電磁感應中的“雙桿問題

1、電磁感應中的“雙桿問題”電磁感應中“雙桿問題”是學科內部綜合的問題，涉及到電磁感應、安培力、牛頓運動定律和動量定理、動量守恒定律及能量守恒定律等。要求學生綜合上述知識，認識題目所給的物理情景，找出物理量之間的關系，因此是較難的一類問題，也是近幾年高考考察的熱點。下面對“雙桿”類問題進行分類例析1“雙桿”向相反方向做勻速運動當兩桿分別向相反方向運動時，相當于兩個電池正向串聯(lián)。例兩根相距d=0.20m的平行金屬長導軌固定在同一水平面內，并處于豎直方向的勻強磁 場中，磁場的磁感應強度B=0.2T，導軌上面橫放著兩條金屬細桿，構成矩形回路，每條金屬細桿的電阻為r=0.25 Q,回路中其余部分的電阻可不

2、計。已知兩金屬細桿在平行于導軌的拉力的作用下沿導軌朝相反方向勻速平移，速度大小都是v=5.0m/s ,如圖所示，不計導軌上的摩擦。(1) 求作用于每條金屬細桿的拉力的大小。(2) 求兩金屬細桿在間距增加0.40m的滑動過程中共產生的熱量。47解析：(1)當兩金屬桿都以速度v勻速滑動時，每條金屬桿中產生的感應電動勢分別為：E1=E2=Bdv由閉合電路的歐姆定律，回路中的電流強度大小為：二因拉力與安培力平衡，作用于每根金屬桿的拉力的大小為F仁F2=IBd。由以上各式并代入數據得亠N(2)設兩金屬桿之間增加的距離L,則兩金屬桿共產生的熱量為入數據得 Q=1.28 X 10-2J。2“雙桿”同向運動，

3、但一桿加速另一桿減速當兩桿分別沿相同方向運動時，相當于兩個電池反向串聯(lián)。例兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內，兩導軌間的距離為 L。導軌上面橫放著兩根導體棒 ab和cd，構成矩形回路，如圖所示。兩根導體棒的質量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計。 在整個導軌平面內都有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B。設兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行。開始時，棒 cd靜止，棒ab有指向棒cd 的初速度vO。若兩導體棒在運動中始終不接觸，求：（1 ）在運動中產生的焦耳熱最多是多少。（2）當ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時，cd棒的加速度是多少？解析：ab棒向cd棒運動時，兩棒和導軌構成的

4、回路面積變小，磁通量發(fā)生變化，于是產生 感應電流。ab棒受到與運動方向相反的安培力作用作減速運動，cd棒則在安培力作用下作加速運動。在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路總有感應電流，ab棒繼續(xù)減速，cd棒繼續(xù)加速。兩棒速度達到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產生感應電流，兩 棒以相同的速度 v作勻速運動。（1 ）從初始至兩棒達到速度相同的過程中，兩棒總動量守恒，有m 根據能量守恒，整個過程中產生的總熱量（2）設ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時，cd棒的速度為v1，則由動量守恒可知:此時回路中的感應電動勢和感應電流分別為:此時棒所受的安培力：三二 乂，所以亠；棒的加速度為代由以上各式

5、，可得AmR3.“雙桿”中兩桿都做同方向上的加速運動。“雙桿”中的一桿在外力作用下做加速運動，另一桿在安培力作用下做加速運動，最終兩桿以同樣加速度做勻加速直線運動。例7(全國理綜卷)如圖所示，兩根平行的金屬導軌，固定在同一水平面上，磁感應強度B=0.50T的勻強磁場與導軌所在平面垂直，導軌的電阻很小，可忽略不計。導軌間的距離 l=0.20m。兩根質量均為 m=0.10kg的平行金屬桿甲、 乙可在導軌上無摩擦地滑動，滑動過程中與導軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為 R=0.50 Q。在t=0時刻，兩桿都處于靜止狀態(tài)。 現(xiàn)有一與導軌平行、大小為0.20N的恒力F作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導軌上滑動。

