高數(shù)公式大全(全)

1、高數(shù)公式大全1.基本積分表:tgxdx ln cosx CctgxdxIn sin xsecxdxIn secxtgx Cdx2- cos xdxsin x2sec xdx tgx C2csc xdx ctgx CcscxdxIn cscxctgx Csecx tgxdx secx Cdx22a x-arctg adx22x a-lln 2acscx ctgxdx cscx Cxx aaxdx Cln ashxdx chx Cdx22a xdx22,a* 2 x2Ln2a一一 xarcsin 一 achxdx shx Cdx2 aln(x . x2 a2) C2ln(x2a2一 ln x2,x

2、2a2) CVx2a2 C2萬I n sinn xdxcosn xdx0022 . x 22x a dx ：.： x a222 , x 22, x a dx - . x a2Va a x2dx x va2 x22三角函數(shù)的有理式積分:2一.一2u 1 usinx 2, cosx 2.1 u21 u2tg?dx2du1 u2一些初等函數(shù):兩個重要極限:雙曲正弦:shx雙曲余弦:chxx xe e2x xe e2limx 0lim (1 )雙曲正切:thxshx echx ex e 2.718281828459045arshxarchxln(x x2 1)ln(xx21)arthx1ln12 1三

3、角函數(shù)公式:,誘導(dǎo)公式：函數(shù)角Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90- acos asin actg atg a90 0+ acos a-sin a-ctg a-tg a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180+a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 + a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg asin( cos(sincoscoscoscos sins

4、in sinsinsin2sincos22tg(tgtgsinsin2 cossin22ctg(1 tg tg ctg ctgctg ctgcoscos2 coscos 22和差角公式:coscos2 sinsin22和差化積公式:倍角公式:sin 2cos2ctg2tg22sin22cosctg22ctg2tg1 tg2cos半角公式:sin 21 cos,1 costg 2, 1 cos正弦定理：一sin A反三角函數(shù)性質(zhì):-21 1 2sin1 cossinsin Barcsin x高階導(dǎo)數(shù)公式一一萊布尼茲(uv)(n)nC：u(nk 0k)v(k)(n)u V(n 1) nu vn(n

5、 1)2!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:拉格朗日中值定理:柯西中值定理：fbf(b)f(a)F(b) F(a)2 cossin1 cos2R sin C一 arccosx 2Leibniz)(n 2)Vf(a)f (公式:n(n. 2 sincos2ctg 2sin3cos33sin4cos34sin33 costg33tg tg33tg21 cos1 cos,1 cos1 cossinsin1 cos余弦定理：arctgx1) (n kk!()(b a)當F(x) x時，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率:b22abcosC1)arcctgx(n k) (k) u V(n) uvs: MM弧長。

6、弧微分公式：ds V1 y dx,其中y tg平均曲率：K |.:從M點到M點，切線斜率的傾角變 化量;M點的曲率：K lim.s 0 s ds J(1 y 2 )3直線：K 0;，一 一一 1半徑為a的圓：K -.a定積分的近似計算:b矩形法：f (x)ab梯形法：f (x)ab拋物線法：f (x)aaz(y。 nyib a1 /T2(y。yn)yn)yn 1)yn 12(y2V4yn 2) 4(y1 y3yn 1 )定積分應(yīng)用相關(guān)公式:功：W F s水壓力：F p A引力：F km等,k為引力系數(shù) r函數(shù)的平均值：y1f(x)dx b a a均方根：f2(t)dt :b aa空間解析幾何和

7、向量代數(shù):空間2點的距離：d M 1M 2向量在軸上的投影：Pr ju AB,、2,、2,、2.(X2 Xi) (y2 yi) (Z2 zi)aB cos ,是aB與u軸的夾角。Prju(ai a2) Prjai Prja2a b a b cosaxbx ayby azbz,是一個數(shù)量兩向量之間的夾角： cosaxbxaybyazbzax2ay2az2 . bx2by2bz2ijka b sin .例:線速度:cab axavaz, cxyz，bxbybz向量的混合積：abc (a b) cax ay az bx by bza b c cos , 為銳角時,cxcycz代表平行六面體的體積平面

8、的方程：1、點法式：A(x xo) B(y yo) C(z 4) 0,其中 n A,B,C, M o(x0, yo,z)2、一般方程：Ax By Cz D 03、截距世方程：- 1abc平面外任意一點到該平 面的距離：d JAxo Byo Czo D! ,A2 B2 C2空間直線的方程:x xomyyoz zon px xot,其中s m,n, p;參數(shù)方程：y yoz zomtntPt二次曲面：2221、橢球面：勺4 J 1abc222、拋物面： 匕 z,(p,q同號)2P 2q 八3、雙曲面：2 z2 c2 z2 c11(馬鞍面)22單葉雙曲面：T2 a2 b222雙葉雙曲面：三二 a b

