等級(jí)尺度變項(xiàng)間的相關(guān)

1、.社會(huì)統(tǒng)計(jì)關(guān)秉寅袂肅艿薆螈肂莁荿蚄膁肁薄薀膀膃莇衿膀芅薃裊腿蒈蒞螁膈膇蟻蚇膇芀蒄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螇芄膄蚇蚃袁芆蒀蕿袀荿蚆羈衿膈葿襖袈芀螄螀袈莃薇蚆袇蒅莀羅袆膅薅袁羅芇莈螇羄荿薃蚃羃聿莆蠆羂芁螞羇羂莄蒅袃羈蒆蝕蝿羀膆蒃蚅罿羋蚈薁肈莀蒁袀肇肀蚇螆肆膂葿螂肆蒞螅蚈肅蕆薈羆肄膆莁袂肅艿薆螈肂莁荿蚄膁肁薄薀膀膃莇衿膀芅薃裊腿蒈蒞螁膈膇蟻蚇膇芀蒄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螇芄膄蚇蚃袁芆蒀蕿袀荿蚆羈衿膈葿襖袈芀螄螀袈莃薇蚆袇蒅莀羅袆膅薅袁羅芇莈螇羄荿薃蚃羃聿莆蠆羂芁螞羇羂莄蒅袃羈蒆蝕蝿羀膆蒃蚅罿羋蚈薁肈莀蒁袀肇肀蚇螆肆膂葿螂肆蒞螅蚈肅蕆薈羆肄膆莁袂肅艿薆螈肂莁荿蚄膁肁薄薀膀膃莇衿膀芅薃裊腿蒈蒞螁膈膇蟻蚇膇芀蒄羆膆莂蠆

2、袂膅蒄蒂螇芄膄蚇蚃袁芆蒀蕿袀荿蚆羈衿膈葿襖袈芀螄螀袈莃薇蚆袇蒅莀羅袆膅薅袁羅芇莈螇羄荿薃蚃羃聿莆蠆羂芁螞羇羂莄蒅袃羈蒆蝕蝿羀膆蒃蚅罿羋蚈薁肈莀蒁袀肇肀蚇螆肆膂葿螂肆蒞螅蚈肅蕆薈羆肄膆莁袂肅艿薆螈肂莁荿蚄膁肁薄薀膀膃莇衿膀芅薃裊腿蒈蒞螁膈膇蟻蚇膇芀蒄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螇芄膄蚇蚃袁芆蒀蕿袀荿蚆羈衿膈葿襖袈芀螄螀袈莃薇蚆 第十五章等級(jí)尺度變項(xiàng)間的相關(guān)壹、 本單元目標(biāo)1、 計(jì)算及解釋 Gamma (G) 、Somers D、Kendalls tau-b 以及 Spearmans Rho (rs)。2、 以PRE的觀念解釋Gamma。3、 用Gamma及Spearmans Rho來(lái)分析及描述雙變項(xiàng)間的關(guān)係

3、。4、 從事Gamma及Spearmans Rho顯著測(cè)定的工作。貳、前言在一般研究資料中，以等級(jí)尺度來(lái)測(cè)量之變項(xiàng)有兩種型式。其中一種可稱之為連續(xù)等級(jí)資料(continuous ordinal data)。這種型式之資料和interval-ratio的資料相似，亦即此種等級(jí)尺度變項(xiàng)之等級(jí)有很多，幾乎像是連續(xù)性的，如職業(yè)聲望或是由許多指標(biāo)組成的態(tài)度量表，即為這種例子。第二種等級(jí)資料型式可稱之為合併等級(jí)資料(collapsed ordinal data)。這種資料的等級(jí)通常不超過(guò)5或6個(gè)，如高、中、低之等級(jí)，這種資料或是一開始時(shí)就是只用少數(shù)幾個(gè)等級(jí)來(lái)測(cè)量，或是將一連續(xù)性資料之等級(jí)合併而成少數(shù)幾個(gè)等