6、經 過t=5.0s，金屬桿甲的加速度為 a=1.37m/s2，問此時兩金屬桿的速度各為多少？x,速度分別為 v1和v2,經過很短的時 回路面積改變乙甲解析：設任一時刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為 間厶t，桿甲移動距離 v1 t，桿乙移動距離 v2 t,AS =(x-v2Ai) -kVjA/Jx (f =(也-E 由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢E! 回路中的電流 二'桿甲的運動方程-r 乂：-，爲由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等，方向相反，所以兩桿的動量-時為0)等于外力F的沖量lrF, 2應"耳=-+ -(F 皿)聯(lián)立以上各式解得：/ ' IT代入數

7、據得_'1點評：題中感應電動勢的計算也可以直接利用導體切割磁感線時產生的感應電動勢公式和右手定則求解：設甲、乙速度分別為 v1和v2，兩桿切割磁感線產生的感應電動勢分別為E1=Blv1 , E2 = Blv2 由右手定則知兩電動勢方向相反，故總電動勢為E= E2 E1 = Bl ( v2v1 )。分析甲、乙兩桿的運動，還可以求出甲、乙兩桿的最大速度差：開始時，金屬桿甲在恒力F作用下做加速運動，回路中產生感應電流，金屬桿乙在安培力作用下也將做加速運 動，但此時甲的加速度肯定大于乙的加速度，因此甲、乙的速度差將增大。根據法拉第電磁感應定律，感應電流將增大，同時甲、乙兩桿所受安培力增大，導致

8、乙的加速度增大，甲的加速度減小。但只要 a甲a乙，甲、乙的速度差就會繼續(xù)增大，所以當甲、乙兩桿的加速 度相等時，速度差最大。此后，甲、乙兩桿做加速度相等的勻加速直線運動。設金屬桿甲、乙的共同加速度為a,回路中感應電流最大值Im。對系統(tǒng)和乙桿分別應用牛頓第二定律有：F=2ma ； BLIm=ma。由閉合電路歐姆定律有E=2ImR，而-一二，由以上各式可解得4. “雙桿”在不等寬導軌上同向運動?！半p桿”在不等寬導軌上同向運動時，兩桿所受的安培力不等大反向，所以不能利用動量守恒定律解題。例8（全國理綜卷）圖中 alblcldl和a2b2c2d2為在同一豎直平面內的金屬導軌，處在磁 感應強度為B的勻強

9、磁場中，磁場方向垂直于導軌所在平面（紙面）向里。導軌的albl段與a2b2段是豎直的，距離為11 ； cldl段與c2d2段也是豎直的，距離為12。x1 y1與x2 y2 為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細桿，質量分別為ml和m2，它們都垂直于導軌并與導軌保持光滑接觸。兩桿與導軌構成的回路的總電阻為R。F為作用于金屬桿xlyl上的豎直向上的恒力。 已知兩桿運動到圖示位置時，已勻速向上運動， 求此時作用于兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率。門砂一解析：設桿向上的速度為 V，因桿的運動，兩桿與導軌構成的回路的面積減少，從而磁通量也減少。由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢的大小/

10、=回路中的電流二電流沿順時針方向。兩金屬桿都要受到安培力作用，作用于桿xlyl的安培力為? - 方向向上，作用于桿 x2y2的安培力為方向向下，當桿作勻速運動時，根據牛頓第二定律有廠一'一二 1一 JL =解以上各式得-作用于兩桿的重力的功率的大小_ T -| r電阻上的熱功率-"由式，可得戸一（燒1 +燉小邑尸一（劇1+燒主）回問題4:電磁感應中的一個重要推論一一安培力的沖量公式F&二BLIU二盛二血感應電流通過直導線時，直導線在磁場中要受到安培力的作用，當導線與磁場垂直時， 安培力的大小為F=BLI。在時間厶t內安培力的沖量= % = BL R ，式中q是通過導體

