高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座排列組合、二項(xiàng)式定理Word版

1、競(jìng)賽講座19-排列、組合、二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)知識(shí)1排列組合題的求解策略（1）排除：對(duì)有限條件的問(wèn)題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況排除，這是解決排列組合題的常用策略（2）分類(lèi)與分步有些問(wèn)題的處理可分成若干類(lèi)，用加法原理，要注意每?jī)深?lèi)的交集為空集，所有各類(lèi)的并集是全集；有些問(wèn)題的處理分成幾個(gè)步驟，把各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘，即得總的方法數(shù)，這是乘法原理（3）對(duì)稱(chēng)思想：兩類(lèi)情形出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，可用總數(shù)取半得每種情形的方法數(shù)（4）插空：某些元素不能相鄰或某些元素在特殊位置時(shí)可采用插空法即先安排好沒(méi)有限制條件的元素，然后將有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間（5）捆綁：把相鄰的若干特殊元素“捆綁

2、”為一個(gè)“大元素”，然后與其它“普通元素”全排列，然后再“松綁”，將這些特殊元素在這些位置上全排列（6）隔板模型：對(duì)于將不可辨的球裝入可辨的盒子中，求裝的方法數(shù)，常用隔板模型如將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個(gè)縫隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，分別裝入4個(gè)不同的盒子中的方法數(shù)應(yīng)為，這也就是方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)2圓排列（1）由的個(gè)元素中，每次取出個(gè)元素排在一個(gè)圓環(huán)上，叫做一個(gè)圓排列（或叫環(huán)狀排列）（2）圓排列有三個(gè)特點(diǎn)：（i）無(wú)頭無(wú)尾；（ii）按照同一方向轉(zhuǎn)換后仍是同一排列；（iii）兩個(gè)圓排列只有在元素不同或者元素雖然相同，但元素之間的順序不同，才是不同的圓排列（3）定理

3、：在的個(gè)元素中，每次取出個(gè)不同的元素進(jìn)行圓排列，圓排列數(shù)為3可重排列允許元素重復(fù)出現(xiàn)的排列，叫做有重復(fù)的排列在個(gè)不同的元素中，每次取出個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序那么第一、第二、第位是的選取元素的方法都是種，所以從個(gè)不同的元素中，每次取出個(gè)元素的可重復(fù)的排列數(shù)為4不盡相異元素的全排列如果個(gè)元素中，有個(gè)元素相同，又有個(gè)元素相同，又有個(gè)元素相同（），這個(gè)元素全部取的排列叫做不盡相異的個(gè)元素的全排列，它的排列數(shù)是5可重組合（1）從個(gè)元素，每次取出個(gè)元素，允許所取的元素重復(fù)出現(xiàn)次的組合叫從個(gè)元素取出個(gè)有重復(fù)的組合（2）定理：從個(gè)元素每次取出個(gè)元素有重復(fù)的組合數(shù)為：6二項(xiàng)式定理（1）二項(xiàng)式定

4、理（）（2）二項(xiàng)開(kāi)展式共有項(xiàng)（3）（）叫做二項(xiàng)開(kāi)展式的通項(xiàng)，這是開(kāi)展式的第項(xiàng)（4）二項(xiàng)開(kāi)展式中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等（5）如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與最大（6）二項(xiàng)式開(kāi)展式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和，即7數(shù)學(xué)競(jìng)賽中涉及二項(xiàng)式定理的題型及解決問(wèn)題的方法二項(xiàng)式定理，由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，多年來(lái)在高考中未能充分展示應(yīng)有的知識(shí)地位，而數(shù)學(xué)競(jìng)賽的命題者卻對(duì)其情有獨(dú)鐘（1）利用二項(xiàng)式定理判斷整除問(wèn)題：往往需要構(gòu)造對(duì)偶式；（2）處理整除性問(wèn)題：構(gòu)造對(duì)偶式或利用與遞推式的結(jié)合；（3）求證不等式：通過(guò)二項(xiàng)式展開(kāi)，取展開(kāi)式中的若干

5、項(xiàng)進(jìn)行放縮；（4）綜合其他知識(shí)解決某些綜合問(wèn)題：有些較復(fù)雜的問(wèn)題看似與二項(xiàng)式定理無(wú)關(guān)，其實(shí)通過(guò)觀察、分析題目的特征，聯(lián)想構(gòu)造合適的二項(xiàng)式模型，便可使問(wèn)題迅速解決例題分析例1數(shù)1447,1005,1231有某些共同點(diǎn)，即每個(gè)數(shù)都是首位為1的四位數(shù)，且每個(gè)四位數(shù)中恰有兩個(gè)數(shù)字相同，這樣的四位數(shù)共有多少個(gè)？例2有多少個(gè)能被3整除而又含有數(shù)字6的五位數(shù)？例3有個(gè)人參加收發(fā)電報(bào)培訓(xùn)，每?jī)扇私Y(jié)為一對(duì)互發(fā)互收，有多少種不同的結(jié)對(duì)方式？例4將個(gè)不同的小球放入個(gè)不同的盒子中，要使每個(gè)盒子都不空，共有多少種放法？例5在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱的中點(diǎn)，6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中，共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是多