4、級(jí)。在本章中，我們將只介紹幾個(gè)適合於這兩種等級(jí)資料之相關(guān)量數(shù)。適合合併等級(jí)資料之相關(guān)量數(shù)包括Gamma (G)， Somer's d， 及Kenall's tau-b。適合連續(xù)等級(jí)變項(xiàng)之常用相關(guān)量數(shù)為Spearman's rho (rs)。（在社會(huì)學(xué)研究的實(shí)務(wù)上，我們也經(jīng)常將此種連續(xù)等級(jí)變項(xiàng)，甚至合併等級(jí)變項(xiàng)，當(dāng)成是interval-ration的變項(xiàng)，而用下一章教的相關(guān)量數(shù)如Pearsons r來(lái)處理）等級(jí)尺度變項(xiàng)間之相關(guān)測(cè)量就如同類別尺度變項(xiàng)間之相關(guān)測(cè)量一樣，要注意其量數(shù)之三個(gè)特徵：1、相關(guān)是否存在？2、相關(guān)程度之強(qiáng)弱。3、相關(guān)之趨勢(shì)及方向。參、Gamma (G)在

5、上章中提到了PRE（錯(cuò)誤減少之比例）的觀念。此觀念用在類別變項(xiàng)間相關(guān)之測(cè)量即為L(zhǎng)amda ()。PRE在此情況下的邏輯是以兩種對(duì)應(yīng)變項(xiàng)（Y）次數(shù)分配之預(yù)測(cè)：（1）不用自變項(xiàng)（X）之情況下做的預(yù)測(cè)；（2）利用自變項(xiàng)之訊息來(lái)做預(yù)測(cè)。Lamda是計(jì)算以第二種方式預(yù)測(cè)時(shí)，能減少多少第一種方式預(yù)測(cè)的錯(cuò)誤。將PRE運(yùn)用在等級(jí)尺度變項(xiàng)間之相關(guān)測(cè)量時(shí)，有幾種不同的量數(shù)，其中之一即為Gamma (G)。PRE運(yùn)用在兩等級(jí)尺度變項(xiàng)間之相關(guān)測(cè)量時(shí)，是要預(yù)測(cè)每對(duì)（每?jī)蓚€(gè)）個(gè)案(cases)之相對(duì)等級(jí)在兩個(gè)等級(jí)尺度變項(xiàng)上是否一致。也就是說(shuō)，如個(gè)案A在X這個(gè)等級(jí)尺度變項(xiàng)中是高於個(gè)案B，則我們感興趣的是A，B是否在另一個(gè)等

6、級(jí)變項(xiàng)Y中也有相同之相對(duì)等級(jí)。因此PRE運(yùn)用在兩等級(jí)變項(xiàng)相關(guān)測(cè)量之步驟是：（1）先預(yù)測(cè)每對(duì)個(gè)案在一個(gè)等級(jí)變項(xiàng)（如Y）中之相對(duì)等級(jí)的高低。做預(yù)測(cè)時(shí)是在完全不知此對(duì)個(gè)案在另一等級(jí)變項(xiàng)（如X）之相對(duì)等級(jí)。（2）將此對(duì)個(gè)案在 X 變項(xiàng)中之等級(jí)變項(xiàng)中之相對(duì)等級(jí)考慮進(jìn)去後，再度預(yù)測(cè)它們?cè)?Y 變項(xiàng)中之相對(duì)等級(jí)。如果 X 與 Y 是完全相關(guān)，則在知道 X 變項(xiàng)中每對(duì)個(gè)案之相對(duì)等級(jí)後，也就可毫無(wú)錯(cuò)誤的預(yù)測(cè)它們?cè)?Y 變項(xiàng)之等級(jí)。但如X，Y毫無(wú)相關(guān)，則知道在 X 變項(xiàng)中之相對(duì)等級(jí)，將對(duì)預(yù)測(cè)同一對(duì)個(gè)案在 Y 變項(xiàng)之相對(duì)等級(jí)毫無(wú)幫助，所犯下猜測(cè)之錯(cuò)誤，自不會(huì)因?yàn)橹浪鼈冊(cè)赬變項(xiàng)的情況而減少。反之，當(dāng)兩個(gè)等級(jí)變項(xiàng)為相

