【精品】知識要點空間直角坐標系可編輯

1、知識要點-空間直角坐標系作者 日期第5講空間直角坐標系知識梳理1.右手直角坐標系右手直角坐標系的建立規(guī)那么：x軸、y軸、z軸互相垂直,分別指向右手的拇指、食指、中指；點的坐標P(x,y,z)作點的方法與步驟(路徑法)：沿x軸正方向(x 0時)或負方向(x 0時)移動|x|個單位,再沿y軸正方向(y 0時)或負方向(y 0時)移動|y|個單位,最后沿x軸正方向(z 0時)或負方向(z 0時)移動|z|個單位,即可作出點點的位置求坐標的方法：過P作三個平面分別與x軸、y軸、z軸垂直于A,B,C ,點A,B,C在x軸、y軸、z軸的坐標分別是a,b, c ,那么(a,b,c)就是點P的坐標2、在x軸上

2、的點分別可以表示為(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c),在坐標平面xOy , xOz , yOz內(nèi)的點分別可以表示為(a,b,0), (a,0,c), (0,b,c);3、點P(a,b,c)關(guān)于x軸的對稱點的坐標為(a, b, c)點P(a,b,c)關(guān)于y軸的對稱點的坐標為(a,b, c);點P(a,b,c)關(guān)于z軸的對稱點的坐標為(a, b,c);點P(a,b,c)關(guān)于坐標平面xOy的對稱點為(a,b, c);點P(a,b,c)關(guān)于坐標平面xOz的對稱點為(a, b,c);點P(a,b,c)關(guān)于坐標平面yOz的對稱點為(a,b,c);點P(a,b,c)關(guān)于原點的對稱點(a, b,

3、c).4.空間兩點P(Xi,Yi,Zi)Q(X2,Y2,Z2),那么線段PQ的中點坐標為(Xi X2 yi y2 Z1 Z2.2,2,25.空間兩點間的距離公式空間兩點 P(Xi,yi,Zi)Q(X2,y2,Z2),那么兩點的距離為 |PQ| J(Xi X2)2 (% y2)2 (Zi z?)2 , 特殊地,點A(x, y, z)到原點O的距離為| AO |,x2 y2 z2 ;5.以C(xo, yo,Zo)為球心,r為半徑的球面方程為 2222(X Xo)(y yo)(Z Zo)r特殊地,以原點為球心,r為半徑的球面方程為x2 y2 z2 r2重難點突破重點：了解空間直角坐標系,會用空間直角

4、坐標系表示點的位置,會推導(dǎo)和使用空間兩點間的距離公式難點：借助空間想象和通過與平面直角坐標系的類比,熟悉空間點的對稱及坐標間的關(guān)系重難點：在空間直角坐標系中,點的位置關(guān)系及空間兩點間的距離公式的使用I .借助空間幾何模型進行想象,理解空間點的位置關(guān)系及坐標關(guān)系問題I:點P(a,b,c)到y(tǒng)軸的距離為解析借助長方體來思考,以點O,P為長方體對角線的兩個頂點,點 P(a,b,c) 到y(tǒng)軸的距離為長方體一條面對角線的長度,其值為Ja2 c22.將平面直角坐標系類比到空間直角坐標系問題 2:對于任意實數(shù) x,y,z,求 Jx2y2z2J(xi)2(y2)2(zi)2的最小值解析在空間直角坐標系中, 打

5、y2 J(x 1) (y 2) (z 1)表示 空間點(x, y,z)到點(0,0,0)的距離與到點(1,2,1)的距離之和,它的最小值就是 點(0,0,0)與點(1,2,1)之間的線段長,所以Jx2y2z2J(x1)2(y2)2(z1)2的最小值為 娓.3.利用空間兩點間的距離公式,可以解決的幾類問題(1)判斷兩條相交直線是否垂直(2)判斷空間三點是否共線(3)得到一些簡單的空間軌跡方程熱點考點題型探析考點1:空間直角坐標系 題型1:熟悉空間直角坐標系 例1 (1)在空間直角坐標系中,y a表示A. y軸上的點BC .垂直于y軸的平面D .平行于y軸的直線(2)在空間直角坐標系中,方程y x

