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1、 -1,1 / 13專題19等比數(shù)列考綱要求:1. 理解等比數(shù)列的概念.2. 掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式3. 能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題4. 了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.、概念掌握及解題上的注意點(diǎn):1.解決等比數(shù)列有關(guān)問題的兩種常用思想1 方程的思想:等比數(shù)列中有五個(gè)量ai,n,q,an,S,般可以“知三求二”,通過列方程組求關(guān)鍵量a1和q,問題可迎刃而解2 分類討論的思想:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論,當(dāng)q=12.等比數(shù)列的三種常用判定方法1 定義法:若丄=q q為非零常數(shù),n N*,則an是等比數(shù)列.an2 等
2、比中項(xiàng)法:若數(shù)列an中,anM0,且 al1=anan+2n N ,則數(shù)列an是等 比數(shù)列.3 通項(xiàng)公式法:若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an=cqnc,q均是不為 0 的常數(shù),n N*, 則an是等比數(shù)列.三、高考考題題例分析:例 1. ( 2018 課標(biāo)卷 I)記 S 為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和.若 Sn=2an+1,則&= .【答案】-63時(shí),an的前n項(xiàng)和S= na1;當(dāng)ql時(shí),an的前n項(xiàng)和an1 q1-qa1a“q1 q.2 / 13【解析】:久為數(shù)列 3的前n項(xiàng)和,V2an+1,當(dāng)”1時(shí)i=2ai+lj解得日尸當(dāng) 心2時(shí),4)-1=2an-1+l,宙一可得為二鮎- 2an-ij為是以
3、-1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,S6=7:_一:=-63,1-2故答案為:-63例 2. (2018 課標(biāo)卷 III )等比數(shù)列an中,ai=1, a5=4as.(1 )求an的通項(xiàng)公式;(2)記 S 為an的前 n 項(xiàng)和.若 Sm=63,求 m【答案】(1) an=2n-1,或 an= (- 2)n-1(2) m=6【解析】:(1) V等比數(shù)列唧中,a1=l, a5=4a3.!Xq*=4X (lXq2),解得當(dāng)于2時(shí),ar=2 S當(dāng)q=- 2時(shí),an=(一2)n_1,/. aj的通項(xiàng)公式為,an=2S或=( - 2)/丄.(2)記 S 為an的前 n 項(xiàng)和.a1=1, q=- 2 時(shí),S=
4、 1-q1-(-2)S=63,得 Sm= =63, m N,無解;3a1=1, q=2 時(shí),S=I =2n- 1,:3 / 13S=63,得 Sm=2m-仁 63, m N,解得 m=6.例 3.(2017 課標(biāo) II)我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅 光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問尖頭幾盞燈? ”意思是: 一座 7 層塔共掛了 381 盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2 倍,則塔的頂層共有燈()A. 1 盞B. 3 盞C. 5 盞D. 9 盞【答案】B【解析】:設(shè)塔的頂層共有燈X盞,則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為X,公比為 2 的等比數(shù)列,4 / 13x
5、y -27結(jié)合等比數(shù)列的求和公式有:=381,解得x=3,即塔的頂層共有燈 3 盞,故1-2選 B。例 4.(2016 浙江卷)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 S.若S2=4,勿+1=2$+1,n N*,貝U ai=, S=.【答案】1121【解析】:a a?= 4, a?= 2&11 =a= 1,a= 3,再由a.1= 2Sn1a = 2Snj1(n _ 2) =a.1a.=2a. = an 1= 3an(n _ 2),又a2= 3a1,1 _35所以an1=3an(n _1)二彳o=121.13例 5.(2016 高考新課標(biāo) 1 卷)設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a
6、2-an的最大值為.【答案】64匕+a, = 10+二10【解附設(shè)等比數(shù)列的公比切,由 9 心叫爲(wèi)+心1 D-aH- SHx()1= 23,于是當(dāng)用二3或4時(shí)耳取得最大值2=64.例 6.(2016 高考新課標(biāo) III)已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和Sn=1”an,其中丄0.(I)證明an是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;31(“)若匚【解析】:(1)證明:由題意得a1=S1= 1 +入a1,由Sn= 1 + 入an,Sn+1= 1 + 入an+1得dn+1=入dn+1一 入an, 即an+1(入1)=入an.均=E解得1-所以【答案】(I)an二(廣4)故入工 1,1a1= 1 入故a1豐0.由 aQ
7、0,入M0得anM0,所以an+1an因此an是首項(xiàng)為11 入,5 / 13公比為的等比數(shù)列, 入一 131由85=得 1 解得入=1.例 7. (2015 全國卷I)在數(shù)列an中,a1= 2,an+1= 2an,S為an的前n項(xiàng)和.若S=126,貝 H n=_ .【答案】6【解析】: 31 = 2, - l=2tln二數(shù)列血是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列.2(1-2M)袁丁氐=126,二 =12氐1一2解得M6,例 8(2017 北京高考)若等差數(shù)列ai和等比數(shù)列bn滿足a1= b = 1,a4=b4=8,則匸=b2【答案】1【解析】:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q,a4a1
8、8 I貝U由a4=a1+ 3d, 得d= 3 =3= 3,丄3/口3b48由b4= bq 得q= = 8,q= 2.b1 1f 入、5=31 入-1 =32,6 / 13a2a1+d 1 + 3二b2=而=丁=1.7 / 13等比數(shù)列練習(xí)一、選擇題11 .已知an是等比數(shù)列,a2= 2,a5= 4,則公比q=()1 1 A. 2 B . 2C. 2D. 2【答案】D1【解析】:由通項(xiàng)公式及已知得a1q=2,ag4=-,31由*得q=-,81解得q=q.故選D2.對(duì)任意等比數(shù)列an,下列說法一定正確的是()A. a1,a3,a9成等比數(shù)列B. a2,a3,a6成等比數(shù)列C. a2,a4,as成等比數(shù)列D. a3,a6,a9成等比數(shù)列【答案】D【解析】:由等比數(shù)列的性質(zhì)得,a3a9=a2*0,因此a3,a6,Q定成等比數(shù)列,選 D.3.已知an為各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列,$為其前n項(xiàng)和,且 So = 10, $0= 70,那么S。=( )A. 150B. 200C. 150 或200D. 400 或50【答案】A【解析】::依題意,屜一 Go, S鈾一Sm
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