11、截面的電量。利用該公式解答問題十分簡便，下面舉例說明這一點。例9如圖所示，在光滑的水平面上， 有一垂直向下的勻強磁場分布在寬為 L的區(qū)域內，有 一個邊長為a（a<L）的正方形閉合線圈以初速 v0垂直磁場邊界滑過磁場后速度變?yōu)?v（v<vO） 那么（）A. 完全進入磁場中時線圈的速度大于（ vO+v）/2B. 安全進入磁場中時線圈的速度等于（ vO+v）/2C. 完全進入磁場中時線圈的速度小于（ vO+v） /2D. 以上情況A、B均有可能，而 C是不可能的x x x yX X X Xx x x xX X X X線圈在穿過磁場的過程中所受合外力為安培解析：設線圈完全進入磁場中時的速度

12、為vx。力。對于線圈進入磁場的過程，據動量定理可得：- F&二-骯匹 二一加=叫一陀% RA '°對于線圈穿出磁場的過程，據動量定理可得:由上述二式可得即B選項正確。0 血=Ba=-Ba= wv-翅*R.f例10光滑U型金屬框架寬為L ,足夠長，其上放一質量為 m的金屬棒ab,左端連接有 電容為C的電容器，現(xiàn)給棒一個初速v0，使棒始終垂直框架并沿框架運動，如圖所示。求X_XC>< XX X-X_XX XX X導體棒的最終速度。X X iX X解析：當金屬棒ab做切割磁力線運動時，要產生感應電動勢，這樣，電容器C將被充電，ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安

13、培力的作用而減速， 當ab棒以穩(wěn)定速度v勻速運動時， 有：BLv=UC=q/C而對導體棒ab利用動量定理可得： BLq=mv mv0P =由上述二式可求得： <-'-問題5:電磁感應中電流方向問題例11（廣東物理卷）如圖所示，用一根長為 L質量不計的細桿與一個上弧長為，下弧長為的金屬線框的中點聯(lián)結并懸掛于0點，懸點正下方存在一個上弧長為、下弧長為"l的方向垂直紙面向里的勻強磁場，且< -先將線框拉開到如圖所示位置，松手后讓線框進入磁場，忽略空氣阻力和摩擦。下列說法正確的是（）A. 金屬線框進入磁場時感應電流的方向為：ctaB. 金屬線框離開磁場時感應電流的方向為：

14、ardtct bTaC. 金屬線框de邊進入磁場與ab邊離開磁場的速度大小總是相等D. 金屬線框最終將在磁場內做簡諧運動分析：金屬線框進入磁場時，由于電磁感應，產生電流，根據楞次定律判斷電流的方向為：d t ct b t a。金屬線框離開磁場時由于電磁感應，產生電流，根據楞次定律判斷電流的方向為aTbTctdta。根據能量轉化和守恒，可知，金屬線框de邊進入磁場與ab邊離開磁場的速度大小不相等。如此往復擺動，最終金屬線框在勻強磁場內擺動，由于“ <<-,單擺做簡諧運動的條件是擺角小于等于10度，故最終在磁場內做簡諧運動。答案為 D。小結：本題考查了感應電動勢的產生條件，感應電流方向

15、的判定，物體做簡諧運動的條件， 這些是高中學生必須掌握的基礎知識。感應電動勢產生的條件只要穿過回路的磁通量發(fā)生變化，回路中就產生感應電動勢，若電路閉合則有感應電流產生。因此弄清引起磁通量的變化因素是關鍵，感應電流的方向判定可用楞次定律與右手定則，在應用楞次定律時要把握好步驟：先明確回路中原磁場的方向及磁通量的變化情況，再依楞次定律確定感應電流的磁場方向，然后根據安培定則確定感應電流的方向。線圈在運動過程中的能量分析及線框最終的運動狀態(tài)的確定為此題增大了難度。練習：四川卷如圖所示，接有燈泡 L的平行金屬導軌水平放置在勻強磁場中，一導體桿 與兩導軌良好接觸并做往復運動，其運動情況與彈簧振子做簡諧運