6、表示A.在坐標平面xOy中,1, 3象限的平分線B .平行于z軸的一條直線C .經(jīng)過z軸的一個平面D.平行于z軸的一個平面【解題思路】熟悉空間直角坐標系,可以類比平面直角坐標系,如在平面直角坐標系坐標系中,方程x 1表示所有橫坐標為1的點的集合解析(1) y a表示所有在y軸上的投影是點(0,a,0)的點的集合,所以y a表示經(jīng)過點(0, a,0)且垂直于y軸的平面(2)方程y x表示在任何一個垂直于z軸的一個平面內(nèi),1, 3象限的平分線組成的集合【名師指引】(1)類比平面直角坐標系,可以幫助我們熟悉空間直角坐標系(2)要從滿足某些特殊條件的點的坐標特征去思考問題.如：經(jīng)過點(a,0,0)且垂

7、直于x軸的平面上的點都可表示為(a,y,z)題型2:空間中點坐標公式與點的對稱問題例2 點P(a,b,c)關(guān)于z軸的對稱點為Pi,點Pi關(guān)于平面xOy的對稱點為P2,那么巳的坐標為【解題思路】類比平面直角坐標系中的對稱關(guān)系,得到空間直角坐標系中的對稱關(guān)系解析因點P和P關(guān)于z軸對稱,所以點P和P的豎坐標相同,且在平面xOy的射影關(guān)于原點對稱,故點Pi的坐標為(a, b, c),又因點Pi和巳關(guān)于平面xOy對稱,所以點巳坐標為(a, b, c)【名師指引】解決空間點的對稱問題,一要借助空間想象,二要從它們在坐標平面的射影找關(guān)系,如借助空間想象,在例2中可以直接得出點巳為點P(a,b,c)關(guān)于原點的

8、對稱點,故坐標為(a, b, c)【新題導(dǎo)練】1 .正四棱柱ABCD ABiGDi的頂點坐標分別為A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,2,0) , Ai (0,0,5),那么 Ci 的坐標為.解析正四棱柱ABCD ABGDi過點A的三條棱恰好是坐標軸,Ci的坐標為(2, 2, 5)2 .平行四邊形ABCD的兩個頂點的的坐標為A( 1,1,3), B(3,2, 3),對角線的交點為M (1,0,4),那么頂點C的坐標為 , 頂點D的坐標為解析由得線段AC的中點為M ,線段BD的中點也是M ,由中點坐標公式易得C(3, 1,5) , D( 1, 2,11)3 .M (4,3, 1),記

9、M到x軸的距離為a , M到y(tǒng)軸的距離為b , M到z軸的距離為c,那么()A. a b c B . c b a C .cab D . b c a解析借助長方體來思考,a、b、c分別是三條面對角線的長度.a 而,b V17,c 5,選 C考點2:空間兩點間的距離公式 題型：利用空間兩點間的距離公式解決有關(guān)問題點P ,在Oy軸上是X例3 如圖：點A(1,1,0),對于Oz軸正半軸上任意否存在一點B ,使得PAAB包成立假設(shè)存在,求出B說明理由.【解題思路】轉(zhuǎn)化為距離問題,即證實 PA2 AB2 PB2解析設(shè) P(0,0,c) B(0,b,0),對于Oz軸正半軸上任意一點P ,假設(shè)在Oy軸上存在一

10、點B ,使得PA AB包成立,貝U PA2 AB2 PB2222222222(0 1)(0 1) (c 0) (1 0)(1 b) (0 0) (0 0)(0 b) (c 0)即 3 (b 1)2 b2 ,解得：b 2所以存在這樣的點B ,當點B為(0,2,0)時,PA AB包成立【名師指引】在空間直角坐標系中,利用距離可以證實垂直問題.此外,用距 離還可以解決空間三點共線問題和求簡單的點的軌跡.【新題導(dǎo)練】4, A(x,5 x,2x1),B(1,x 2,2 x),當A,B兩點間距離取得最小值時,x的值為()1914解析| AB|.(x 1)2 (3 2x)22(3x 3)214x2 12x

11、198 2514(x)77A. 19| AB |取得最小值5.球面22(x 1)2(y 2)2 (z23)29,與點A( 3,2,5),那么球面上的點與點A距離的最大值與最小值分別是 解析球心C(1, 2,3), AC 6,球面上的點與點A距離的最大值與最小值分別是9和36.三點A( 1,1,2),B(1,2, 1),C(a,0,3),是否存在實數(shù)a ,使A、B C共線假設(shè)存在,求出a的值；假設(shè)不存在,說明理由.解析AB ( 1 1)2 (1 2)2 (2 1)2AC,( 1 a)2 (1 0)2 (23)2, (a1)22 ,BC,(1a)2(2 0)2 ( 13)2,(a1)220 ,由于

