北師大初中數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)：函數(shù)綜合--知識(shí)講解(基礎(chǔ))-精編

1、中考總復(fù)習(xí)：函數(shù)綜合一知識(shí)講解(基礎(chǔ))【考綱要求】1 .平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)知識(shí)平面直角坐標(biāo)系中各象限和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，求點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度，幾何圖形的面積，求某些點(diǎn)的坐標(biāo)等；2 .函數(shù)的有關(guān)概念求函數(shù)自變量的取值范圍，求函數(shù)值、函數(shù)的圖象、函數(shù)的表示方法；3 .函數(shù)的圖象和性質(zhì)常見(jiàn)的題目是確定圖象的位置，利用函數(shù)的圖象確定某些字母的取值，利用函數(shù)的性質(zhì)解決某些問(wèn)題.利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)說(shuō)明函數(shù)值的變化趨勢(shì)，又能反過(guò)來(lái)判定函數(shù)圖象的位置；4 .函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式，求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸方程，利用函數(shù)的解析式來(lái)求某些字母或代數(shù)式的值.一次函數(shù)、

2、反比例函數(shù)和二次函數(shù)常與一元一次方程、一元二次方程、三角形的面積、邊角關(guān)系、 圓的切線(xiàn)、圓的有關(guān)線(xiàn)段組成綜合題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的 坐標(biāo)特征特殊點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)特征象限角平分線(xiàn)上點(diǎn) 的坐標(biāo)特征L常量與變量函數(shù)及其圖象自變量的取值范圍解析法表不法列表法圖象法建立函數(shù)關(guān)系式描點(diǎn)法作函數(shù)圖象一|一次函數(shù) 了 = kx + b(k # 0)正比例函數(shù)¥ =氏工0)圖象與性質(zhì)三類(lèi)基本函數(shù)二次函數(shù) 了 = ar' +fer +加 #0)待定系數(shù)法 求解析式綜合運(yùn)用一反比例函數(shù)y =號(hào)供# 0)【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、平面直角坐標(biāo)系(1)平面直角坐標(biāo)系(2)象限(3)

3、點(diǎn)的坐標(biāo)2 .各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征3 .特殊位置點(diǎn)的坐標(biāo)(1)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)(2) 一三或二四象限角平分線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)(3)平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)(4)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)4 .距離(1)平面上一點(diǎn)到x軸、y軸、原點(diǎn)的距離(2)坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離(3)平面上任意兩點(diǎn)間的距離5 .坐標(biāo)方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用(1)利用坐標(biāo)表示地理位置(2)利用坐標(biāo)表示平移要點(diǎn)詮釋?zhuān)狐c(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：(1)點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于 y ；(2)點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于 x ;(3)點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于 xx +y2 .考點(diǎn)二、函數(shù)及其圖

4、象1 .變量與常量2 .函數(shù)的概念3 .函數(shù)的自變量的取值范圍4 .函數(shù)值5 .函數(shù)的表示方法(解析法、列表法、圖象法)6 .函數(shù)圖象要點(diǎn)詮釋?zhuān)河珊瘮?shù)解析式畫(huà)其圖像的一般步驟：(1)列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值；(2)描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)；(3)連線(xiàn)：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線(xiàn)連接起來(lái)考點(diǎn)三、一次函數(shù)1 .正比例函數(shù)的意義2 . 一次函數(shù)的意義3 .正比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)4 . 一次函數(shù)的圖象與二元一次方程組的關(guān)系5 .利用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題要點(diǎn)詮釋?zhuān)捍_定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng) = kx (k

5、5;0)中的常數(shù) k；確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng) = kx + b (k *0)中的常數(shù)k和b.解這類(lèi)問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)考點(diǎn)四、反比例函數(shù)1 .反比例函數(shù)的概念2 .反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)3 .利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題要點(diǎn)詮釋?zhuān)簁 一反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義，如下圖，過(guò)反比例函數(shù) y =上（k ¥ 0）圖像上任一點(diǎn)P（x, y） x作x軸、y軸的垂線(xiàn)pm PN垂足為 M N,則所得的矩形 PMON勺面積S=PMPN=y x = xy .k._ . y = 一,xy = k, S =| k |.x考點(diǎn)五、二次函數(shù)1 .二次函數(shù)的概念2 .二次函數(shù)的圖象及

