人教版選修4-5第1章1.3絕對值不等式的解法

1、1.3 絕對值不等式的解法 1.3.1 |ax+ b| c 型不等式的解法 1.3.2 |x a|+ |x b| c, |x a|+ |x b|0 時，|x|=x；當 xa (a0)? xa 或 x a. 3Jx|0)? axa. 4. a0 時，|x|w a 的解集為？； |x|a 的解集為 R. 5. f(x)|0)? af(x)a (a0)? f(x)a 或 f(x)v a. 7. f(x)|vg(x)? g(x)vf(x)vg(x). 8. f(x)|g(x)? f(x)g(x)或 f(x)v g(x). 2 2 9. f(x)|g(x)|? f (x)|g(x)|? f2(x)g2(

2、x). 基礎自測 2 1. 已知全集 U = R，且 A= x|X 1|2，B= xx 6x+ 82 = x|x3, 2 B = x|x 6x+ 80 = x|2x4, ?uA= x| 1x 3, (?uA)G B = x|2x 3，故選 C. 答案 C 2. 不等式 1X+ 1|3 的解集為( ) A. (0 , 2) B.(-2, 0)U (2, 4) C.( 4, 0) D.(-4,- 2)U (0, 2) 解析 原不等式可化為 1x+ 13 或3x+ 1- 1, 解得：0 x2 或4x 2 故應選 D. 答案 D 5 1 3. 若關于 x 的不等式|ax 2|3 的解集為x| 3x空r

3、,則 a = _ . 解析 根據絕對值不等式的性質及不等式的解集求解 |ax 2|3, - - 1ax0 時，一丄 vxv5,與已知條件不符； a a 當 a = 0 時，x R，與已知條件不符； 5 1 5 1 當 a0 時，ax 彳，又不等式的解集為，x| 3xgr,故 a= 3. 答案 3 產講練互動 J 課堂講媒區(qū) 知識點 1 解|ax+ b| c 型不等式 【例 1】解不等式： (1) |x a|0); (2)|x a| b (b0). 解 (1)|x a|0)? b x ab? x ab 或 x aw b ? x a+ b 或 xwa b. 所以原不等式的解集為x|x a+ b 或

4、 xwa b. 反思感悟：對于|ax+ b|w c 或(ax+ b) c 型不等式的化簡，要特別注意 數時，a 為負 可以先把 a 化為正數. 話變武遷移 1解不等式： (1) 2 兇 + 17; (2)|1 2x|7? 2|x|6 ? |x|3? x3 或 x3 或 x 3. (2) |1 2x|5? |2x 1|5? 52x 15 ? 42x6? 2x3. 不等式的解集為x| 2x3. 知識點 2 解|f(x)|v|g(x)|型不等式 【例 2】 解不等式|x a|x b| (a b). 解 由 |x a|x b| 兩邊平方得：(x a)2a2 b2.因 ab,當 ab 時，x; 當 ab

5、 時，1x|x2 (a+ b)； 當 ab 時，x|x (a+ b) 反思感悟：解含有絕對值符號的不等式關鍵是去掉絕對值符號 式轉化為我們熟悉的一元一次不等式或一元二次不等式 話變畫遷移 2. 解不等式 x2 2x+ 3|0， |x2 2x+ 3|3x 1|? x2 2x+ 3x? 2x+ 3 或 3x 1 x?+ 2x 3 ? x2 5x+ 40 或 x2 + x+ 20. 由 x2 5x+ 40，得：1x4， 1 2 7 由 x + x+ 20，得：ix+ 2 + 40， 該不等式解集為？所以原不等式的解集為(1，4). 把絕對值不等 知識點 3 解|x a|+ |x bp c、|x a|

