首屆耀華杯高二年級數(shù)學競賽概要

1、首屆“耀華杯”高二年級數(shù)學競賽本試卷共二頁（第一頁）選擇題（每題4分，共40分）1 .已知函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)，則方程 f（x）+3 = 0 （）A.有且僅有一個實根B .至多有一個實根C.至少有一個實根D.不同于以上結(jié)論2 .方程X2 -2 = lg（x + V2 +1）的實根的個數(shù)是（）A. 1B. 2C. 3 D. 43 .在等比數(shù)列 n中，已知對任意自然數(shù) n有a1 +a2 + +an =3n -1,則 a12 +af + +a2等于（）A.9n -1B.1（9n-1）C.1（9n-1）D.（3n-122334 .過橢圓的一個焦點 F作與橢圓長軸的夾角為 arccos的直線，交橢4

2、.2B. 一3圓于A、B兩點，若AF ： BF =1 ： 3,則橢圓的離心率等于（）D.3C. 一3方程ax2 +bx + c = 0(a >0)的兩個實根為xx2 ,集合=& | x A x1 , T = & | x > x2 ,Q = & | x < x2 ,則不等式ax2+bx + c > 0的解集為()A. (Sh )U(pQq )b. (S1Tp(PQ)C. (sUt)U(pUq)d. (sUtP(pUq)6 .對角口和口 。 若滿足sinsiA+c o°Sc。隹=0 ,則sin 2a +sin 2P 的值等于()A. 0B.

3、 1C. 22D.比J2大的值7 .函數(shù)y=lgX2 +(m 2K+1的值域為R,則實數(shù)m的取值范圍是( )A. (0,4)B, 0,4C. (-°°,0)U(4*)D. (_°o,0】Ul4*)22.8 .在直角坐標平面內(nèi)，A（4,0 ）, B在圓（X 2） +y2=1上，以AB為邊作正三角形 ABC （A、B、C按順時針排列），則頂點C的軌跡是（）A.圓 B.橢圓 C.拋物線D.雙曲線的一支9 .棱長為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為（）3 aA. 一33 aB. 一43 a C. 63 a D. 121 0 . 在區(qū)間 1,21

4、上, 函數(shù) f (x )= x2 + px + q 與 g (x ) = 2x - 1 在 x同一點取得相同的最小值，則 p2 -6q的最小值為（）A. -9B. -8C. -7D.不存在填空題：（每題6分，共30分）1 .已知兩個等差數(shù)列Q bn 的前n項和Sn ,Tn的比Sn = 3n+1Tn2n 7用n表示，則免世b2n 12 .設 y = f (x 對任意 x W R 滿足 f (10- x)= f (x -4 ),且 f (x )= 0恰有三個不同的實根 x1、x2、x3，則x1+x2 +x3 =3 .對任意實數(shù)x,不等式x2 -3x 4 >a2 3a 4者B成立，則實數(shù)a的取值范圍是1 i V。一4. x2 i展開式中x9的系數(shù)是< 2xJ5.某排共有8個座位，若3人坐在座位上，每人左右都有空位，那么 不同的坐法共有 種三.解答題1 .設 A、B、C 為常數(shù)，C / 0 方程 Acosx - Bsin 2x C cos2x = C在土，土 i內(nèi)有兩個相異實根 % P,求a+P的值(用A、B、 、2 2；C表木)2 .已知拋物線y2 =4ax(a > 0)焦點為F,以點A(a+4,0)為圓心，|AF|為半徑的圓在x軸的上方，與拋物線交于 M、N兩點，(1)求證：點 A在以M、N為焦點