6、性質(zhì)3 .二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系4 .利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題要點(diǎn)詮釋?zhuān)?、兩點(diǎn)間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的問(wèn)題時(shí)，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）如圖：點(diǎn) A坐標(biāo)為（xi, yi）,點(diǎn)B坐標(biāo)為（x2, y2）,則AB間的距離，即線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為x（xi -x2 2 +（yi -y2 22、函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減考點(diǎn)六、函數(shù)的應(yīng)用1 .一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2 .反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用3 .二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用要點(diǎn)詮釋?zhuān)悍侄魏瘮?shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其關(guān)系式(或圖象)也不同的函數(shù)，分段函數(shù)的應(yīng)用題 多設(shè)計(jì)成兩種情況以上，解答時(shí)需分段討論.在現(xiàn)實(shí)生活中存在著很多需分段計(jì)費(fèi)的實(shí)

7、際問(wèn)題，因此,分段計(jì)算的應(yīng)用題成了近幾年中考應(yīng)用題的一種重要題型【典型例題】 類(lèi)型一、用函數(shù)的概念與性質(zhì)解題1 .已知一次函數(shù)y=(3a-2)x+(1-b),求字母a, b的取值范圍，使得：(1) y隨x的增大而增大；(2)函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方；(3)函數(shù)的圖象過(guò)第一、二、四象限 .【思路點(diǎn)撥】(1) y=kx+b (kw0)的圖象，當(dāng) k> 0時(shí)，y隨x的增大而增大;(2)當(dāng)b<0時(shí)，函數(shù)圖象與 y軸的交點(diǎn)在x軸的下方；(3)當(dāng)k<0, b>0時(shí)時(shí)，函數(shù)的圖象過(guò)第一、二、四象限 .【答案與解析】解：a、b的取值范圍應(yīng)分別滿(mǎn)足：(1)由一次函數(shù) y=kx+b

8、(k豐0)的性質(zhì)可知:當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大，即 3a-2 >0,2 一 ，si> 一，且b取任何實(shí)數(shù).3(2)函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,1-b ),交點(diǎn)在x軸的下方,> 1.玄-2 = 0 j&<02即 aw -，b3(3)函數(shù)圖象過(guò)第一、二、四象限，則必須滿(mǎn)足3a - 2 < 0、-匕 >01,當(dāng)k>0時(shí),【總結(jié)升華】下面是 y=kx(k wo), y=kx+b (k w0)的圖象的特點(diǎn)和性質(zhì)的示意圖，如圖y隨x的增大而增大；當(dāng) b> 0時(shí)，圖象過(guò)一、二、三象限，當(dāng) b=0時(shí)，是正比例函數(shù)，當(dāng) b<0時(shí)，圖

9、 象過(guò)一、三、四象限；當(dāng) y=x時(shí)，圖象過(guò)一、三象限，且是它的角平分線(xiàn) .由于常數(shù)k、b不同，可得到 不同的函數(shù)，k決定直線(xiàn)與x軸夾角的大小，b決定直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的位置，由k定向，由b定點(diǎn).同樣, 如圖2,是k<0的各種情況，請(qǐng)你指出它們的圖象的特點(diǎn)和性質(zhì)y2"俯-2)孑m=1 或 m=4(1)m為何值時(shí)，它是一次函數(shù) .(2)當(dāng)它是一次函數(shù)時(shí)，畫(huà)出草圖，指出它的圖象經(jīng)過(guò)哪幾個(gè)象限？y是隨x的增大而增大還是減小?(3)當(dāng)圖象不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求出該圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)間的距離，及圖象與兩軸所圍成的三角形面積【思路點(diǎn)撥】一次函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足：一次項(xiàng)(或自變量)的指數(shù)為1,系數(shù)不為0.【答案與解析

10、】22的自變量x的取值范圍是，當(dāng)m=1或m=4時(shí)，它是一次函數(shù).(2)當(dāng)m=4時(shí)，函數(shù)為y=2x,是正比例函數(shù)，圖象過(guò)一 y隨x的增大而增大.2 xx=0不在函數(shù)y =的自變量x的取值范圍之內(nèi)由此，作圖如下：2xy =在x w o時(shí)，就是函數(shù)2x 作出函數(shù) y=x, y=一，yx(3)直線(xiàn)y=-x-3不過(guò)原點(diǎn)，它與 x軸交點(diǎn)為 A(-3 , 0),與y軸交點(diǎn)為B(0, -3), 超=119''''','.直線(xiàn)y=-x-3與兩軸交點(diǎn)間的距離為 3戊，與兩軸圍成的三角形面積為 -.2【總結(jié)升華】(1)某函數(shù)是一次函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件是：一次項(xiàng) (或自變量