6、 + |x b| c 型不等式 x 【例 3】 解不等式|x+ 3|- |2x- 1|x+ 1. _ x 解 XV 3 時，原不等式化為一(x+ 3) (1 2x)2+ 1,解得 x10,.x- 3. 1 x 2 當一 3wx2 時，原不等式化為(x+ 3) (1 2x)2 + 1,解得 x 5，一 3wx 2 5. 1 x 當 X2 時，原不等式化為(x+ 3) (2x 1)2，. x2. 綜上可知：原不等式的解集為 1x|x2 ,. 反思感悟：對含有多個絕對值符號的不等式的解法通常用分段討論法， 去掉絕 對值符號，將不等式化為整式不等式求解，去掉絕對值符號的依據是絕對值的定 義，找到分界點

7、(即零值點)令絕對值內的數為零，分成若干段，最后原不等式的 解集是各段解集的并集 話變式遷移 1 3. 設函數 f(x)= x+匚 + |x a|(a0). a (1)證明：f(x)2; 若 f(3)0，有 f(x)= x+匚 + |x a| x+;(x a) =- + a2.所以 a a a f(x) 2. ” 1 (2) 解 f(3) = 3+匚 + |3 a|. 當 a3 時，f(3) = a + 由 f(3)5，得 3a5+ 21. a 2 當 0aW3 時，f(3) = 6 a+扌，由 f(3)5，得蔦、5 0) (1) 根據實數的絕對值的意義：|a| =， /小 a (a0). (

8、2) 根據不等式的性質： |x|a? ax0). 根據|a 匸 a2 (a R)，不等式兩邊同時平方，當然應注意不等式兩邊平方的前 提. 隨堂演練 1. 不等式 X - 1 |x 5|2 的解集是( ) A. ( x, 4) B.( x, 1) C.(1, 4) D.(1, 5) 解析利用零點分區(qū)間法解絕對值不等式. 當 x 1 時，原不等式可化為 1 X (5 x)2, 42，不等式恒成立，二 x 1. 當 1x5 時，原不等式可化為 x 1 (5 x)2, 二 x4 ,二 1x5 時，原不等式可化為 x 1 (x 5)2，該不等式不成立. 綜上，原不等式的解集為(x, 4),故選 A. 答

9、案 A 2. 不等式 x 1|+ |x 2|2 則不等式化為 x 1 + x 2= 2x 33, 解得 2x 3.t x Z,二 x= 2 或 x= 3. (2)1 x2,則不等式化為 x 1+ 2 x= 13, 則 x 1 , 2). Tx Z ,二 x= 1. x1，則不等式化為 1 x+ 2 x= 3 2x0. T x Z 且取最小整數，二 x= 0.綜上所得：x= 0. 答案 A 3. _ 不等式|2x 1| |x 2|0 的解集為 _ . 解析 |2x 1x 2|0? |2x 1|x 2|? (2x 1)2(x 2)2? 4x2 4x+ 1x2 4x2 + 4? 3x 3? 1x5

10、的解集為 . 解析 思路一：利用數軸對 x 進行分類討論去掉絕對值符號，再解不等式思路 二：借助數軸，利用絕對值的幾何意義求解. 方法一：要去掉絕對值符號，需要對 x 與2 和 1 進行大小比較，2 和 1 可以 把數軸分成三部分.當 x5， 解得 x 3;當一 2x5,即 35,無解；當 x 1 時，不等式等價于 x 1+ x+ 25,解得 x2.綜上，不等式的解集為x|x2. -3 -2-1 0 2 ； 方法二：x 1|+ |x+ 2|表示數軸上的點 x 到點 1 和點一 2 的距離的和，如圖所示， 數軸上到點 1 和點一 2 的距離的和為 5 的點有一 3 和 2，故滿足不等式|x 1|

11、+ |x + 2|5的 x 的取值為 x2,所以不等式的解集為xx2. 答案x|x 2 戸課時作業(yè) J 課后鞏固區(qū) _ 基礎達標 1 1 1.如果I3 同時成立，那么 x 的取值范圍是( ) 1 1 B. x2 或 x 3 1 卡 1 D.x3 1 1 解析 解不等式 x2 得 x 1 1 1 解不等式 x|1得 X1或x 3. A. x| 1x q 或 2x2 或 x -. 答案 B 2.若集合 A= x|2x 1|3 , B = x|2x+10 A 1 1 A. 3x2 C.x# 1 B. x|2x3 1 C. x| 2x2 1 D. x| 1x q 解析 |2x 1|3? 32x 13?

