高數(shù)積分總結(jié)

1、v1.0可編輯可修改4第四章一元函數(shù)的積分及其應(yīng)用第一節(jié)不定積分、原函數(shù)與不定積分的概念 定義1.設(shè)f (x)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)， 若存在函數(shù) F(x)，使得 F (X) f(X)或dF (x) f (x)dx,則稱F(x)為f (x)的一個原函數(shù)定義2.函數(shù)f (x)的全體原函數(shù)F (x) C叫做f (x)的不定積分，記為：f (x)dx F(x) C其中 f (x)叫做被積函數(shù) f (x)d x叫做被積表達(dá)式C叫做積分常數(shù)“ "叫做積分號二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式性質(zhì)1.不定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，不定積分的微分等于被積表達(dá)式，即f (x)dxf(x); d f (x

2、)d x f (x)dx.性質(zhì)2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的不定積分等于該函數(shù)加上一個任意函數(shù)，即f (x)dx f (x) C,或 df (x) f (x) C性質(zhì)3.非零的常數(shù)因子可以由積分號內(nèi)提出來，即kf (x)d x k f (x)d x (k 0).性質(zhì)4.兩個函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于每個函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx基本積分公式kdx kx C(k為常數(shù))(3) 1dx In x C xxax(5) axdx CIn a(7) sin xdx cosx C2(9) csc xdx cotx C11(2) x dx x C (1)1(4)

3、 exdx exC(6) cosxdx sin x C2(8) sec xdx tanx C(10) secxtanxdx secx C(11) cscxcotxdx cscx C(12) secxdx ln secx tanx C三、換元積分法和分部積分法定理1.設(shè)(x)可導(dǎo),并且f(u)du F(u) C.則有湊微分令u(x)f (x) (x)dx= f (x)d (x),)f (u)du八代回u(x)八F(u) C'，F(xiàn)( (x) C該方法叫第一換元積分法(integration by substitution)也稱湊微分法.定理2 .設(shè)x(t)是可微函數(shù)且(t) 0Yf(t)(

4、t)具有原函F(t)，則xf x dx 二換元積分t dt=F回代C.該方法叫第二換元積分法選取u及v (或dv)的原則：1) v容易求得；2) uvdx比uv dx解題技巧：選取u及v的一般方法：把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積，按“反對哥指三”的順序， 前者為u后者為第二節(jié)定積分概念一、原函數(shù)與不定積分的概念二、定積分的定義和存在定理三、定積分的幾何意義與定積分的性質(zhì)1 .定積分的幾何意義2.定積分的性質(zhì)性質(zhì)1. abf(x) g(x)dx bf(x)dx :g(x)dx.性質(zhì)2. :kf(x)dx kbf(x)dx ( k是常數(shù)).b性質(zhì)3. af(x)dx a f (x)dx c f (x)

5、dx.性質(zhì) 4. abf (x)dx ；dx b a.推論1.如果在a,b上，f (x) g(x)，則；f(x)dx bg(x)dx ( a<b).推論2. : f(x)dx ：f(x)dx性質(zhì) 5. b f (x)dx 0 (a b).性質(zhì)6.設(shè)M與m別是函數(shù)f (x)在a,b上的最大值及最小值，則m(b a) bf(x)dx M (b a) ( a b).性質(zhì)7 .(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b 上至少存在一點，使下式成立：:f (x)dx f( )(b a) ( ab)可積的充分條件：定理1.函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b

6、可積.定理2.函數(shù)f (x)在a,b上有界，且只有有限個間斷點，則f (x)在a,b可積.第三節(jié)微積分基本公式一、微積分基本公式1. 變上限函數(shù)定義1.設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則它在a,b任意一個子區(qū)間a,x上可積，貝U(x) axf(t)dx( a x b)是上限變量x的函數(shù)，稱此函數(shù)為積分上限函數(shù)，也稱為變上限函數(shù)2.微積分基本公式定理2: f(x)dx F(b) F(a)1 .定積分的換元積分法定理3.abf(x)dxf (t) (t)dt注：設(shè)f(X)在a, a上連續(xù)，證明若 f (x)在a,a為偶函數(shù)，則 aa f (x)dx=2 (af (x)dx；(2)若f(x)在a,a上為奇函數(shù)，則aaf(x)dx=0.2 .定積分的分部積分法定理 4. ：udv uvbabvdu第四節(jié) 定積分的應(yīng)用(這點跟高中無異，于是乎就偷懶了=v=)一、定積分的微元法其實質(zhì)是找出 A 的微元 dA的微分表達(dá)式.二、定積分在幾何中的應(yīng)用b1