高中數(shù)學競賽輔導第一講集合概念及集合上的運算

1、高中數(shù)學競賽輔導第4講集合概念及集合上的運算(1)高中一年級數(shù)學(上)(試驗本)課本中給出了集合的概念；一般地，符合某種條件(或具有某種性質(zhì))的對象集中在一起就成為一個集合在此基礎(chǔ)上，介紹了集合的元素的確定性、互異性、無序性.深入地逐步給出了有限集、無限集，集合的列舉法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、補集、并集等十余個新名詞或概念以及二十幾個新符號.由此形成了在集合上的運算問題，形成了以集合為背 景的題目和用集合表示空間的線面及其關(guān)系，表面平面軌跡及其關(guān)系，表示充要條件，描述排列組合，用集合的性質(zhì)進行組合計數(shù)等綜合型題目I.集合中待定元素的確定充分利用集合中元素的性質(zhì)和集合之間的

2、基本關(guān)系，往往能解決某些以集合為背景的高 中數(shù)學競賽題.請看下述幾例.31 3 1例1 ：求點集( x, y) 11g(x y ) lg x 1g y中元素的個數(shù).39【思路分析】應首先去對數(shù)將之化為代數(shù)方程來解之1 。 1【略解】由所設知x 0,y 0,及x3 1V 1 xy,39由平均值不等式，有x3 1y3 1 33 (x3) (1 y3) (1) xy,當且僅當x3 y3，即x 31, y 3口(虛根舍去)時，等號成立39. 93故所給點集僅有一個元素.【評述】此題解方程中，應用了不等式取等號的充要條件，是一種重要解題方法，應注意掌 握之.例 2:已知 A y | y x2 4x 3,

3、x R, B y | yx2 2x 2, x R求 A B.【略解】y (x 2)2 1 1,又 y (x 1)2 3 3.A=y|y 1, B y|y 3,故 AB y| 1 y 3.【評述】此題應避免如下錯誤解法：聯(lián)立方程組y x2 4x 3,29消去y,2x2 2x 1 0.因方程無實根，故 A B .y x2 2x 2.這里的錯因是將 A、B的元素誤解為平面上的點了 .這兩條拋物線沒有交點是實數(shù) .但這不是拋物線的值域.例3：已知集合 A (x,y)|x| |y| a, a 0, B(x, y川 xy| 1 |x| |y|.若A B是平面上正八邊形的頂點所構(gòu)成的集合，則a的值為【略解】

4、點集A是頂點為(a, 0), (0, a), (a, 0)(0, a)的正方形的四條邊構(gòu)成 (如圖I 1 11).將 |xy | 1 |x| |y|,變形為(|x| 1)(|y| 1) 0,所以，集合 B 是由四條直線x 1,y1構(gòu)成.欲使A B為正八邊形的頂點所構(gòu)成，只有 a 減1 a 2這兩種情況.(1)當a 2時，由于正八形的邊長只能為2,顯然有J2a 2J2 2,故a 2 J2 .(2)當1 a 2時，設正八形邊長為l,貝M cos45這時，a 1 -2.2綜上所述，a的值為2 J2或J2,如圖 I 1 11 中 A(V2,0), B(2 V2,0).2 l,l2/2 2,【評述】上述

5、兩題均為1987年全國高中聯(lián)賽試題，題目并不難，讀者應從解題過程中體會此類題目的解法H.集合之間的基本關(guān)系充分應用集合之間的基本關(guān)系(即子、交、并、補) 綜合題.請看下述幾例.,往往能形成一些頗具技巧的集合例 4：設集合 A n|n Z, B n |n Z, C在下列關(guān)系中，成立的是1n 1 ,、n -|n Z, D - -|n Z,則23 6( )A. A B C DB. A B ,C DC. A B C,C DD. A B B,C D【思路分析】應注意數(shù)的特征，即【解法1】 . A n|n Z, B1 n -2n|n2n 1 n 1 2n 1,，-,n Z.23 661nZ,C n i|n

6、 Z, D n 2361n Z, A B C,CD.故應選 C.【解法2】如果把A、B、C、D與角的集合相對應，令A 或1n Z,B n |n Z,C n -|n Z，d 4-|n Z.結(jié)論仍然不變，顯然 A'為終邊在坐標軸上的角的集合，B'為終邊在x軸上的角的集3合，C為終邊在y軸上的角的集合，D 為終邊在y軸上及在直線y一 x上的角的集3合，故應選(C).【評述】解法1是直接法，解法2運用轉(zhuǎn)化思想把已知的四個集合的元素轉(zhuǎn)化為我們熟悉的的角的集合，研究角的終邊，思路清晰易懂，實屬巧思妙解 例5：設有集合 A x|x2 x 2和B x|x| 2,求A B和A B (其中x表示不

7、超過實數(shù)x之值的最大整數(shù)).【思路分析】應首先確定集合A與B.從而 1 x 2.顯然,2 A.A B x| 2 x 2.若 x A B,則x2x 2,x 1,0, 1, 2,從而得出 x J3(x 1)或x 1(x1).于是 A B 1,73【評述】此題中集合 B中元素x滿足“ |x|<3"時，會出現(xiàn)什么樣的結(jié)果，讀者試解之例 6：設 f(x) x2 bx c(b,c R),且A x | xf (x), x R, B x | x ff(x), x R,如果A為只含一個元素的集合，則 A=B.【思路分析】應從 A為只含一個元素的集合入手，即從方程f(x) x 0有重根來解之.【略

