專題18概率(文)(教師版)

1、專題 18 概率高考在考什么【考題回放】1.甲：Ai、A2是互斥事件；乙：Ai、A2是對(duì)立事件，那么(B )A.甲是乙的充分但不必要條件B.甲是乙的必要但不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件2在正方體上任選 3 個(gè)頂點(diǎn)連成三角形， 則所得的三角形是直角非等腰三角形的 概率為(C )1A.72B.-73C.74D.73 .兩部不冋的長(zhǎng)篇小說(shuō)各由第、二、三、四卷組成，每卷1 本，共 8 本將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌?，左?4 本恰好都屬于同一部小說(shuō)的概率是丄(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)354某班有 50 名學(xué)生，其中 15 人選修 A 課程，另外 35 人選修 B 課程從班級(jí)

2、中3任選兩名學(xué)生，他們是選修不同課程的學(xué)生的慨率是.(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)5 .某高校有甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班.其中甲班有 40 人，乙班 50 人.現(xiàn)分析兩個(gè)班的一次考試成績(jī)，算得甲班的平均成績(jī)是90 分，乙班的平均成績(jī)是 81 分,則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績(jī)是85 分.6甲、乙兩臺(tái)機(jī)床相互沒(méi)有影響地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，甲機(jī)床產(chǎn)品的正品率是0.9,乙機(jī)床產(chǎn)品的正品率是 0.95.(I)從甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取 3 件，求其中恰有 2 件正品的概率(用數(shù)字作答)； (H)從甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各任取 1 件，求其中至少有 1 件正品的概率【專家解答】(I) 任取甲機(jī)床的 3 件產(chǎn)品恰有 2

3、件正品的概率為F3(2)二G20.920.1 =0.243.(II)解法一：記 任取甲機(jī)床的 1 件產(chǎn)品是正品”為事件 A ,任取乙機(jī)床的 1 件產(chǎn) 品是正品”為事件 B。則任取甲、乙兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品各 1 件，其中至少有 1 件正品的概 率為P(AB)P(AB) P(AB) =0.9 0.95 0.9 0.05 0.1 0.95=0.995.解法二：運(yùn)用對(duì)立事件的概率公式，所求的概率為：1-P(A.B) =1 -0.1 0.05 = 0.995.高考要考什么【考點(diǎn)透視】等可能性的事件的概率，互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 ,獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).【熱點(diǎn)透析】1. 相互獨(dú)立事件同時(shí)

4、發(fā)生的概率，其關(guān)鍵是利用排列組合的內(nèi)容求解m, n.2. 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其關(guān)鍵是明確概念，用好公式，注意正難則反的思想25突破重難點(diǎn)【范例 1】某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱 5 件，一用戶在購(gòu)進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3 箱，再?gòu)拿肯渲腥我獬鋈?2 件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有 0 件、1 件、 2 件二等品，其余為一等品。(I) 求取 6 件產(chǎn)品中有 1 件產(chǎn)品是二等品的概率。(II)若抽檢的 6 件產(chǎn)品中有 2 件或 2 件以上二等品，用戶就拒絕購(gòu)買這批產(chǎn)品， 求這 批產(chǎn)品被用戶拒絕的概率。解：設(shè)A表示事件 第二箱中取出 i 件二等品” i = 0, 1;B表示事件 第三箱中取出 i

5、件二等品” i= 0, 1, 2；法二：所求的概率為C4C3C2丄C：C；丄C4C；17P2 =P(A B1) P(A)B2) P(A1B2)22222C5C5C5C5C5C5【點(diǎn)晴】本題考查了古典概率，其關(guān)鍵是利用排列組合的方法求出m,【變式】盒中裝著標(biāo)有數(shù)字 1, 2, 3, 4 的卡片各 2 張，從盒中任意任取 張卡片被抽出的可能性都相等，求：(I)抽出的 3 張卡片上最大的數(shù)字是 4 的概率；(I)抽出的 3 張中有 2 張卡片上的數(shù)字是 3 的概念；(川)抽出的 3 張卡片上的數(shù)字互不相同的概率 .(I)3 人都投進(jìn)的概率；(II)3 人中恰有 2 人投進(jìn)的概率.解:(I)記甲投進(jìn)”

6、為事件 Ai,乙投進(jìn)為事件 A2,12(1)依題得P二P(A Bo) P(AoB1)二P(A)P(B) P(Ao)P(E!)2575022C4C3252-法一：所求的概率為B=-P(A0，B0)-R -。2C1225n。3 張，每解：(I)抽出的 3 張卡片上最大的數(shù)字是 4”的事件記為 A ,P(A) -C2C6C2C69(II)抽出的 3 張中有 2 張卡片上的數(shù)字是C3”的事件記為 B，則_14_3_ 28(III )個(gè)數(shù)字相同C8抽出的 3 張卡片上的數(shù)字互不相同”的事件記為 C,抽出的 3 張卡片上有兩C 與 D 是對(duì)立事件，因?yàn)镻(D)二CCTCe-3C8”的事件記為 D，由題意,

