復(fù)變函數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算1-習(xí)題課解讀

1、2一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：重點(diǎn)：難點(diǎn)：難點(diǎn)：1. 復(fù)數(shù)運(yùn)算和各種表示法復(fù)數(shù)運(yùn)算和各種表示法2. 復(fù)變函數(shù)以及映射的概念復(fù)變函數(shù)以及映射的概念1. 復(fù)數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域復(fù)數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域2. 映射的概念映射的概念3二、內(nèi)容提要二、內(nèi)容提要復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)極限極限連續(xù)性連續(xù)性代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算乘冪與方根乘冪與方根復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)表示法幾何表示法幾何表示法 向量表示法向量表示法三角及指數(shù)表示法三角及指數(shù)表示法復(fù)球面復(fù)球面復(fù)平面復(fù)平面擴(kuò)充擴(kuò)充曲線曲線與區(qū)域與區(qū)域判別定理判別定理極限極限的計(jì)算的計(jì)算4 1.1.復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念. , 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)或或我們稱

2、我們稱對(duì)于任意兩實(shí)數(shù)對(duì)于任意兩實(shí)數(shù)iyxzyixzyx , , 的實(shí)部和虛部的實(shí)部和虛部分別稱為分別稱為其中其中zyx).Im(),Re( zyzx 記作記作 ; , 0 , 0 稱為純虛數(shù)稱為純虛數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)iyzyx . ,0 , 0 xixzy我們把它看作實(shí)數(shù)我們把它看作實(shí)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) . 0,0, 0 zyx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)5, 222111iyxziyxz 設(shè)兩復(fù)數(shù)設(shè)兩復(fù)數(shù)1) 兩復(fù)數(shù)的和兩復(fù)數(shù)的和).()(212121yyixxzz 2) 兩復(fù)數(shù)的積兩復(fù)數(shù)的積).()(2112212121yxyxiyyxxzz 3)兩復(fù)數(shù)的商兩復(fù)數(shù)的商.222221122222212121yxyxyxiyx

3、yyxxzz 2. 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算64)共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù) , zz 共軛的復(fù)數(shù)記為共軛的復(fù)數(shù)記為與與. , iyxziyxz 則則若若 實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù). .共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì);)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 7 3. 3.復(fù)數(shù)的其它表示法復(fù)數(shù)的其它表示法. . , , , . ),( 面面面叫復(fù)平面叫復(fù)平這種用來(lái)表示復(fù)數(shù)的平這種用來(lái)表示復(fù)數(shù)的平軸軸叫

4、虛軸或叫虛軸或縱軸縱軸軸軸通常把橫軸叫實(shí)軸或通常把橫軸叫實(shí)軸或用來(lái)表示復(fù)數(shù)用來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面可以的平面可以一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系因此因此對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)成一一成一一與有序?qū)崝?shù)對(duì)與有序?qū)崝?shù)對(duì)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)yxyxiyxz . ),( 表示表示面上的點(diǎn)面上的點(diǎn)可以用復(fù)平可以用復(fù)平復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz （1 1）幾何表示法）幾何表示法8（2 2）向量表示法）向量表示法., ,來(lái)表示來(lái)表示也可用向量也可用向量復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)因此因此平面向量成一一對(duì)應(yīng)平面向量成一一對(duì)應(yīng)的的指向點(diǎn)指向點(diǎn)與從原點(diǎn)與從原點(diǎn)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上在復(fù)平面上OPziyxzz ),(yxP xyxyoiyx

5、z rz 復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值或絕對(duì)值) , 的?；蚪^對(duì)值的模或絕對(duì)值向量的長(zhǎng)度稱為向量的長(zhǎng)度稱為 z. 22yxrz 記為記為9 模的性質(zhì)模的性質(zhì), zx , zy ,yxz .22zzzz ;) 1 (2121zzzz .)2(2121zzzz 三角不等式三角不等式復(fù)數(shù)的輻角復(fù)數(shù)的輻角 ., 0,0而輻角不確定而輻角不確定時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) zz.0有無(wú)窮多個(gè)輻角有無(wú)窮多個(gè)輻角任何一個(gè)復(fù)數(shù)任何一個(gè)復(fù)數(shù) z , 1是其中一個(gè)輻角是其中一個(gè)輻角如果如果 的全部輻角為的全部輻角為那么那么z).( 2Arg1為任意整數(shù)為任意整數(shù)kkz . Arg , , , 0 zzOPzz記作記作的輻角的輻角稱為稱