12、BC AB ,所以,假設(shè)A,B,C三點共線,有BC AC AB或AC BC AB ,假設(shè)BC AC AB,整理得：5a2 18a 19 0 ,此方程無解;假設(shè)AC BC AB,整理得：5a2 18a 19 0 ,此方程也無解.所以不存在實數(shù)a ,使A、B、C共線.搶分頻道根底穩(wěn)固練習1 .將空間直角坐標系(右手系)畫在紙上時,我們通常將x軸與y軸,x軸與z軸所成的角畫成()A. 900 B . 1350 C .45 0 D . 75解析：選B2 .點P(3,4,5)在yoz平面上的投影點R的坐標是()A (3,0,0) B . (0,4,5) C . (3,0,5) D .(3,4,0)解析：

13、兩點的縱坐標、豎坐標不變,選 B3 .三棱錐 O ABC 中,O(0,0,0),A(2,0,0), B(0,1,0),C(0,0,3)此三棱錐的體積為()A. 1 B . 2 C . 3D . 61 1解析OA,OB,OC 兩兩垂直,Vo abc 1 1 1 2 3 13 24. (2007山東濟寧模擬)設(shè)點B是點A(2,-3,5)關(guān)于平面xOy的對稱點,那么|AB|等于()A. 10 B .麗C.43D . 38解析A點A(2,-3,5)關(guān)于平面xOy的對稱點為B(2, 3, 5),AB , (2-2)2一13(-3)25-(-5)2 105. (2007年湛江模擬)點P(1,2,3)關(guān)于y

14、軸的對稱點為R, P關(guān)于平面xOz 的對稱點為F2,那么|RP2 | 二解析R( 1,2, 3), F2(1, 2,3), |PPJ y；566. 正方體不在同一外表上的兩頂點P (-1 , 2, -1 ) , Q (3, -2,3),那么正方體的體積是解析P,Q不共面,PQ為正方體的一條對角線,PQ 4/3,正方體的棱長為4,體積為64綜合提升練習7. 空間直角坐標系中,到坐標平面 xOy , xOz , yOz的距離分別為2, 2, 3 的點有A.1個B.2 個 C.4 個D.8個解析：8 個.分別為(3, 2, 2)、(3, 2, -2)、( 3, -2 , 2)、(3, -2,-2)、

15、 (-3, 2, 2)、 (-3, 2, -2)、 (-3, -2 , 2)、 (-3, -2 , -2)8. (2007山東昌樂模擬)三角形ABC的三個頂點的坐標為A(1, 2,11), B(4,2,3),C(6, 1,4),那么 ABC 的形狀為()A.正三角形B .銳角三角形 C .直角三角形 D .鈍角三角形解析C| AB |. (1 4)2( 22)2(113)2. 89| AC |.(4 6)2( 21)2(114)2. 75|BC| (4 6)2 (2 1)2 (3 4)2.14AC2 BC2 AB29. (2021年佛岡一中模擬)空間直角坐標系O xyz中有一點人(1, 1,2

16、),點B是平面xOy內(nèi)的直線x y 1上的動點,那么A,B兩點的最短距離是()A.而 B .必C . 3D . 業(yè)2 2解析由于點B在xoy平面內(nèi)的直線x y 1上,故可設(shè)點B為(x, x 1,0),I所以 AB(x1)2一(一x-2)2(02)22x2 2x 9 , 2(x 1)2 17 ,22,1 ,j . 34 一 . 1 1所以當1時,AB取得最小值 二4,此時點B為2,1,.). 222 210 .如圖,以棱長為a的正方體的三條棱為坐標軸,建立空間直角坐標系O xyz,點P在正方體白對角線AB上,點Q在正方體的棱(1)當點P為對角線AB的中點,點Q在棱CD上運動時,探究PQ的最小值；(2)當點P在對角線AB上運動,點Q為棱CD的中點時,探究PQ的最小值； 解析由 A(a,a,0), C(0,a,0), D(0