2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題及答案(文)

1、2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(文史類)本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分.第I卷1至3頁，第n卷4至9頁, 共150分考試時間120分鐘.第I卷(選擇題共68分)注意事項：1 .答第I卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上2 .每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上3 .考試結束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回一、選擇題：本大題共 17小題；每小題 4分，共68分.在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的.n(D)一44,那么該雙曲線的離心率為(1

2、)函數(shù)f(x)=sinx+cosx的最小正周期是(A) 2兀(B) 2近乳(C)兀(2)如果雙曲線的焦距為6,兩條準線間的距離為()(A) 3(B) V(C)日)2222(3)和直線3x- 4y+5=0關于x軸對稱的直線的方程為()(A) 3x+4y5=0(C) -3x+4y-5=0(4) i"3+i2n1+i2n+1+i2n+3 的值為(A) -2(B) 03(5) y =x5在-1, 1上是(B) 3x+4y+5=0(D) 3x+4y+5=0()(C) 2(D) 4()(A)增函數(shù)且是奇函數(shù)(B)增函數(shù)且是偶函數(shù)(C)減函數(shù)且是奇函數(shù)(D)減函數(shù)且是偶函數(shù)5n2 -1-(6)li

3、m考一二的值為 n >:2n -n 5(A)(B)集合M =x|x =5-2兀 I-7,十:，ZZ,41(C)5N =x|x =(A) M=N(B)(C) M 二 N5)-(D) M -(8) sin20 0Gos70o+sin10osin50o 的值是1(A)4(B),321(C) 2,3(D) 丁(9)圓x2+y2=1上的點到直線3x+4y25=0的距離的最小值是(A) 6(B) 4(C) 5(D) 1(10)若a、b是任意實數(shù)，且a>b,則(A) a2>b2(C) lg(ab)>0(D)C 'a .I <(11)(A)一動圓與兩圓x2+y2=1和x2

4、+y28x+12=0都外切，則動圓圓心軌跡為(B)橢圓(C)雙曲線的一支(D)拋物線(12)圓柱軸截面的周長l為定值，那么圓柱體積的最大值是(A)3I H<6,J(B)9 <2 J(C)x4的系數(shù)為(13) ( Vx +1)4(x1)5 展開式中(A) -40(B) 10(C) 40(D) 45(14)直角梯形的一個內(nèi)角為345。，下底長為上底長的 1 ,這個梯形繞下底所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的全面積為(5+ J2 )兀，則旋轉(zhuǎn)體的體積為(A) 2 兀(B)42713(A) ai+ a8> a4+ a5(B) ai+ a8< a4+ a5(C) ai+ a8= a

5、4+ a5(D) ai+ a8和a4+ a5的大小關系不能由已知條件確定(16)設有如下三個命題：甲：相交兩直線l, m都在平面a內(nèi)，并且都不在平面 3內(nèi).乙：l, m之中至少有一條與 3相交.丙：a與3相交.當甲成立時()(A)乙是丙的充分而不必要的條件(B)乙是丙的必要而不充分的條件(C)乙是丙的充分且必要的條件(D)乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件(17)將數(shù)字1, 2, 3, 4填入標號為1, 2, 3, 4的四個方格里，每格填一個數(shù)字，則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不相同的填法有()(A) 6 種(B) 9 種(C) 11 種(D) 23 種第II卷(非選擇題共82分)注意事項

6、：1 .第n卷6頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中，要在答題卡上填涂2 .答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚.二、填空題：本大題共6小題；每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.n 11 -a(18)設 a>1,貝U 1mnT =*n f an4 2 2, xy，一 2 2(19)若雙曲線 一2-=1與圓x2+y2=1沒有公共點，則實數(shù) k的取值范圍為9k4k(20)從1, 2,，10這十個數(shù)中取出四個數(shù)，使它們的和為奇數(shù)，共有 ；種取法(用數(shù)字作答).(21)設 f(x)=4x2x+1,則 f 1(0)= .(22)建造一個容積為 8m3 ,深為2m的長方體無蓋水池.如果池底和池壁的造

7、價每平方 米分別為120元和80元，那么水池的最低總造價為 元.(23)如圖，ABCD是正方形，E是AB的中點，如將 DAE和 CBE分別沿虛線 DE和CE折起，使AE與BE重合，記A與B重合后的點為 P,則面PCD與面ECD所成的二面 角為 度.(24)本小題考查三角函數(shù)式的恒等變形及運算能力.滿分10分.三、解答題：本大題共 5小題；共58分.解題應寫出文字說明、演算步驟(24)(本小題滿分10分)求 tg20o+4sin20o的值.(25)(本小題滿分12分)1 x已知 f(x)=loga(a>0, aw1).1 -x(I )求f(x)的定義域;(n)判斷f(x)的奇偶性并予以證明