6、為為終邊的角的弧度數(shù)為終邊的角的弧度數(shù)的向量的向量以表示以表示以正實(shí)軸為始邊以正實(shí)軸為始邊的情況下的情況下在在10.arg , Arg , )0( 000zzz 記作記作的主值的主值稱為稱為的的把滿足把滿足的輻角中的輻角中在在 . 0, 0, 0, 0,arctan, 0, 0,2, 0,arctanargyxyxxyyxxxyz輻角的主值輻角的主值0 z)2arctan2( xy其中其中輻角的主值輻角的主值11 （3）三角表示法）三角表示法利用歐拉公式利用歐拉公式,sincos iei 復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成 irez 稱為復(fù)數(shù)稱為復(fù)數(shù) z 的指數(shù)表示式的指數(shù)表示式.（4）指數(shù)表示法）

7、指數(shù)表示法利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系 ,sin,cos ryrx復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成)sin(cos irz 12 4.復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)數(shù)的乘冪與方根 1) 乘積與商乘積與商 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積; 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.,sin(cos1111）若若 irz ,sin(cos2222） irz )sin()cos(21212121 irrzz.ArgArg)(Arg2121zzzz 則有則有13 幾何意義幾何意義復(fù)數(shù)相乘就是把模相乘復(fù)數(shù)相乘就是把模相乘, ,

8、 輻角相加輻角相加. . , 2倍倍再把它的模擴(kuò)大到再把它的模擴(kuò)大到 r從幾何上看從幾何上看, 兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為 , ,21zz , 21 旋轉(zhuǎn)一個(gè)角旋轉(zhuǎn)一個(gè)角按逆時(shí)針?lè)较虬茨鏁r(shí)針?lè)较蛳劝严劝?z . 21zzz 就表示積就表示積所得向量所得向量 2 oxyr2r1r 2z1 1z z14 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商; 兩個(gè)兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.,1212zzzz .ArgArgArg1212zzzz 的指數(shù)形式分別為的指數(shù)形式分別為和和設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)21zz,111

9、 ierz .)(121212 ierrzz則則,222 ierz ,sin(cos1111）若若 irz ,sin(cos2222） irz 則有則有15 2) 冪與根冪與根(a) n次冪次冪:, , nznzzn記作記作次冪次冪的的的乘積稱為的乘積稱為個(gè)相同復(fù)數(shù)個(gè)相同復(fù)數(shù). 個(gè)個(gè)nnzzzz . )sin(cos , ninrznnn 有有對(duì)于任何正整數(shù)對(duì)于任何正整數(shù).1 , nnzzn 有有為負(fù)整數(shù)時(shí)為負(fù)整數(shù)時(shí).ArgArg,znzzznnn 因而有因而有16.sincos)sin(cos ninin . , (c)為已知復(fù)數(shù)為已知復(fù)數(shù)其中其中的根的根計(jì)算方程計(jì)算方程zwzwn nkin

10、krzwnn2sin2cos1 )1, 2 , 1 , 0( nk (b)(b)棣莫佛公式棣莫佛公式.,個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn)邊形的邊形的的圓的內(nèi)接正的圓的內(nèi)接正為半徑為半徑個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心的的在幾何上在幾何上nnrnznn17 5.復(fù)球面與擴(kuò)充復(fù)平面復(fù)球面與擴(kuò)充復(fù)平面南極、北極的定義南極、北極的定義 , 0 的球面的球面點(diǎn)點(diǎn)取一個(gè)與復(fù)平面切于原取一個(gè)與復(fù)平面切于原 z , 與原點(diǎn)重合與原點(diǎn)重合球面上一點(diǎn)球面上一點(diǎn) S , NS點(diǎn)點(diǎn)直線與球面相交于另一直線與球面相交于另一作垂直于復(fù)平面的作垂直于復(fù)平面的通過(guò)通過(guò) . , 為南極為南極為北極為北極我們稱我們稱SNxyPNOS(1)

