8.3逆矩陣及初等變換

1、教 案授課時間 班 周星期 第 節(jié) 班 周星期 第 節(jié) 班 周星期 第 節(jié)課 次1學(xué)時數(shù)2授課形式（請打）純理論 純實(shí)踐 理實(shí)一體化 習(xí)題課 其他授課題目 §8.3 逆矩陣教學(xué)目的懂得逆矩陣概念；了解逆矩陣的性質(zhì)；會判定逆矩陣的存在性；掌握初等變換求逆矩陣的方法教學(xué)重點(diǎn)逆矩陣的判定和求逆矩陣教學(xué)難點(diǎn)求逆矩陣使用的教具/多媒體/儀器/儀表/設(shè)備等PPT; Flash，計(jì)算機(jī)；Mathematica 軟件教學(xué)方法演示教學(xué)法、小組學(xué)習(xí)法.教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖一、實(shí)例引入破譯密文與構(gòu)造密鑰是當(dāng)今密碼學(xué)的熱點(diǎn)，如何用矩陣?yán)碚搧斫馕雒艽a學(xué)中的“加密”和“解密”？呢？1.新授 一、逆矩陣的概念 n元線

2、性方程組可用矩陣表示為AX=B,(8-10)其中 ，叫做方程組的系數(shù)矩陣,叫做未知矩陣，叫做常數(shù)項(xiàng)矩陣。式（810）叫做矩陣方程，顯然解線性方程組的問題就變成求矩陣方程（810）中未知矩陣X的問題。定義1設(shè)是n階方陣，若存在n階方陣，使得AB=BA=I，則稱矩陣A為可逆矩陣（或非奇異方方陣），B稱為A的逆矩陣（簡稱逆陣）。記作。設(shè)n階方陣A、B均可逆，容易驗(yàn)證逆矩陣滿足下列性質(zhì):設(shè)和為同階可逆方陣，數(shù)則（1）；（2）；（3）；（4）（5）二、矩陣可逆的判別與逆矩陣的求法 定理1 設(shè)A為n階方陣，則A可逆的充分必要條件是0,且有 （8-11）其中，稱，叫做的伴隨矩陣，為行列式 中元素的代數(shù)余子式

3、。例1設(shè)，判定A是否可逆，若可逆，求解：因?yàn)槔?設(shè)，判斷與是否互為逆矩陣？解：，由定義知與互為逆矩陣當(dāng)矩陣的階數(shù)很大時，用定理1求逆矩陣的計(jì)算量很大，下面介紹更簡便的求逆矩陣的方法。例3、用逆矩陣法解線性方程組解：將線性方程組寫成矩陣方程AX=B，其中所以在方程AX=B的兩邊同時左乘，得所以原方程組的解為例4、求解矩陣方程 X=解：設(shè),，則原方程可寫為所以，由于可逆，則由得，從而矩陣密碼法是信息編碼與解碼的技巧，其中的一種就是基于利用可逆矩陣的方法，先在26個英文字母與數(shù)字間建立一一對應(yīng)關(guān)系，例如可以是：若要發(fā)出信息 “I LOVE YOU” ;使用上述代碼，則此信息碼為：“9,12,15,2

4、2,5,25,15,21”,此種編碼很容易被別人破譯我們可以用矩陣乘法對明文“I LOVE YOU”進(jìn)行加密，進(jìn)行加密后傳送.然后合法用戶進(jìn)行解密，具體做法如下:（1）選擇一個可逆矩陣作為加密矩陣，如選擇：記明文的編碼為 (空格對應(yīng)于0)(2)即密文編碼為”24,3,-3,37,-17,-10,21,-21,0 ”.(3)合法用戶解密:只用左乘上述矩陣便可得到“明碼”.四、課堂練習(xí) 1利用矩陣的初等行變換判斷下列矩陣是否可逆，若可逆，求其逆.(1)； (2) ;(3)； (4) 2已知矩陣方程X=，求矩陣X五、課堂小結(jié)1.逆矩陣概念2.可逆矩陣的性質(zhì)3.矩陣可逆的判別4.用初等變換法求矩陣的逆六、布置作業(yè):P158、10、11用引例引入新課，增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣線性方程組用矩陣表示羅列逆矩陣性質(zhì)，忽略證明伴隨矩陣法為逆矩陣的判別提供了很不錯的方法，但計(jì)算較繁要求知曉計(jì)算低階的伴隨矩陣，高階的另有方法介紹初等行變換方法用初等行變換求矩陣的逆時強(qiáng)調(diào)最后結(jié)果要檢驗(yàn)，把結(jié)果與已知矩陣相乘看是否為單位陣逆矩陣在求解線性方程組中的應(yīng)用矩陣在密碼學(xué)中的簡單應(yīng)用，這部分知識的引入，一