7、P(C) =1 _P(D) =1_號(hào)【點(diǎn)晴】注重解題的規(guī)范以及分類、分步計(jì)數(shù)原理的正確使用。1 12, 現(xiàn) 3 人各投籃 1 次,求:所以:【范例 2】甲、乙、丙 3 人投籃，投進(jìn)的概率分別是25丙投進(jìn)為事件 A3,2133k匯=25211則 P(A1)= 2，P(A2)= 1, P(A3)= 1，二 P(A1A2A3)=5233 人都投進(jìn)的概率為(n)設(shè)“人中恰有 2 人投進(jìn)為事件 B2 132132 1319P(B)=P(A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2)=(15 滲為 + 5 *12) + 5 夯 *5)= 50【點(diǎn)睛】已知概率求概率，利用乘法和加法公式解決獨(dú)立、互斥問(wèn)題，必須注

8、意什 么條件用什么公式?！咀兪健磕成虉?chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有 9 個(gè)白球、1 個(gè)紅球的箱 子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，摸出一個(gè)紅球獲得二得獎(jiǎng)；摸出兩個(gè)紅 球獲得一等獎(jiǎng).現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次.求(1) 甲、乙兩人都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率；(2) 甲、兩人中至少有一人獲二等獎(jiǎng)的概率.【點(diǎn)晴】注重方法的多樣性，特別至多、至少等概率問(wèn)題常根據(jù)正難則反的思想,利用對(duì)立事件的概率公式解題。都為 0.6,且參賽同學(xué)的成績(jī)相互之間沒(méi)有影響，求:(1)甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有 1 名同學(xué)成績(jī)及格的概率；(2)甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有 1 名同學(xué)成績(jī)及格的概率.解：(

9、1)甲班參賽同學(xué)恰有1 名同學(xué)成績(jī)及格的概率為C20.6 0.4 =0.48乙班參賽同學(xué)中恰有一名同學(xué)成績(jī)及格的概率為C；匯0.6匯0.4 = 0.48故甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有 1 名同學(xué)成績(jī)幾個(gè)的概率為P = 0.48 0.48二0.2304(n)解法一：甲、乙兩班4 名參賽同學(xué)成績(jī)都不及格的概率為0.44-0.0256,故甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有一名同學(xué)成績(jī)都不及格的概率為P = 0.9744解法二：甲、乙兩班參賽同學(xué)成績(jī)及格的概率為C：0.6 0.4 = 0.1536甲、乙兩班參賽同學(xué)中恰有 2 名同學(xué)成績(jī)及格的概率為C2x0.60.40.3456甲、乙兩班參賽同學(xué)中恰有 3 名同學(xué)

10、成績(jī)及格的概率為C：汶0.62疋0.42= 0.3456甲、乙兩班 4同學(xué)參賽同學(xué)成績(jī)都及格的概率為0.60.1296故甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1 名同學(xué)成績(jī)及格的概率為P = 0.9744 3 人中恰有 2 人投進(jìn)的概率為1950解：(1)RX9-W9-W(2)方法10但丄10 10f fl-l-u u0000O O方法Po2110910101910 102621000方法三:110 10 10 10丿2621000【范例 3】甲、乙兩班各派2 名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽, 參賽同學(xué)成績(jī)及格的概率9 9O O【點(diǎn)晴】n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的使用需注意其條件和含義，本題還涉及對(duì)立事件的概 率公式及加

11、法公式?！咀兪健磕嘲踩a(chǎn)監(jiān)督部門對(duì)5 家小型煤礦進(jìn)行安全檢查(簡(jiǎn)稱安檢).若安檢不合格,則必須進(jìn)行整改.若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，則強(qiáng)行關(guān)閉.設(shè)每家煤礦安檢是否合格是 相互獨(dú)立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5,整改后安檢合格的概率是0.8，計(jì)算(結(jié)果精確到 0.01)：(I)恰好有兩家煤礦必須整改的概率；(n)至少關(guān)閉一家煤礦的概率.解：(I)每家煤礦必須整改的概率是1 0.5,且每家煤礦是否整改是相互獨(dú)立的所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是P1=cl (1 _0.5)20.53= 0.31.16(n)某煤礦被關(guān)閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，所以該煤礦被關(guān)閉的概

12、率是P2=(10.5) (1一0.8) =0.1，從而該煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9 .由題意，每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨(dú)立的，所以至少關(guān)閉一家煤礦的概率是5P3 =1_0.95=0.41【點(diǎn)晴】這是變形轉(zhuǎn)化后的 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的問(wèn)題，首先考慮個(gè)體，即每家煤礦 整改的概率，再解決整體，注意轉(zhuǎn)化問(wèn)題的等價(jià)性。【范例 4】某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案 方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過(guò)； 方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過(guò) 假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別是 0.5, 0.6, 0.9，且三門課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響.求