7、關(guān)時(shí)，則知道此對(duì)個(gè)案在 X 變項(xiàng)的相對(duì)等級(jí)，應(yīng)該會(huì)減少我們預(yù)測(cè)此對(duì)個(gè)案在 Y 變項(xiàng)所犯的錯(cuò)誤。且相關(guān)越強(qiáng)時(shí)，所犯的錯(cuò)誤會(huì)越少。等級(jí)尺度變項(xiàng)間之相關(guān)量數(shù)Gamma是以0來(lái)表示無(wú)相關(guān)。除了測(cè)量相關(guān)的強(qiáng)弱外，Gamma也顯示相關(guān)的方向性。Gamma是 ±1 來(lái)表示正和負(fù)的完全相關(guān)。正相關(guān)的情況是當(dāng)個(gè)案的相對(duì)等級(jí)在兩個(gè)等級(jí)尺度變項(xiàng)是傾向於相同時(shí)；反之，則為負(fù)相關(guān)。也就是說(shuō)，正相關(guān)是個(gè)案在一個(gè)等級(jí)尺度變項(xiàng)的分?jǐn)?shù)也傾向高時(shí)，在另一等級(jí)尺度變項(xiàng)的分?jǐn)?shù)也高。反之，如果是在一等級(jí)尺度變項(xiàng)的分?jǐn)?shù)高，但在另一等級(jí)尺度變項(xiàng)的分?jǐn)?shù)卻傾向?yàn)榈蜁r(shí)，則為負(fù)相關(guān)。在計(jì)算Gamma時(shí)，要先知道兩等級(jí)尺度變項(xiàng)之交叉表的型

8、式為何，要注意的是兩變項(xiàng)之等級(jí)是如何呈現(xiàn)在表上的，以下表為例，X 變項(xiàng)是由左向右排低、中、高；Y 變項(xiàng)則是由上至下排低、中、高，中間各格則為兩變項(xiàng)等級(jí)之組合。表一X、Y兩等級(jí)尺度變項(xiàng)交叉表型式XY低(Low)中（Moderate）高（High）低 (Low)LLMLHL中 (Moderate)LMMMHM高（High）LHMHHH如果交叉表是如上表之型式，則我們以下列步驟計(jì)算Gamma： 1、 先算出有多少對(duì)個(gè)案在兩變項(xiàng)之相對(duì)且有高低之分的等級(jí)是一致的（即Ns），以及有多少對(duì)在兩變項(xiàng)之相對(duì)且有高低之分的等級(jí)是不一致的（即Nd）。如果一對(duì)個(gè)案在兩個(gè)變項(xiàng)中的一個(gè)變項(xiàng)上是同一等級(jí)而無(wú)法分出高低，就不

9、算入Ns或Nd。以下表為例，我們來(lái)看Ns及Nd如何計(jì)算。下表所示為老師服務(wù)年資長(zhǎng)短及倦怠感之程度高低的交叉表。表二服務(wù)年資及倦怠感交叉表服務(wù)年資倦怠感低(Low)中（Moderate）高（High）合計(jì)低 (Low)20（LL） 6（ML） 4（HL） 30中 (Moderate)10（LM）15（MM） 5（HM） 30高（High） 8（LH）11（MH）21（HH） 40合計(jì)383230100找出Ns之方法是，先從兩變項(xiàng)中等級(jí)最低之格起，即表一中之LL格，在表二此格有20個(gè)個(gè)案。這20人是在服務(wù)年資及倦怠感之等級(jí)都是最低的，然後，我們要找的是其它任何一格中之個(gè)案與此LL格中之個(gè)案的相對(duì)等

10、級(jí)在此兩變數(shù)中是一致的。這些其它格包括了MM、MH、HM、及HH。以MM格中之個(gè)案為例，此MM格中任一個(gè)案都比LL格中之任一個(gè)案在兩變項(xiàng)之相對(duì)等級(jí)為高，而此種配對(duì)可共有(20)(15)=300對(duì)。這300對(duì)就計(jì)入Ns中，而在ML、HL以及LH、LM中之個(gè)案與LL格中之個(gè)案之配對(duì)，因並非是能同時(shí)在兩變項(xiàng)上比出相對(duì)高低之等級(jí)，而是在一變項(xiàng)中同等級(jí)，故不用計(jì)算其配對(duì)數(shù)，也因而對(duì)Ns的計(jì)算無(wú)貢獻(xiàn)。因此，以LL格來(lái)看，只有1831對(duì)可算得上是相對(duì)等級(jí)一致的，由此一步步從ML、LM、MM格計(jì)算相對(duì)等級(jí)一致之對(duì)，總加起來(lái)即成Ns。如果交叉表型式是如表一，則Ns之計(jì)算法即為先將每格之次數(shù)與此格右下方兩變項(xiàng)交集