9、2多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dz dx dyx y全微分的近似計算：z dz, u . u . u .du dx dy dzx fx(x,y) xy z fy(x,y) y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：z fu(t)，v(t)竽z fu(x,y),v(x,y)uz v- tv tz u z當u u(x,y), vdu dx - dyx v(x, y)時，dv隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:隱函數(shù)F(x,y) 0,dydxdxxdyy隱函數(shù) F(x,y,z) 0,yFxd2y dx2Fx) dyFy，dxFzFyfz隱函數(shù)方程組：F(x,y,u,v)G(x,y,u,v)(F,G)(u,v)F,GFvGv1 J1 J

10、(F,G) (x,v) (F,G) (y,v)1 J1 J(F,G) (u,x) (F,G) (u,y)微分法在幾何上的應(yīng)用:x空間曲線yz(t)(t)在點M (x0,y0,小)處的切線方程:(t)xX0(t0)y(t0)z z0(t0)在點M處的法平面方程:(t)(x x)(t0)(yy0)(to)(z z)若空間曲線方程為：F(x，y，z) 0則切向量T G(x,y,z) 0曲面 F(x,y,z) 0上一點 M (x0,y0,z),則：1、2、過此點的法向量：n Fx(x0, y0,z0), Fy(x0,y0, ), Fz(x0, y0,z)過此點的切平面方程：Fx(x0,y0,z)(x

11、x) Fy(x0,y0,z)(y y)3、過此點的法線方程:x x0y y。z z0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0) Fz(x0, y0,z0)Fz(x0,y0,z0)(z zo) 0方向?qū)?shù)與梯度:函數(shù)z f (x, y)在一點p(x,y)沿任一方向l的方向?qū)?shù)為：cossinl x y其中為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角。函數(shù)z f (x, y)在一點 p(x, y)的梯度：gradf (x,y) i j x y它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：f grad f (x, y) e,其中e cos i sin j,為l方向上的 單位向量。-f是gradf (x, y)在l上的投影。多元函數(shù)的極值及其

12、求法:設(shè)fx(x0,yo)fy(xo,yo)0,令：fxx(xo,yo)A,fxy (xo, yo)B,fyy(x0,y。) C0,(Xo , yO)為極大值0,(x0, y0)為極小值無極 值不確定AC B20時，A則：AC B20時，AC B 20時，重積分及其應(yīng)用:f (x, y)dxdyDf(r cosD,rsin )rdrd曲面z f(x, y)的面積Adxdy平面薄片的重心：X MxMx (x,y)dD(x, y)dDMyMy (x,y)dD(x, y)dD(x,y)xdx f3，D / 222 X2(x y a )2x2 (x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量

13、：對于x軸Ix y2 (x, y)d , 對于y軸1yD平面薄片(位于 xoy平面)對z軸上質(zhì)點M (0,0, a),(a 0)的引力：FF f (x，y)yd , Fz fa (x,y)xd y3z3D / 222x 2D / 222、2(x y a )(x y a )柱面坐標和球面坐標:x r cos柱面坐標：y r sin ,f (x, y, z)dxdydzF(r,z)rdrd dz,其中：F(r, ,z) f (r cos,r sin ,z)x r sin cos 球面坐標：y r sin sindv rdr sindrr2sin drd dz r cosf (x, y,z)dxdy

14、dzF(r,、2 ,)r sindrdr(,)F(r,0、2 ,)r sindr重心：xx dv,dv,dv,其中Mdv轉(zhuǎn)動慣量:Ix(y2z2)dv,dv,Iz(x2y2) dv曲線積分:第一類曲線積分(對弧長的曲線積分)設(shè)f (x,y)在L上連續(xù),L的參數(shù)方程為: (t),)，則:f(x,y)ds fL(t),(t),2(t)2(t)dt特殊情況:第二類曲線積分(對坐設(shè)L的參數(shù)方程為標的曲線積分)：，則：(t)(t)P( x, y)dx Q(x, y)dyL兩類曲線積分之間的關(guān)P (t),Q(t),(t) dtL上積分起止點處切向量系：PdxL的方向角。Qdy(Pcoscos)ds,其中分

15、別為格林公式:QP)dxdyPdx Qdy格林公式：xyL,即：-Q- -2時，得到D的面積xyD無關(guān)的條件:L(D當 P y,Q xP)dxdy y:PdxLQdydxdy 1 xdy2 Lydx平面上曲線積分與路徑1、G是一個單連通區(qū)域;2、P (x, y), Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)PPo注意奇點，如 y(0,0),應(yīng)減去對此奇點的積分，二元函數(shù)的全微分求積在=-P時，Pdxx y(x,y)注意方向相反!Qdy才是二元函數(shù)u(x,y)的全微分,其中:u(x,y)P (x, y) dx (x0 ,y)Q (x, y )dy ,通常設(shè)x0 y 00。曲面積分:對面積的曲面積分:對