8、解】設A |R,則方程f(x) x 0有重根，于是f(x) x (x )2,f (x)(x )2x.從而xff(x),即 x(x)2 (x )2 (x )2 x,整理得(x)2(x1)2 1 0,因x,均為實數(shù)(x 1)21 0,故x .即 B A.【評述】此類函數(shù)方程問題，應注意將之轉(zhuǎn)化為一般方程來解之例 7：已知 M (x, y)|y x2, N (x, y) |x2 (y a)2 1.求M N N 成立時，a 需滿足的充要條件.【略解】M N N N M.由 x2 (y a)2 1 得x2y y2 (2a 1)y (1 a2).于是,若 y2 (2a 1)y (1 a2) 0必有y x2

9、,即N M .而成立的條件是y max2_24(1 a ) (2a 1)01即 4(1 a2) (2a 1)2 0,解得 a 1-.4將問題轉(zhuǎn)化為不等式問題來求解【評述】此類求參數(shù)范圍的問題，應注意利用集合的關(guān)系,例8：設A、B是坐標平面上的兩個點集，Cr (x,y)|x2 y2 r2.若對任何r 0都有CrA Cr B,則必有A B.此命題是否正確？【略解】不正確.反例：取A ( x,y) | x2 y2 1, B為A去掉(0, 0)后的集合容易看出Cr A Crb“Ha不包含在B中.【評述】本題這種舉反例判定命題的正確與否的方法十分重要，應注意掌握之m.有限集合中元素的個數(shù)有限集合元素的個

10、數(shù)在課本P23介紹了如下性質(zhì)：一般地，對任意兩個有限集合 A、B,有card (A B) card (A) card (B) card (A B).我們還可將之推廣為：一般地，對任意n個有限集合 A1, A2, ,An,有card ( AiA2A3AmAn)card (A1) card(A2) card (A3)card (An) card(AA2) card( A1A3)card (A1An)card (An1An)card (A AA3)card (A 2An1An)(1)n 1 card(A1A3An).應用上述結(jié)論，可解決一類求有限集合元素個數(shù)問題【例9】某班期末對數(shù)學、物理、化學三科

11、總評成績有21個優(yōu)秀，物理總評19人優(yōu)秀，化學總評有20人優(yōu)秀，數(shù)學和物理都優(yōu)秀的有9人，物理和化學都優(yōu)秀的有7人，化學和數(shù)學都優(yōu)秀的有8人，試確定全班人數(shù)以及僅數(shù)字、僅物理、僅化學單科優(yōu)秀的人數(shù)范圍(該 班有5名學生沒有任一科是優(yōu)秀).【思路分析】應首先確定集合，以便進行計算.【詳解】設A=數(shù)學總評優(yōu)秀的學生, B=物理總評優(yōu)秀的學生 , C=化學總評優(yōu)秀的學生. 則 card(A) 21,card (B) 19,card(C) 20,card (A B) 9,card (B C) 7, card (C A) 8.card (A B C) card (A) card (B) card (C)

12、 card (A B) card (B C) card (C A)card (A B C),. card (A B C) card (A B C) 21 19 20 9 8 36.card (A B C)是這這里，card (A B C)是數(shù)、理、化中至少一門是優(yōu)秀的人數(shù),三科全優(yōu)的人數(shù).可見，估計card (A BC)的范圍的問題與估計 card (A B C)的范圍有關(guān).注意到 card (A B C) mincard (A B), card(B C), card (C A) 7 ,可知0 card (A B C) 7.因而可得 36 card (A B C) 43.又. card (A

13、B C) card(ABC) card (U ),其中 card (ABC) 5.41 card(U ) 48.這表明全班人數(shù)在 4148人之間.僅數(shù)學優(yōu)秀的人數(shù)是 card (A BC).card (A B""C) card (A B C) card(B C) card (A B C) card(B) card (C) card (B C) card (A B C) 32.可見 4 card (ABC) 11,同理可知 3 card (B AC) 10,5 card (C B A) 12.故僅數(shù)學單科優(yōu)秀的學生在411之間，僅物理單科優(yōu)秀的學生數(shù)在310之間，僅化學單科優(yōu)

14、秀的學生在 512人之間.【評述】根據(jù)題意，設計這些具有單一性質(zhì)的集合，列出已知數(shù)據(jù)，并把問題用集合中元素 數(shù)目的符號準確地提出來，在此基礎(chǔ)上引用有關(guān)運算公式計算，這是解本題這類計數(shù)問題的 一般過程.針對性練習題1 .設S=1, 2,，n, A為至少含有兩項的、公差為正的等差數(shù)列，其項都在S中，且添加S的其他元素于 A后均不能構(gòu)成與 A有相同公差的等差數(shù)列.求這種A的個數(shù)，(這 里只有兩項的數(shù)列也看做等差數(shù)列)2 .設集合Sn=1 , 2,，n,若X是Sn的子集，把X中的所有數(shù)的和為 X的“容量”.(規(guī) 定空集的容量為0),若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱 X為Sn的奇(偶)子集.(1)求證：Sn的奇子集與偶子集個數(shù)相等.(2)求證：當n 3時，Sn的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等(3)當n 3時，求Sn的所有奇子集的容量之和.3 .設M=1 , 2, 3,，1995, A是M的子集且滿足條件：當 X A時，15x A ,則A 中元素的個數(shù)最多是多少個 .14 .集合x| 1 log110-,x N*的真子集的個數(shù)是多少個?