16、動的情況相同。圖中0位置對應于彈簧振子的平衡位置，P、Q兩位置對應于彈簧振子的最大位移處。若兩導軌的電阻不計，則（）A. 桿由0到P的過程中，電路中電流變大B. 桿由P到Q的過程中，電路中電流一直變大C. 桿通過0處時，電路中電流方向將發(fā)生改變D. 桿通過0處時，電路中電流最大b nn卜1L!I1uH1 i1 1P0(2解答：D 問題6:電磁感應中的多級感應問題例12如圖所示，ab、ed金屬棒均處于勻強磁場中，ed原靜止，當ab向右運動時，ed如何運動（導體電阻不計）（）A. 若ab向右勻速運動，ed靜止；B. 若ab向右勻加速運動，ed向右運動；C. 若ab向右勻減速運動，ed向左運動分析：

17、這是多級電磁感應問題，ab相當于一個電源，右線圈相當于負載；左線圈相當于電源，ed相當于負載。ab運動為因，切割磁感線產生感應電流為果，電流流過右線圈為因， 右線圈中形成磁場為果，右線圈磁場的磁感線通過左線圈，磁場變化時為因，左線圈中產生感應電流為果，感應電流流過cd為因，cd在左磁場中受安培力作用而運動為果。故A、B、C均正確。小結：分析電磁感應現(xiàn)象中的多級感應問題，要正確處理好因果關系，步步為營，緊扣閉合回路及回路中的磁通量的變化這一關鍵，對于線圈問題還應注意線圈的繞向。練習：在勻強磁場中放一電阻不計的平行金屬導軌，導軌跟大線圈相接，如圖所示。導軌上放一根導線 ab,磁力線垂直于導軌所在平

18、面。欲使所包圍的小閉合線圈廠產生順時針方向的感應電流，則導線的運動可能是()A. 向右運動B.加速向右運動C.減速向右運動D.加速向左運動分析：此題可用逆向思維的方法分析。欲使N產生順時針方向的感應電流，感應電流在中的磁場方向垂直紙面向里，由楞次定律可知，有兩種情況：一是中有順時針方向的逐漸減小的電流，其在中的磁場方向亦向里，且磁通量在減??；二是中有逆時針方向的逐漸增大的電流，其在 匚中的磁場方向為向外，且磁通量在增大，對于前者，應使ab減速向右運動；對于后者，應使 ab加速向左運動，故 CD正確。問題7：電磁感應中的動力學問題例13(上海)如圖所示，處于勻強磁場中的兩根足夠長、電阻不計的平行

19、金屬導軌相距1m，導軌平面與水平面成B=370角，下端連接阻值為 R的電阻。勻強磁場的方向與導軌平面垂直。質量為 0.2kg、電阻不計的導體棒放在兩導軌上，棒與導軌垂直并且接觸良好，它 們間的動摩擦因數為 0.25。(1) 金屬棒沿導軌由靜止開始下滑時的加速度大小。(2 )當金屬棒下滑速度達到穩(wěn)定時，電阻R消耗的功率為8W，求該速度的大小。(3)在上問中，若R=2Q，金屬棒中電流方向由a到b，求磁感應強度的大小與方向。(g=10m/s2 , sin370=0.6 , cos370=0.8)(1 )金屬棒開始下滑時初速度為零，根據牛頓第二定律有：J'(2) 設金屬棒達到穩(wěn)定時，速度為v，

20、所受安培力為F,棒在沿導軌方向受力平衡，則用g sin 3-則g cos 0 F = 0此時金屬棒克服安培力做功的功率等于電路中電阻R消耗的電功率:r = 10wa/sV= 5 '.J ' j '：- . _ JvBL(3) 設電路中電流強度為I,兩導軌間金屬棒的長度為L，磁場的感應強度為B，則1=匸P=I2R，由以上兩式得 B=-磁場的方向垂直導軌平面向上。小結：此題為電磁感應知識與力學、電路知識的綜合問題，此類題目常以導軌運動為背景， 解決此類題的關鍵是對金屬導體作出正確的受力分析，并通過運動狀態(tài)的動態(tài)分析來尋找過程的臨界狀態(tài)，得出速度、加速度的極值條件，找到解題的突破口，然后綜合運用力學及電 學規(guī)律分析和解決實際問題。練習：(重慶卷)兩根相距為 L的足夠長的金屬直角導軌如題下圖所示放置，它們各有一邊 在同一