16、坐標的曲面積分:R( x, y, z) dxdyP(x, y, z) dydzQ(x, y, z)dzdx2-2_ 一 .f(x, y,z)ds fx, y,z(x,y). 1 Zx(x,y) Zy(x, y)dxdy DxyP(x, y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中:Rx,y,z(x, y)dxdy,D xyPx(y,z), y,zdydz,D yzQx, y(z,x), zdzdx,D zx取曲面的上側(cè)時取正取曲面的前側(cè)時取正取曲面的右側(cè)時取正號;號;號。兩類曲面積分之間的關(guān)系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (P cos Q cosRco

17、s )ds高斯公式:PQR(一一)dv - Pdydz Qdzdx Rdxdy - (Pcos xyz高斯公式的物理意義通量與散度：QcosRcos )ds散度：div ,gp：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若div0,則為消失x y z通量： A ndsAnds(Pcos Qcos Rcos )ds,因此，高斯公式又可寫成： div Adv o Ands斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系:()dydz ( )dzdx ( y zz xxP、，)dxdy Pdx Qdy Rdz ydydz dzdx dxdy上式左端又可寫成：xyzPQR空間曲線積分與路徑無 關(guān)的條件：yijk旋度：rot

18、A xyzPQR向量場A沿有向閉曲線coscoscosyzQRR Q P一, 一 一x x y的環(huán)流量：Pdx QdyRdz A t ds常數(shù)項級數(shù):n (nn1 q1 q1)n2等比數(shù)列：1 q q2等差數(shù)列：1 2 3調(diào)和級數(shù)：1 1 123級數(shù)審斂法:1、正項級數(shù)的審斂法設(shè)： lim ;；U=貝 1 n2、比值審斂法：設(shè)： lim UAA,則 n U n3、定義法:Sn 5 U2交錯級數(shù)U1 u2根植審斂法（柯西判1時，級數(shù)收斂1時，級數(shù)發(fā)散1時，不確定1時，級數(shù)收斂1時，級數(shù)發(fā)散1時，不確定un; lim sn存在,則收斂；否則發(fā) nU3 U4(或 U1 u2 u3如果交錯級數(shù)滿足Un

19、 Un1lim Un 0n別法）：散。,Un 0）的審斂法萊布尼茲定理:那么級數(shù)收斂且其和sU1,其余項rn的絕又t值rnUn 1。絕對收斂與條件收斂:U1 U2Un ,其中Un為任意實數(shù)；（2） U1 U2 U3Un如果（2）收斂，則（1）肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù);如果（2）發(fā)散，而（1）收斂，則稱（1）為條件收斂級數(shù)。1 （1）n調(diào)和級數(shù)：1發(fā)散，而人收斂；nn級數(shù)：m收斂；n女有 1 /P 1時發(fā)散p級數(shù)： -八“n .p 1時收斂哥級數(shù):對于級數(shù)(3)a。a1x2a2x數(shù)軸上都收斂，則必存在R,求收斂半徑的方法：設(shè)函數(shù)展開成哥級數(shù):函數(shù)展開成泰勒級數(shù):f(n 1)(余項：Rn (n

20、 1)!)(x1時,1時,nanx收斂于二1 x發(fā)散,如果它不是僅在原點收斂，也不是在全R時收斂R時發(fā)散R時不定其中an，f(x) f(xo)(x x),其中R稱為收斂半徑。an 1是(3)的系數(shù),(x0 )2(x x) 2!0時，R -0時，R時，R 0f(xn!nxo)x0)n 1, f (x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是：lim Rnnx0 0時即為麥克勞林公式：f (x) f (0) f (0)x f (0) x2-(0) xn2!n!一些函數(shù)展開成哥級數(shù)：m(1 x)m(m 1) 21 mx x2!m(m 1) (m n 1) n xn!(1x1)sin x x3 x3!5 x5!1)n2n 1x(2n 1)!歐拉公式:cos xix eixixe cos x i sin xsin xixixe e三角級數(shù):f(t) A。其中，a. ,、a0An sin( n t n) 一n 12aA0, anAn sin n, bn(an cos nx bn sin nx)n 1An cos n, t x。任意兩個不同項的乘積正交性：1,sin x, cos x, sin 2x,cos 2x sin nx,cos nx上的積分=0。傅立葉級數(shù)f (x)a0-(an cos nx bn sin nx),周期 22 n 1an一 f (x) cos