11、復(fù)球面復(fù)球面18 球面上的點(diǎn)球面上的點(diǎn), 除去北極除去北極 N 外外, 與復(fù)平面內(nèi)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 我們可以用我們可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù).我們規(guī)定我們規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無(wú)窮大無(wú)窮大”與與復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng), 記作記作. 因而球面上因而球面上的北極的北極 N 就是復(fù)數(shù)無(wú)窮大的幾何表示就是復(fù)數(shù)無(wú)窮大的幾何表示. 球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng), 這樣的球面稱為這樣的球面稱為復(fù)球面復(fù)球面. 復(fù)球面的定義復(fù)球面的定義19包括

12、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面, , 或簡(jiǎn)稱復(fù)平面或簡(jiǎn)稱復(fù)平面. .對(duì)于復(fù)數(shù)對(duì)于復(fù)數(shù)來(lái)說(shuō)來(lái)說(shuō), 實(shí)部實(shí)部,虛部虛部,輻角等概念均無(wú)意輻角等概念均無(wú)意義義, 它的模規(guī)定為正無(wú)窮大它的模規(guī)定為正無(wú)窮大. : 的四則運(yùn)算規(guī)定如下的四則運(yùn)算規(guī)定如下關(guān)于關(guān)于 )(, : )( 加法加法a)(, : )( 減法減法b)0(, : )( 乘法乘法c)0( ,0),( , 0 : )( 除法除法d (2) (2) 擴(kuò)充復(fù)平面的定義擴(kuò)充復(fù)平面的定義20 6.曲線與區(qū)域曲線與區(qū)域（1 1）鄰

13、域）鄰域. : )( , 000的鄰域的鄰域內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為的圓的圓為半徑為半徑任意的正數(shù)任意的正數(shù)為中心為中心平面上以平面上以zzzz . 0 00的去心鄰域的去心鄰域所確定的點(diǎn)的集合稱為所確定的點(diǎn)的集合稱為不等式不等式zzz （2 2）內(nèi)點(diǎn)）內(nèi)點(diǎn). , , . , 000的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)稱為稱為那末那末于于該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域存在存在如果如果中任意一點(diǎn)中任意一點(diǎn)為為為一平面點(diǎn)集為一平面點(diǎn)集設(shè)設(shè)GzGzGzG21 如果如果 G 內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn), ,那末那末G 稱為稱為開(kāi)集開(kāi)集. .(4) (4) 區(qū)域區(qū)域 如果

14、平面點(diǎn)集如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件滿足以下兩個(gè)條件, , 則稱則稱它為一個(gè)區(qū)域它為一個(gè)區(qū)域. . (a) D是一個(gè)是一個(gè)開(kāi)集開(kāi)集； (b) D是是連通的連通的, ,即即D中任何兩點(diǎn)都可以用完全中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于屬于D的一條折線連結(jié)起來(lái)的一條折線連結(jié)起來(lái).(3) (3) 開(kāi)集開(kāi)集22(5) (5) 邊界點(diǎn)、邊界邊界點(diǎn)、邊界 設(shè)設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域, ,如果點(diǎn)如果點(diǎn)P P 不屬不屬于于D, 但在但在P P 的任意小的鄰域內(nèi)總有的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點(diǎn)中的點(diǎn),這這樣的樣的P P點(diǎn)我們稱為點(diǎn)我們稱為D的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn). (7) (7)有界區(qū)域和無(wú)界區(qū)域有界區(qū)域和

15、無(wú)界區(qū)域. , , 0, , 界的界的否則稱為無(wú)否則稱為無(wú)稱為有界的稱為有界的那末那末點(diǎn)都滿足點(diǎn)都滿足使區(qū)域的每一個(gè)使區(qū)域的每一個(gè)即存在即存在為中心的圓里面為中心的圓里面點(diǎn)點(diǎn)可以被包含在一個(gè)以原可以被包含在一個(gè)以原如果一個(gè)區(qū)域如果一個(gè)區(qū)域DMzMD D的所有邊界點(diǎn)組成的所有邊界點(diǎn)組成D的的邊界邊界. . (6) 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域. 閉區(qū)域閉區(qū)域 23. )( )( , )()( :的起點(diǎn)和終點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別稱為分別稱為與與為一條連續(xù)曲線為一條連續(xù)曲線設(shè)設(shè)CbzazbtatzzC . )( , )()( , , 121212121的重點(diǎn)的重點(diǎn)稱為曲線稱