13、：(I)該應(yīng)聘者用方案一考試通過(guò)的概率；(n)該應(yīng)聘者用方案二考試通過(guò)的概率.解：記該應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的事件分別為A, B,C,則 P(A)=0.5, P(B) = 0.6, P(C)=0.9.(I)應(yīng)聘者用方案一考試通過(guò)的概率P1=P(A B- C)+P(AB C)+P(A - B C)+P(AB C)=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.(n)應(yīng)聘者用方案二考試通過(guò)的概率1111P2= P(A B)+ P(B C)+P(A C)= 0.5 (X6+0.6 (X9+0.5 0.9) =0.433333【點(diǎn)晴】概率源于生活和實(shí)踐，注重題意的理解和實(shí)際問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)換?！?/p>

14、變式】A、B 是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。每個(gè)試 驗(yàn)組由 4只小白鼠組成，其中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后觀察療效。若在一個(gè)試 驗(yàn)組中，服用 A 有效的小白鼠的只數(shù)比服用 B 有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組。設(shè)21每只小白鼠服用 A 有效的概率為一，服用 B 有效的概率為一。32(I)求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；(n)觀察 3 個(gè)試驗(yàn)組， 求這 3 個(gè)試驗(yàn)組中至少有一個(gè)甲類組的概率。解：(1)設(shè) Ai表示事件 一個(gè)試驗(yàn)組中，服用 A 有效的小鼠有 i 只” ,i=0,1,2, Bi表示事件 一個(gè)試驗(yàn)組中，服用B 有效的小鼠有 i 只” ,i=0,1,2,依

15、題有P(A1)=2 影=4 P(A2)=3x|= 4 . P(B0)=2 弓=1 P(B1)=21 41 41 44所求概率為:P=P(BA1)+P(B0A2)+P(B1A2)= 49 + L + 2% = 9436042 2 2(n)所求概率為：P=1 (1 3= 729【點(diǎn)晴】本小題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基 礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力_ 6自我提升1.2.某地區(qū)有 300 家商店，其中大型商店有 30 家，中型商店有 75 家，小型商店有 195 家。為了掌握各商店的營(yíng)業(yè)情況， 要從中抽取一個(gè)容量為 20 的樣本。若采用 分層抽樣的方法

16、，抽取的中型商店數(shù)是(C )(A) 2(B) 3( C) 5(D) 13在一個(gè)口袋中裝有 5 個(gè)白球和 3 個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出 3 個(gè)球，至少摸到2A.-72 個(gè)黑球的概率等于(A )33B.C.-873. 將 7 個(gè)人(含甲、乙)分成三個(gè)組，一組 3 人，另兩組甲、乙分到同一組的概率為p，則 a、p 的值分別為(54A. a=105 p=B.a=105 p=-9D.-282 人，不同的分組數(shù)為 a,A )54C. a=210 p=D. a=210 p=21 21 21 21從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被3整除的概率為(B)/

17、 、19353841(A)( B)( C)(D)54545460在一個(gè)小組中有 8 名女同學(xué)和 4 名男同學(xué)，從中任意地挑選 2 名同學(xué)擔(dān)任交通安全14(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)。33 接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0. 80,現(xiàn)有 5 人接種了該疫苗，至少有3 人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為 094 .(精確到 0. 01)7.甲、乙、丙三人在同一辦公室工作。辦公室只有一部電話機(jī)，設(shè)經(jīng)過(guò)該機(jī)打進(jìn)的1 1 1電話是打給甲、乙、丙的概率依次為、一。若在一段時(shí)間內(nèi)打進(jìn)三個(gè)電話，6324.5.6.宣傳志愿者，那么選到的兩名都是女同學(xué)的概率是且各個(gè)電話相互獨(dú)立。求：(I)這三個(gè)電話是打給同一個(gè)人的概率；(n)這三

18、個(gè)電話中恰有兩個(gè)是打給甲的概率；解(I)由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式和獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式,/13丄/13丄/1、31所求概率為：P=(二)( ) ()-6326115(n)n=3,p= 的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故所求概率為P3(2) = &( )2()6 62 個(gè)白球；68.甲、 乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球， 甲袋裝有 有2 個(gè)紅球，n 個(gè)白球兩甲，乙兩袋中各任取 (I)若n=3，求取到的 4 個(gè)球全是紅球的概率；2 個(gè)紅球,2 個(gè)球.5 72乙袋裝3予 ，求 n.4C2解：(I)記取到的 4 個(gè)球全是紅球”為事件A.p(A)2 -(n)若取到的 4 個(gè)球中至少有 2 個(gè)紅球的概率為C；丄10(II )記 取到的 4 個(gè)球至多有 1 個(gè)紅球”為事件B,取到的C2c；4 個(gè)球只有1_ 60.1 個(gè)紅球”_ 6為事件B,取到的 4 個(gè)球全是白球”為事件B2.由題意，得c2C2OnP(BJ2廠C4Cn -.-2n(n -1)P(B) =1P(B2)314C24cn2CT7211C2C2CnC2