二次根式知識點總結-題型分類-復習專用

1、知識點一：二次根式的概念【知識要點】二次根式的定義：形如m(心的的式子叫二次根式,其中口叫被開方數(shù),只有當小是一個非負數(shù)時,血才有意義.【典型例題】【例 1】以下各式 1)出 2)«5,3) & 2,4)",5)( t)2,6)s/ra,7) Ja2 2a 1,其中是二次根式的是 (填序號).舉一反三：1、以下各式中,一定是二次根式的是()A、內 B、770 C、,1 D、Q2 12、在匈、Jab、JxF、j X2、J3中是二次根式的個數(shù)有 個1、【例2】假設式子-=有意義,那么x的取值范圍是 . . X 3舉一反三：1、使代數(shù)式“X 3有意義的X的取值范圍是()x

2、 4A、x>3B、x>3C x>4D、x>3 且 x42、使代數(shù)式 J x2 2x 1有意義的x的取值范圍是 I國0L正謹博疆I【例 3】假設 y= v x 5 + J5x +2021,貝U x+y=舉一反三：4r ,、2 一1、右 7x1 J1 x (x y),那么 x y 的值為()A.1 B . 1 C . 2 D . 32、假設x、y都是實數(shù),且y=夜x3 M一云 4 ,求xy的值3、當a取什么值時,代數(shù)式 缶 1 1取值最小, 并求出這個最小值.知識點二：二次根式的性質【知識要點】1,非負性： 病a 0)是一個非負數(shù).注意：此性質可作公式記住,后面根式運算中經(jīng)

3、常用到.2. ( a)2 aa 0).注意：此性質既可正用,也可反用,反用的意義在于,可以把任意一個非負數(shù)或非負代數(shù)式寫成完全平方的形式：a (.a)2 (a 0)3. 好 |a| a(a 0)注意：(1)字母不一定是正數(shù).a(a 0)(2)能開得盡方的因式移到根號外時,必須用它的算術平方根代替.(3)可移到根號內的因式,必須是非負因式,如果因式的值是負的,應把負號留在根號外.4. 公式 花 |a| a(a 0)與(廚 aa 0)的區(qū)別與聯(lián)系a(a 0)(1) <02表示求一個數(shù)的平方的算術根,a的范圍是一切實數(shù).(2)(石)2表示一個數(shù)的算術平方根的平方,a的范圍是非負數(shù).(3) 為；

4、乒和(石)2的運算結果都是非負的.【典型例題】題型【例4】假設a 2.3 c 40,那么a b c .舉一反三：1、假設而一3 n 120,那么m n的值為.22、x,y為實數(shù),且qx 13y 20,那么x y的值為A. 3B. - 3C. 1D. - 13、直角三角形兩邊x、y的長滿足| x24 | + y y2 5y 6=0,那么第三邊長為4、假設a b 1與Ja 2b 4互為相反數(shù),那么2005a b【例5】化簡：a 1 da 32的結果為公式432 aa 0的運用A 42a B 、0 C 、2a4D舉一反三：1、 在實數(shù)范圍內分解因式：Y2 3= x42_；m 4m 4 =x4 9 ,

5、 x2 272x 2 公式送|a a".的應用【例6】x 2,那么化簡收 4x 4的結果是A、x 2 B、x2C x 2 D 2 x舉一反三：1、根式J 32的值是A. -3 B . 3 或-3 C .3 D . 92、a<0,那么| 2al可化簡為A.a B . a C .3a D . 3a3、假設 2p a p 3,那么 J 2 a 2 J a 3 2 等于A. 5 2a B.1 2a C. 2a 5 D. 2a 14、假設a 3<0,那么化簡爽2 6a 94a的結果是(A) -1(B) 1(C) 2a-7(D) 7-2a225、化簡 J4x 4x 1J2x 3 得(

6、)(A)2(B)4x 4(C) -2(D) 4x 4a2 2a 1,一,一,j26、當avl且aw0時,化簡 a a =.J4(a 1)2J4(a -)27、a 0,化簡求值：丫 a a【例7】如果表示a, b兩個實數(shù)的點在數(shù)軸上的位置如下圖,那么化簡1 a-b +J(a b)2的結果等于() * A ba oA . 2b B . 2b C . 2a D . 2aa .' I *.1.12舉一反三：實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如下圖：化簡：a 1 J(a 2)2 .【例8】化簡1 x Jx2 8x 16的結果是2x-5 ,那么x的取值范圍是()(A) x 為任意實數(shù)(B) 1<x<

