2016北京大學金秋營數(shù)學試題(部分含答案)

1、2016 年北京大學優(yōu)秀中學生數(shù)學金秋營試題學科專業(yè)能力測試一第一天2016 年 10 月 14 日下午 14:0017:301、 在厶 ABC 內部有一點 P 滿足/ PABWPCB= , L 在 AC 上且 BL 平分/ ABC4延長 PL 交厶 APC 的外接圓于 Q 證明：BQ 平分/ AQC.2、 對于二.丄門的一個排列 一冷：4定義函數(shù) f( -；I I .覽)=二_-.求所有的排列中，f(心心”亠.、.上：)的最小值。3、 求所有正整數(shù) a,b,c 滿足對任意實數(shù) u,v,0 uvv 1.存在正整數(shù) n,使得” (u,v)成立.4、 設 p 為奇素數(shù),p=1(mod 4).正整數(shù)

2、 a,b 滿足一一 -pT =1.設 q 也為奇素數(shù),(q,bp)=1.考慮同余方程 h-2a 護+1 三 0(mod q).證明下述 3 個論述等價：(1) p 為模 q 的二次剩余；(2) 同余方程存在一個解；(3) 同余方程存在四個互不相同的解。學科專業(yè)能力測試二第二天2016 年 10 月 15 日上午 09:00-12 : 005、設函數(shù) f(x)二勞二趙如,且 x -1,1時,|f(x)| 1,求的最大可能值。&一個班里有 50 人， 相互之間發(fā)短信， 若在三個人 A,B,C 之間， 僅有 A 給 B 發(fā)過短信，B 給 C 發(fā)過短信，C 給 A 發(fā)過短信。則稱 A,B,C

3、三個人構成一個“循 環(huán)”試求這 50個人中“循環(huán)”個數(shù)的最大可能值。7、試求所有正整數(shù) a,使得對任意正整數(shù) k ,都存在正整數(shù) n,使得 an+2016 是個正整數(shù)的 k 次方8、對(0，1)中的實數(shù)稱其中兩個為相鄰的，如果這兩個數(shù)的十進制表示中只 有一位不同，是否可以將(0，1)中的實數(shù) 10 染色，使得任意兩個相鄰的數(shù)顏 色都不相同？【部分試題參考解答】 第 6 題參考解答題目一個班里有和人弗互之間發(fā)短信若在三個人入臥C之間僅有A給B發(fā)過 短信芒給C岌過短倍工給A麥過矩倍:則稱A. B. C三個人枸成一個一試求這50人中“循環(huán)個數(shù)的最大可能值嚴這個題是下面兩道竟塞超建變而來的：競矚1年加

4、S：大數(shù)學興祥匹克）一歡循環(huán)賽中有加41支勢賽隊具中每隊與 其他隊都只打一場比壽且比賽結果中設有平局若三個臥禺Y. Z満足誕擊敗YY母 fe 羽 擊敗扎貝啄測也們冊成一個環(huán)形三元組一求環(huán)形三元組的最大可方皺目*競賽題血亦年意犬利酥隊酬考試題）在一次有加十1蟲人爹加的比賽中拇個隊 都與其他的臥進行了一場比瘞,且每場比喜必有一個隊勝出攻煤AMB:BMex又勝了程則稱3個隊組咸的集合4ZC為循環(huán)的-求循環(huán)的集合的個數(shù)的最大值上解答苜先將50改為一般的2負考慮到A.B.C三個人之間發(fā)短信可形成H1C,我們稱 如圖I與圖2中的角為討不角3圖3中的角為“好角才由于A、B. C三個人構成一個“循環(huán)和有3個好

5、角，構成一個“非循環(huán)有1個好角2個壞角設一人發(fā)短信#次，則收短倍可有2川-1 -肪兄可產生k（2n-l-k）Knl）個好 角若2刃個人有f個“循環(huán)”貝啟子角個數(shù)為:引十匕打-/ v) = 1,2016 = 0(mod u), 2016 = l(mod v)o門 此吋心2?！?餉*；：韻脇。同余方崗;I常鳥罷整數(shù)解,這樣的師満足肚;另一方面， 若a2016x2015,則必存在一個素數(shù)p,使得vp(a)vp(2016x2015)o設vp(a) = a,則2016壬0、l(modpa)。注意到卩牛。故若xk=2016Cmod a),則必Wxk= 2016(mod pa)o Q取k=a-p(pa)=apP-1(p-lh則對任意xeZ,都有二如“亠三于是知方程 x吋 f-】 )=2016(modpR疣整數(shù)解。從而方程尺討 rpF = 2016(moda)無整數(shù)解。故這樣a都不滿足條件。*綜上