16、為曲線點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)而有而有當(dāng)當(dāng)與與的的對(duì)于滿足對(duì)于滿足Ctztztzttttbtabta 沒(méi)有重點(diǎn)的曲線沒(méi)有重點(diǎn)的曲線 C 稱為簡(jiǎn)單曲線稱為簡(jiǎn)單曲線( (或若爾或若爾當(dāng)曲線當(dāng)曲線).). , )( )( , 為簡(jiǎn)單閉曲線為簡(jiǎn)單閉曲線那末稱那末稱即即的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合如果簡(jiǎn)單曲線如果簡(jiǎn)單曲線CbzazC (8) (8) 簡(jiǎn)單曲線簡(jiǎn)單曲線24(9) (9) 光滑曲線光滑曲線.0, )( )( , , )( )( , 22稱這曲線為光滑的稱這曲線為光滑的那末那末有有的每一個(gè)值的每一個(gè)值且對(duì)于且對(duì)于都是連續(xù)的都是連續(xù)的和和上上如果在如果在 tytxttytxbta 由幾段依次相接的光滑曲線所

17、組成的曲線由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線稱為按段光滑曲線. . 任意一條簡(jiǎn)單閉曲線任意一條簡(jiǎn)單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成將復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì)簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì)25(10) (10) 單連通域與多連通域單連通域與多連通域 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線條簡(jiǎn)單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于B, 就稱為就稱為單連通域單連通域. 一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為就稱為多連通域多連通域. 從幾何上看，單連通域就是無(wú)洞、無(wú)割痕從幾何上看，

18、單連通域就是無(wú)洞、無(wú)割痕的域的域.26 7. 復(fù)變函數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)的概念(1)(1)復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義).( ),( , , , , . zfwzwivuwzGiyxzG 記作記作復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱的函數(shù)的函數(shù)是復(fù)變數(shù)是復(fù)變數(shù)那末稱復(fù)變數(shù)那末稱復(fù)變數(shù)之對(duì)應(yīng)之對(duì)應(yīng)與與就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)每一個(gè)復(fù)數(shù)每一個(gè)復(fù)數(shù)中的中的對(duì)于集合對(duì)于集合按這個(gè)法則按這個(gè)法則個(gè)確定的法則存在個(gè)確定的法則存在如果有一如果有一的集合的集合是一個(gè)復(fù)數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)設(shè)設(shè): )( 相當(dāng)于兩個(gè)關(guān)系式相當(dāng)于兩個(gè)關(guān)系式之間的關(guān)系之間的關(guān)系自變量自變量與與復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)zfwzw ).,(),(yxvvyx

19、uu 27).()( * )( )( , , 或變換或變換的映射的映射函數(shù)值集合函數(shù)值集合平面上的一個(gè)點(diǎn)集平面上的一個(gè)點(diǎn)集變到變到定義集合定義集合一個(gè)點(diǎn)集一個(gè)點(diǎn)集平面上的平面上的把把在幾何上就可以看作是在幾何上就可以看作是數(shù)數(shù)那末函那末函的值的值平面上的點(diǎn)表示函數(shù)平面上的點(diǎn)表示函數(shù)另一個(gè)平面另一個(gè)平面而用而用的值的值平面上的點(diǎn)表示自變量平面上的點(diǎn)表示自變量如果用如果用GwGzzfwwwzz . , , , , 的點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系上上必須看成是兩個(gè)復(fù)平面必須看成是兩個(gè)復(fù)平面的幾何圖形表示出來(lái)的幾何圖形表示出來(lái)因而無(wú)法用同一平面內(nèi)因而無(wú)法用同一平面內(nèi)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系之間的對(duì)應(yīng)關(guān)

20、系和和由于它反映了兩對(duì)變量由于它反映了兩對(duì)變量對(duì)于復(fù)變函數(shù)對(duì)于復(fù)變函數(shù)yxvu(2) (2) 映射的定義映射的定義28函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義. )( )( 0 , )0()( , 0 , , 0 )( 0000時(shí)的極限時(shí)的極限趨向于趨向于當(dāng)當(dāng)為為那末稱那末稱時(shí)有時(shí)有使得當(dāng)使得當(dāng)相應(yīng)的必有一正數(shù)相應(yīng)的必有一正數(shù)對(duì)于任意給定的對(duì)于任意給定的存在存在如果有一確定的數(shù)如果有一確定的數(shù)內(nèi)內(nèi)的去心鄰域的去心鄰域定義在定義在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zzzfAAzfzzAzzzzfw )( .)(lim 00AzfAzfzzzz 或或記作記作注意注意: :.0的方式是任意的的方式是任意的定義中定義中 zz 8.8.