8、;(出)求使f(x)>0的x取值范圍.(26)(本小題滿分12分)已知數(shù)列8 18 212 32 ' 32 52 '8n，22 ，2n -1 2n 1Sn為其前n項和.計算得S2=24,S3=48, S4=80254981觀察上述結果，推測出計算 Sn的公式，并用數(shù)學歸納法加以證明.已知：平面a n平面3 =直線a. a , 3同垂直于平面丫，又同平行于直線 b.求證：(I )a± y ；(n)b± 丫 .(28)(本小題滿分12分)在面積為1的4PMN中，tg/PMN = 3, tg/MNP = 2.建立適當2的坐標系，求以 M, N為焦點且過點P的

9、橢圓方程.1993年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題(文史類)參考解答及評分標準說明：1 .本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如 果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制定相應的評分細 則.2 .對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的 內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分3 .解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到一步應得的累加分數(shù)4 .只給整數(shù)分數(shù).選擇題和填空題不給中間分 .一、選擇題：本題考查基本知識和

10、基本運算.每小題4分，滿分68分.(1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B(10)D (11)C(12)A (13)A (14)D(15)A (16)C (17)B(18)-a2二、填空題：本題考查基本知識和基本運算.每小題4分，滿分24分.(19)k|k|>- (20)100(21)1(22)1760(23)303三、解答題解 tg20o+4sin20osin20 4sin20 cos20 cos20 sin 20 2sin40cos20_ sin 20 sin40 sin40 cos20 2sin30 cos10 sin40cos20s

11、in 80 sin 40 cos202sin60 cos20 cos20= 2sin60.3.10分（25）本小題考查函數(shù)的奇偶性、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)和解法等基本知識及運算能力.滿分12分.1 X解（I ）由對數(shù)函數(shù)的定義知 >0. 1分1 -X，一彳 + X > 0 一”如果 <，則一1<x<1 ;3分J -X >0 1 +x <0如果，則不等式組無解.J -X <0故f(X)的定義域為(一1,1)1-X1 X工(n) f(-X)=loga- = -log a- =_f(X),1 X 1 -xf(x)為奇函數(shù).1 X(m )( i )

12、對 a>1 , loga> 0 等價于1 - X1 X >1,1 -x而從（I ）知1 x>0,故等價于1+x>1x,又等價于 x>0.故對a>1,當xC (0, 1)時有 f(x)>0.1 X(ii)對 0<a<1, loga A0 等價于1 -X1 X 0<：二 1.1 一 x而從(I )知1 x>0,故等價于1<x<0.故對0<a<1 ,當xC ( 1, 0)時有f(x)>0.12分(26)本小題考查觀察、分析、歸納的能力和數(shù)學歸納法.滿分12分._2.2n 12-1解 Sn (nw N

13、 )4分2n 1證明如下：(I )當 n=1 時，& =3-13(n)設當n=k時等式成立，即-22k 1 -12k 1 2Sk 18 k 1222k 1 2k 32k 1 2 -18 k 12-222k 1 2k 1 2k 3(2k +12 -1(2k +3/+8k +1)22(2k +1)(2k +3)2k 122k 32 - 2k 3 2 8 k 12k 1 2 2k 3 2一2 _ 2 一22k 1 2k 3 - 2k 12k 1 2 2k 3 22k 3 2 -12k 322 k 1 12 -12 k 1 1211分由此可知，當n=k+1時等式也成立.根據(jù)(I )( n )可

14、知，等式對任何 n e N都成立.12分(27)本小題考查直線與平面的平行、垂直和兩平面垂直的基礎知識，及空間想象能力和邏輯思維能力.滿分12分.證法一（I ）設a n 丫 =AB, 3 n y=AC.在丫內(nèi)任取一點 P并于丫內(nèi)作直線 PMXAB, PNXAC.PM±a.同理PN±a.又 PMU 丫，PN二丫，a± 丫 .3于直線a2.（n ）于a上任取一點Q,過b與Q作一平面交“于直線a1,交; b / a , b / a1.同理b / a2.a1，a2同過Q且平行于b,''' ai, a2 重合.a1，a2都是a、3的交線，即都重合于a

15、.10分b / a1, b / a.而 a, 丫，b _L 丫 .注：在第n部分未證明 b / a而直接斷定不給分.證法二（I ）在a上任取一點P ,過 P同理a'匚3可見a'是a , 3的交線.因而a'重合于a.又 a'，丫， - a _l_ y .6(n)于a內(nèi)任取不在a上的一點，過b和該點作平面與a交于直線c.同法過b作平面與3父于直線d.7分- b / a , b / 3 .b / c, b / d.8 分又c<Z3,d匚3,可見c與d不重合.因而c/ d.于是c/ 3 .9分-.1 c / 3 , cu a , a n 3 =a,c / a.10 分b / c, all c, b 與 a 不重合(b遼 a , aa a ),b / a.11 分而 a, 丫，b± 丫 .12 分注：在第n部分未證明b/a而直接斷定b, 丫的，該部分不給分.(28)本小題主要考查坐標系、橢圓的概念和性質(zhì)、直線方程以及 綜合應用能力.滿分12分.解法一如圖，以 MN所在直線為x軸，MN的垂直平分線為軸建立直角坐標系，設以M, N為焦點且過點P的橢圓方程為22x y二十上2=1,焦點為 M(-c, 0), N(c, 0). 1 分a by= (x+ c)2,1由tgM= , tg a