(x)dx=工 /(r)dx +二 ："(-x) + /(x)H”(1)荀(x)是偶函嬴則一(%) +，(-*) = 2/(%)一一 . faca所以 I f(x)dx =2| f(x)dx J-aJ()(2)荀(x)為奇函數(shù)，貝ljf (t) + f(x) = 0所以 J"f(x)dx=0若f(x)在0,1上連續(xù)，證明J 2 f (sin x)dx = £2 f (cos x)dx:, xf (sin x)dx =/(sinx)dr,并由此計算"in：公J。1 + COS - X作業(yè)P2421.(4) (8) (9)(10)

5、(13)3. (2)定積分的分步積分法設(shè)*）,心）在區(qū)間。向上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則有于是(«v)'Jx = u vdx- uVdx 即 =ru'vdx+ uVdxJaJa所以這個公式就是定積分的）步枳分公式C例1計算Jlnxdx解 ii = Inx ,v = x,du = dx,dv = dx xInx</x=xlnx, x =e-(e 1)=1例2計算，idx解令& = t,貝lJx= 2tdt,且當(dāng)x = OH寸，=0；%=1時，/ = L于是)6、' dx = 2terdt = 2 tde 換兀法二21(加')|；)一(。2/分明= 2

6、e-(e')ol = 2例3證明定積分公式:nnn -1 n-3n 一 2n - 1 一 3n 一2小 in"d=Ecos"Mx32工為正偶數(shù)4 2 24 2，為大于1的正奇數(shù)5 3第七節(jié)是而今在幾何當(dāng)上的反用一、平面圖形的面積 二、平面曲線的弧長三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積一、平面圖形的面積設(shè)曲線產(chǎn)九次三。與直線%=/><2>分及N軸所圍曲 邊梯形面積為At則dA = /(x)dr rb' =/")心右下圖所示圖形面積為bA =/*)_4(門心例1.計算兩條拋物線 所圍圖形的面積.解：由得交點(0,0 ,(1,1 y在第

7、一象限所圍 y2 = x 2 (1,1； Ad=A = f 0 1 ( x - x dx o y = x2 x 1 x +d x x 1 = 3y 2 = 2 x與直線y = x - 4所圍圖形 例2.計算拋物線 的面積.解：由得交點y (2，- 2 , (8,4則有y+d y y o y 2 = 2x (8,4為簡便計算，選取y作積分變量，y = x-4 (2，- 2 x d A = ( y + 4 - 1 y 2 dy . . A= / 2 -2 4 = 18二、平面曲線的弧長 弧長元素(弧微分:ds = (dx + (d y 2 2 y ds y = f (x' 2 d x =1+