21、復(fù)變函數(shù)的極限復(fù)變函數(shù)的極限29. ),( ),( , ),(),()( 的極限問(wèn)題的極限問(wèn)題和和函數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變的極限問(wèn)題的極限問(wèn)題該定理將求復(fù)變函數(shù)該定理將求復(fù)變函數(shù)yxvyxuyxivyxuzf 極限計(jì)算的定理極限計(jì)算的定理.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要條件是的充要條件是那末那末設(shè)設(shè)30).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 BBAz

22、gzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那么那么設(shè)設(shè)與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似. 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則31（1 1）連續(xù)的定義）連續(xù)的定義 . )( , )( . )( ),()(lim 000內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在我們說(shuō)我們說(shuō)內(nèi)處處連續(xù)內(nèi)處處連續(xù)在區(qū)域在區(qū)域如果如果處連續(xù)處連續(xù)在在那么我們就說(shuō)那么我們就說(shuō)如果如果DzfDzfzzfzfzfzz . , )()(lim )( 000CzzfzfzCzfzz 處連續(xù)的意義是處連續(xù)的意義是上上在曲線在曲線函數(shù)函數(shù) 9.9.復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性32.)()()(a)000處仍連續(xù)處仍連續(xù)在

23、在不為零不為零分母在分母在積、商積、商的和、差、的和、差、和和連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)在在zzzgzfz . )( , )( )( , )( (b)0000連續(xù)連續(xù)處處在在那末復(fù)合函數(shù)那末復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在如果函數(shù)如果函數(shù)zzgfwzghhfwzzgh .) ,( ),( ),( : ),(),()( 00000處連續(xù)處連續(xù)在在和和連續(xù)的充要條件是連續(xù)的充要條件是在在函數(shù)函數(shù)yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 連續(xù)的充要條件連續(xù)的充要條件連續(xù)的性質(zhì)連續(xù)的性質(zhì)33,)(2210nnzazazaazPw 有理整函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式多項(xiàng)式) ; 都是連續(xù)的都是連續(xù)

24、的對(duì)復(fù)平面內(nèi)的所有點(diǎn)對(duì)復(fù)平面內(nèi)的所有點(diǎn) z有理分式函數(shù)有理分式函數(shù),)()(zQzPw , )( )( 都是多項(xiàng)式都是多項(xiàng)式和和其中其中zQzP 特殊的特殊的:在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的.34三、典型例題三、典型例題求證求證是兩個(gè)復(fù)數(shù)是兩個(gè)復(fù)數(shù)設(shè)設(shè),21zz例1例1.)2);Re(2)12121212221221zzzzzzzzzz )1證證)(2121221zzzzzz )(2121zzzz 21122211zzzzzzzz )(21212212zzzzzz ).Re(2212212zzzz 35),Re(2)1)2212221221zzzzzz

25、 知知由由2122212212zzzzzz 又又2122212zzzz ,2212221zzzz ),Re(2121zzzz 因?yàn)橐驗(yàn)?6)Re(2212221zzzz 所以所以.221221zzzz 即即.,2121zzzz 得得兩邊開(kāi)方兩邊開(kāi)方 其幾何意義是三角形任意一邊的長(zhǎng)不小于其幾何意義是三角形任意一邊的長(zhǎng)不小于其它兩邊邊長(zhǎng)之差的絕對(duì)值其它兩邊邊長(zhǎng)之差的絕對(duì)值.,2212221zzzz 37. 11, 1:, 1000 zzzzzz則則若若證明證明設(shè)設(shè)例2例2證證則則若若, 1 z,1)1(20202zzz 202zz因?yàn)橐驗(yàn)?Re(2020220z zzzzz 又又)Re(210202z zzz , 11200 zzzz所以所以. 1100 zzzz即即201z .1202zz ,120z z 38., 0137112的值的值求求已知已知xxxxx 例3例3解解),1)(1(123 xxxx因?yàn)橐驗(yàn)? 012是一個(gè)三次單位根是一個(gè)三次單位根故故而而xxx 1,37211 xxxxx從而從而. 0123711 xxxxx所以所以39.1,112的值的值求求次單位根次單位根的的是任意一個(gè)不等于是任意一個(gè)不等