11、)的指數(shù)為1,系數(shù)不為0.而某函數(shù)若是 正比例函數(shù)，則還需添加一個(gè)條件：常數(shù)項(xiàng)為0.(2)判斷函數(shù)的增減性，關(guān)鍵是確定直線(xiàn)y=kx+b (kw0)中k、b的符號(hào).(3)直線(xiàn)y=kx+b (kw0)與兩軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可運(yùn)用x軸、y軸上的點(diǎn)的特征來(lái)求，當(dāng)直線(xiàn) y=kx+b (kw0)上的點(diǎn)在x軸上時(shí)，令y=0,則工=,交點(diǎn)為(-2,0);當(dāng)直線(xiàn)y=kx+b (kw0)上的點(diǎn)在y軸 ，'二k上時(shí)，令x=0,則y=b,即交點(diǎn)為(0 , b).舉一反三：【變式】已知關(guān)于x的方程x2 (m-3)x+m 4 =0 .(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)根大于 4且小于8,求m的取值范圍；

12、(3)設(shè)拋物線(xiàn)y =x2 -(m-3)x+m-4與y軸交于點(diǎn) M若拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好是點(diǎn) M求m的值.【答案】2222.證明：(1) =b -4ac=(m-3) -4(m-4)=m -10m +25 =(m-5) 0。， 所以方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.解：(2)由(1) A=(m5)2,根據(jù)求根公式可知，方程的兩根為：x = m .3 7(m -5)即 x1 =1x2=m-4,2由題意，有 4<m4<8,即 8<m<12.(3)易知，拋物線(xiàn) y =x2 - (m-3)x+m -4與y軸交點(diǎn)為 M (0, m4),由(2)可知拋物線(xiàn)與 x軸的 交點(diǎn)

13、為(1,0)和(m4,0),它們關(guān)于直線(xiàn)y = -x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為(0, 1)和(0, 4 m), 由題意，可得 一1 =m4或4m=m-4 ,所以m = 3或m = 4.C3.拋物線(xiàn)y=x2+bx+c圖象向右平移2個(gè)單位再向下平移 3個(gè)單位，所得圖象的解析式為y=x2- 2x3,則b、c的值為()A. b=2, c=2 B . b=2, c=0 C . b= - 2, c=- 1 D . b= - 3, c=2【思路點(diǎn)撥】易得新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，根據(jù)平移轉(zhuǎn)換可得原拋物線(xiàn)頂點(diǎn)，根據(jù)頂點(diǎn)式及平移前后二次項(xiàng)的系數(shù)不變可得原拋物線(xiàn)的解析式，展開(kāi)即可得到 b, c的值.【答案】B.【解析】解：由題意得新拋

14、物線(xiàn)的頂點(diǎn)為(1, -4),，原拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為(-1, - 1),設(shè)原拋物線(xiàn)的解析式為y= (x-h) 2+k代入得：y= (x+1) 2- 1=x2+2x,b=2, c=0.故選B.【總結(jié)升華】拋物線(xiàn)的平移不改變二次項(xiàng)系數(shù)的值；討論兩個(gè)二次函數(shù)的圖象的平移問(wèn)題，只需看頂點(diǎn)坐標(biāo)是如 何平移得到的即可.C4.若一次函數(shù)y=kx+1的圖象與反比例函數(shù) y = 1的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 x【思路點(diǎn)撥】y = kx 11因?yàn)榉幢壤瘮?shù) y=_的圖象在第一、三象限，故一次函數(shù)y=kx+1中，k<0,將解方程組1xy =x轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程，當(dāng)兩函數(shù)圖象沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，只需<

15、0即可.1【答案】k<-1.1【解析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，y=的圖象在第一、三象限，x二當(dāng)一次函數(shù)y=kx+1與反比例函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)時(shí)，k<0,y = kx 1解方程組11 ，得kx2+x-1=0 ,y =x當(dāng)兩函數(shù)圖象沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，<0,即1+4kv0,1解得k< -1,41 .兩函數(shù)圖象無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，kv .4一，一，1故答案為：k<-.【總結(jié)升華】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程，再確定 k的取值范圍.類(lèi)型三、函數(shù)綜合題O2一 5. （2015春？姜堰市校級(jí)月考）已知二次函數(shù) y=ax+bx+c （aw0）的圖象如