7、4(C) x>1(D) x< 1舉一反三：假設代數(shù)式7(2 a)2 J(a 4)2的值是常數(shù)2 ,那么a的取值范圍是()A. a> 4 b. a< 2 c. 2<a<4 d. a 2或 a 4【例9】如果a da2 2a 1 1,那么a的取值范圍是()A. a=0 B. a=1 C. a=0 或 a=1 D. a < 1舉一反三：1、如果a Ja2 6a 9 3成立,那么實數(shù)a的取值范圍是()A.a 0B.a 3;C.a3;D.a 32、假設V(x 3)2 x 3 0,那么x的取值范圍是()(A) x 3(B) x 3(C) x 3(D x 3a 2【

8、例10】化簡二次根式a_ J2的結果是 a(A) : a 2(B)a 2(C). a 2 (D),a 21、把二次根式al 1化簡,正確的結果是, aA. aB.C. . a2、把根號外的因式移到根號內：當 b>0時,x'x x知識點三：最簡二次根式和同類二次根式【知識要點】1、最簡二次根式:1最簡二次根式的定義：被開方數(shù)是整數(shù),因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的數(shù)或因式；分母中不含根號.【例11在根式1 Ja2 b2;2 J;3 Jx2 xy;4j27abc,最簡二次根式是A . 1) 2) B . 3) 4) C . 1) 3) D . 1) 4)解題思路：掌握最簡二次根

9、式的條件.舉一反三:45a, 30,2, 40b2,54,"但2b2中的最簡二次根式是2、卜列根式中,不是 最簡二次根式的是)A. J7B.3、卜列根式不是最簡二次根式的是A.,a2 1B. .2x1,2bC.44、卜列各式中哪些是最簡二次根式,哪些不是為什么,3a2b (2)3ab 22-2(3) x V (4) a b(ab)5(6)8xy12(2)45a2b【例12】以下根式中能與 J3是合并的是A. .8 B. . 27舉一反三:1、以下各組根式中,是可以合并的根式是回曬B、聞J! C、Gb和vab7d、va 1'和 va i次根式：品；姨；I-; 3J27中,能與J

10、3合并的次根式3、如果最簡二次根式 J3a 8與717 2a能夠合并為一個二次根式,那么a=知識點四：二次根式計算一一分母有理化【知識要點】1 .分母有理化定義：把分母中的根號化去,叫做分母有理化.2 .有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘, 如果它們的積不含有二次根式, 就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式. 有理化因式確定方法如下：單項二次根式：禾用.a .a a來確定,如： J0"與JO", ja 與ja b , J a b與Va b等分別互為有理化因式.兩項二次根式：利用平方差公式來確定.如a Jb與a 而,Va Jb與Q Jb , a . x b, y與ax b.、

11、. y分別互為有理化因式.3 .分母有理化的方法與步驟：先將分子、分母化成最簡二次根式；將分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;【例13】把以下各式分母有理化(4)【例14】把以下各式分母有理化【例15】把以下各式分母有理化:(3)3.33 2 2 3小結：一般常見的互為有理化因式有如下幾類:感與血； 活五+典道與愀石一圈石.知識點五：二次根式計算一一二次根式的乘除【知識要點】1 .積的算術平方根的性質：積的算術平方根,等于積中各因式的算術平方根的積.|>/0"=1 而aA0, b02 .二次根式的乘法法那么：兩個因式的算術平方根的積,等于這兩個因式積的算術平方根

12、.7aTb = Tab . (a> 0, b>0)3 .商的算術平方根的性質：商的算術平方根等于被除式的算術平方鏟除以除式的算術平方根Ja =(a>0, b>0)Yb而4.二次根式的除法法那么：兩個數(shù)的算術平方根的商,等于這兩個數(shù)的商的算術平方根.直=叵(a>0, b>0)加Yb注意：乘、除法的運算法那么要靈活運用,在實際運算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊,同時還 要考慮字母的取值范圍,最后把運算結果化成最簡二次根式.【典型例題】【例16】化簡 9 16(2).16 81(4), 9x2y2(x 0, y 0)【例17】計算(1) J36K 256x x【例20能使等式xx 2 ,x2成立的的x的取值范圍是()A、x 2 B、x0 0.0x2 D、無解知識點六：二次根式計算一一二次根式的加減【知識要點】1 .同類二次根式(可合并根式)：幾個二次根式化成最簡二次根式后,如果被開方數(shù)相同,這幾個二次根式就叫做同類二次根式,即可以合并的兩個根式.2 .需要先把二次根式化簡,然后把被開方數(shù)相同的二次根式即同類二次根式的系數(shù)相加減,被開 方數(shù)不變.再把同類二3 .注意：對于二次根式的加減,關鍵是合并同類二次根式,通常是先化成最簡二次根式, 次根式合并.但在化簡二次根式時,二次根式的被開方數(shù)應不含分母,不含能開得盡的因數(shù)【典型