6、少個(gè)？例6用8個(gè)數(shù)字1,1，7,7，8,8，9,9可以組成不同的四位數(shù)有多少個(gè)？例7用五種顏色給正方體的各個(gè)面涂色，并使相鄰面必須涂不同的顏色，共有多少種不同的涂色方式？例8某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品（每只產(chǎn)品可區(qū)分），每次取一只測(cè)試，直到4只次品全部測(cè)出為止求最后一只次品在第五次測(cè)試時(shí)被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種？例9在平面上給出5個(gè)點(diǎn)，連結(jié)這些點(diǎn)的直線互不平行，互不重合，也互不垂直，過(guò)每點(diǎn)向其余四點(diǎn)的連線作垂線，求這此垂線的交點(diǎn)最多能有多少個(gè)？例10。.8位政治家舉行圓桌會(huì)議，兩位互為政敵的政治家不愿相鄰，其入坐方法有多少種？例11某城市有6條南北走向的街道，5條東西走向的街道如果有人從城南

7、北角（圖點(diǎn)）走到東南角中點(diǎn)最短的走法有多少種？例12用4個(gè)1號(hào)球，3個(gè)2號(hào)球，2個(gè)3號(hào)球搖出一個(gè)9位的獎(jiǎng)號(hào)，共有多少種可能的號(hào)碼？例13將個(gè)相同的小球，放入個(gè)不同的盒子（）（1）有多少種不同的放法？（2）如果不允許空盒應(yīng)有多少種不同的放法？例148個(gè)女孩和25個(gè)男孩圍成一圈，任意兩個(gè)女孩之間至少站著兩個(gè)男孩（只要把圓旋轉(zhuǎn)一下就重合的排列認(rèn)為是相同的）例15設(shè)，求的值例16當(dāng)時(shí)，的整數(shù)部分是奇數(shù)還是偶數(shù)？證明你的結(jié)論例17已知數(shù)列（）滿(mǎn)足：求證：對(duì)于任意正整數(shù)，是一次多項(xiàng)式或零次多項(xiàng)式例18若（），求證：例19設(shè)的整數(shù)部分，求的個(gè)數(shù)數(shù)字例20已知（）求的個(gè)位數(shù)字例21試證大于的最小整數(shù)能被整除（

8、）例22求證：對(duì)任意的正整數(shù)，不等式例23設(shè)，且求證對(duì)于每個(gè)，都有訓(xùn)練題18次射擊，命中3次，其中愉有2次連續(xù)命中的情形共有（）種（A）15（B）30（C）48（D）602在某次乒乓球單打比賽中，原計(jì)劃每?jī)擅x手恰比賽一場(chǎng)，但有3名選手各比賽了2場(chǎng)之后就退出了，這樣，全部比賽只進(jìn)行了50場(chǎng)。那么，在上述3名選手之間比賽的場(chǎng)數(shù)是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）33若的展開(kāi)式為，則的值為（A）（B）（C）（D）4某人從樓下到樓上要走11級(jí)樓梯，每步可走1級(jí)或2級(jí)，不同的走法有（）種（A）144（B）121（C）64（D）815從7名男乒乓球隊(duì)員，5名女乒乓球隊(duì)員中選出4名進(jìn)行男女混合雙打，

9、不同的分組方法有（）種（A）（B）（C）（D）6有5分、1角、5角的人民幣各2枚、3張、9張，可組成的不同幣值（非0）有（）種（A）79（B）80（C）88（D）897從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有_種8 把寫(xiě)成的形式，為自然數(shù)，則9已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是_10設(shè)ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開(kāi)始在頂點(diǎn)A處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點(diǎn)之一若在5次之內(nèi)跳到D點(diǎn)，則停止跳動(dòng)；若5次之內(nèi)不能到達(dá)D點(diǎn)，則跳完5次也停止跳動(dòng)，那么這只青蛙從開(kāi)始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共 種11如果：（1）a,b,c,d都屬于1,2,3,4；（2）a¹b,b¹c,c¹d,d¹a；(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以組成的不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是_12在一個(gè)正六邊形的六個(gè)區(qū)域種植觀賞植物，要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物?，F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則有種載種方案1310人圍圓桌而，如果甲、乙二人中間相隔4人，有種坐法14除以的余數(shù)是15設(shè)的展開(kāi)中，用記它的整數(shù)部分，記它的小數(shù)部分求證：是一定值16從中，按從小到大的順序選取四個(gè)數(shù)，使得，問(wèn)符