12、 1x2, 2x+ 1 A= x| 1x2 , 0? (2x+ 1)(3 x)0? x3, 1 、 B= x|x3. 吻- 1 i 結合數軸： 一 1 - 1 - A A B x| 1x 2 答案 D 3. 設 x R，則“ x 2|0” 的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C. 充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 先求不等式的解集，再根據充分條件、必要條件的判斷方法進行判斷 |x 2|1? 1x0? x1 或 x 2. 由于x|1x1 或 x 2的真子集， 所以“|x 2|0”的充分而不必要條件. 答案 A 4. 若不等式|ax+ 2|6 的解集為(一 1, 2)，貝

13、 U 實數 a 等于 _. 解析 由 |ax+ 2|6 可知一 8ax0 時，一8x4. a a 解集為(1, 2)，-1 4 故 a 不可能大于 0.當 a_0,則 x R 不符合題意. 當 a0 時，4x-1. 解集為(-1, 2), 故 a_- 4. 答案 4 5. 若不等式 X- 1|a 成立的充分條件是 0 x4，則 a _ 解析由題意得 0 x4? |x- 1|a,貝 U 0 xw 1, |x- 1|_ 1 -x, 0 1 -x1. 1x4, |x- 1|_x- 1, 0 x- 13. 綜合，得 x- 1| 2. 3 3 x 2 3x+ 3 2. 1 解得XW 5 或X3. 綜合提

14、高 7. 不等式(1 + x)(1 - xi)0 的解集為( B. x|x0 且 XM 1 D. x|x1 且 XM 1 8_ a_ R_ 2 矛盾, 解析不等式可化為 -8_ 2 a a_- 4, ,a_- 4. 綜上，原不等式的解集是 x|x-1 . A.x|0W x1 C.x|- 1x 0, J (1+ x)( 1-x) 0, x0, 0 x1 或 x0 且 XM 1. . xa,對于 x R 均成立，那么實數 a 的取值范圍是( ) A.(, 5) B.0, 5) C. (, 1) D.0, 1 解析 由絕對值的幾何意義知|x 2|+ x+ 3|表示的是 x 與數軸上的點 A( 3)及

15、 B(2)兩點距離之和，A、B 兩點的距離為 5,線段 AB 上任一點到 A、B 兩點距離 之和也是5數軸上其它點到 A、B 兩點距離之和都大于 5, |x 2|+ |x+ 3|5, I x R, . a5. 答案 A 2 1 I 9. _ 已知 a R，若關于 x 的方程 x + x+ a4! + |a|= 0 有實根，則 a 的取值范圍 是 _ . 解析關于 x 的方程 x2 + x+ a1 + |a| = 0 有實根， 1 4*a1 + |a|) 1 1 0,a 4 + |a| 4. III 1 1 1 1 =a;+ a= 2a ；w；, ;, a 不存在. 4 4 4 4 1 綜上可知

16、 0w a 4. 1 答案 0w aw1 III 當 a0 時，!a 4 +|a|= 4 2a4， a = 0; 1 + |a|= 4 a + aw 當 0aw 丁時, a 4 10. _ 不等式 2|2x+ 3|w 4 的解集為 解析 22x+ 3 4, 轉化為 22x+ 3w 4 或4W 2x+ 3 2, 117 5 解得一 2x2 或2wx-2， 所以原不等式的解集為 1 1 卡 7, 5、 ，x|2x 2 或寸 x2 乙 詠 4 1 1 亠 7 5 答案為2x2 或2=x0, 1 解得 0 x 1. (1)當 O log33， 3 3 x3x，. . xW：， 4 3 結合前提條件，得 0 xW 4. 當 1x log33， - x 3x+ 3w 0， x ?. 當 2x log33， -x3(3 x). 9 9 x9,結合前提條件，得 4=x0. (1)當 a= 1 時，求不等式 f(x)1 的解集； 若 f(x)的圖象與 x 軸圍成的三角形面積大于 6,求 a 的取