16、圖所不，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-,有下列結(jié)論：ab> 0;a+b+cv 0;b+2cv 0;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）31A. 0B. 1C. 2D. 3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，確定a、b、c的符號(hào)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和圖象確定 y>0或y<0時(shí)，x的范圍，確定代數(shù)式的符號(hào).【答案】C.【解析】解：二開(kāi)口向下，a< 0,對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)，b<0, .,正確；當(dāng) x=1 時(shí)，y<0, . - a+b+c< 0,正確；-上二-2a=3b, x=-1 時(shí)，y>0, a-b+c>0, b+2c>0錯(cuò)誤；2a 3故選：C.【總結(jié)

17、升華】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，要熟練運(yùn)用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和拋物線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足拋物線(xiàn)的解析式.舉一反三：【變式】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=bx+b2- 4ac與反比仞函數(shù)yW+b+c在同【答案】由拋物線(xiàn)的圖象可知，橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)，即（1, a+b+c）在第四象限，因此 a+b+c0;.雙曲線(xiàn)產(chǎn)a+b+c的圖象在第二、四象限；由于拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，所以a>0;對(duì)稱(chēng)軸x= - >0,所以b<0;2a拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故 b2-4ac>0;，直線(xiàn)y=bx+b2 -

18、4ac經(jīng)過(guò)第一、二、四象限.故選D類(lèi)型四、函數(shù)的應(yīng)用C6. (2015?舟山)某企業(yè)接到一批粽子生產(chǎn)任務(wù)，按要求在 15天內(nèi)完成，約定這批粽子的出廠(chǎng)價(jià) 為每只6元，為按時(shí)完成任務(wù)，該企業(yè)招收了新工人，設(shè)新工人李明第x天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為 y只，y與x滿(mǎn)足下列關(guān)系式：54*(0<x<5)y二，-30x+120(1)李明第幾天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為420只？(2)如圖，設(shè)第x天每只粽子的成本是 p元，p與x之間的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖象來(lái)刻畫(huà).若李明第 x天創(chuàng)造的利潤(rùn)為 w元，求w與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出第幾天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？(利潤(rùn)=出廠(chǎng)價(jià)-成本)(3)設(shè)(2)小題中第m天利潤(rùn)

19、達(dá)到最大值，若要使第( m+。天的利潤(rùn)比第 m天的利潤(rùn)至少多48元， 則第(m+1丁每只粽子至少應(yīng)提價(jià)幾元？鼻P (元只)飛 9天)【思路點(diǎn)撥】(1)把y=420代入y=30x+120,解方程即可求得；(2)根據(jù)圖象求得成本 p與x之間的關(guān)系，然后根據(jù)利潤(rùn)等于訂購(gòu)價(jià)減去成本價(jià)，然后整理即可得到 W 與x的關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的增減性解答；(3)根據(jù)(2)得出m+1=13根據(jù)利潤(rùn)等于訂購(gòu)價(jià)減去成本價(jià)得出提價(jià)a與利潤(rùn)w的關(guān)系式，再根據(jù)題意列出不等式求解即可.【答案】解：(1)設(shè)李明第n天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為 420只，由題意可知：30n+120=420,解得n=10.答：第10天生

20、產(chǎn)的粽子數(shù)量為 420只.(2)由圖象得，當(dāng) 0WxW9時(shí)，p=4.1 ;當(dāng) 9<x<15 時(shí)，設(shè) P=kx+b,把點(diǎn)(9, 4.1 ), (15, 4.7)代入得，/ 口 "，15k+b=7解得產(chǎn)?！? ,b:3. 2.p=0.1x+3.2 ,0WxW5 時(shí)，w= (6 4.1 ) X 54x=102.6x,當(dāng) x=5 時(shí)，w最大=513 (元)；5vxW9 時(shí)，w= (6 4.1 ) X ( 30x+120) =57x+228,x是整數(shù)，當(dāng)x=9時(shí)，w最大=714 (元)； 9vxW15 時(shí)，w= (6- 0.1x- 3.2 ) X ( 30x+120) = - 3x2+72x+336,. a=- 3<0,，當(dāng)x=一上=12時(shí)，w最大=768 (元)； 2a綜上，當(dāng)x=12時(shí)，w有最大值，最大值為 768.(3)由(2)可知 m=12 m+1=13設(shè)第 13 天提價(jià) a 元，由題意得， wi3= (6+a-p) (30x+120) =510 (a+1.5),.510 (a+1.5 ) 76848,解得 a=0.1 .答：第13天每只粽子至少應(yīng)提價(jià)0.1元.【總結(jié)升華】本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，主要是利用二次函數(shù)的增減性求最值問(wèn)題，利用一次函數(shù)的增減性求最值，難點(diǎn)在于讀懂題目信息，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.舉一反