11、之各格中的次數(shù)的總和相乘。然後重複此運(yùn)算至其它格中，最後將這些乘數(shù)加起來(lái)即得Ns。以此法，則兩變項(xiàng)最高等級(jí)之行與列中之格，都不能計(jì)算乘數(shù)，加入Ns中（這些格以表一為例即LH、MH、HL、HM、HH），因?yàn)檫@些格之下方及右方之交集並無(wú)格。（參見(jiàn)書中P. 365）至於說(shuō)，計(jì)算Nd之過(guò)程，則正好相反，以表一、二為例，我們是先從LH格開始，看那一格與LH格中配對(duì)在兩變項(xiàng)上之相對(duì)等級(jí)是不一致的，以MM格為例，MM格中任一個(gè)案，即與LH格中之任一個(gè)案在兩變項(xiàng)上的相對(duì)等級(jí)不一致。因?yàn)楫?dāng)MM格中之個(gè)案在X變項(xiàng)上低於LH格中之個(gè)案，但在Y變項(xiàng)上是高於LH格之個(gè)案。因此Nd之計(jì)算是先將任何一格之次數(shù)與其,左下方兩

12、變項(xiàng)交集的格的次數(shù)總和相乘。重複此運(yùn)算至其它格，然後將所有乘數(shù)相加即得Nd。（見(jiàn)書中P. 367）2、計(jì)算Gamma 其公式為即為 G 以表二為例，Ns=1831，Nd=499，因此G 0.57 G0.57代表知道每?jī)晌唤處熤曩Y長(zhǎng)短後，再猜測(cè)兩位在倦怠感之相對(duì)等級(jí)時(shí)所犯之猜測(cè)的錯(cuò)誤，會(huì)比當(dāng)我們不知道年資長(zhǎng)短時(shí)所犯之猜測(cè)錯(cuò)誤減少57%。自然，這也就是說(shuō)年資長(zhǎng)短和倦怠感間有正相關(guān)，年資愈長(zhǎng)，倦怠感愈高（什麼時(shí)候G =1或 G =1？）。當(dāng)您看到兩個(gè)等級(jí)尺度變項(xiàng)間之交叉表時(shí)，要注意的是，此表是否和表一型式相同，如果不同，其計(jì)算法則需加以變化。Gamma是一對(duì)稱之相關(guān)量數(shù) (a symmetrica

13、l measure of association)，亦即，不論表中自變項(xiàng)放在行或列，G值都是一樣的，因此如何解釋相關(guān)之趨勢(shì)就非常重要了。如交叉表以表一的方式呈現(xiàn)時(shí)，則變項(xiàng)間關(guān)係為正相關(guān)時(shí)，次數(shù)會(huì)集中在由左上到右下之對(duì)角線的格中。反之，如為負(fù)相關(guān)時(shí)，則次數(shù)會(huì)集中在由右上到左下之對(duì)角線的格中（參見(jiàn)書中P. 369-370，Table 14.3、Table14.5）。在社會(huì)學(xué)研究的實(shí)務(wù)中，要特別注意在等級(jí)尺度變項(xiàng)的過(guò)錄方式，因?yàn)橛袝r(shí)問(wèn)卷答項(xiàng)中等級(jí)高的（如非常符合）是在第一個(gè)答項(xiàng)，有時(shí)則為最後的答項(xiàng)。如為前者的情況，研究者通常將原來(lái)資料過(guò)錄時(shí)的數(shù)值（如非常符合為1）予以重新過(guò)錄，以符合較高等級(jí)要有較高

14、分?jǐn)?shù)的設(shè)計(jì)。Gamma既然為一由樣本所得之描述統(tǒng)計(jì)，因此我們可以以此做假設(shè)測(cè)定，推論至母群，亦即推論母群中是否有此相關(guān)存在，Gamma之假設(shè)測(cè)定的步驟為：步驟一：列出基本假定，確定符合測(cè)定的要求 Model：隨機(jī)抽樣 Level of measurement is ordinal 抽樣分配是常態(tài)當(dāng)樣本數(shù)是大於10時(shí)，我們可以假定所有可能樣本之Gamma 的分配為常態(tài)。步驟二：說(shuō)明虛無(wú)假設(shè)H0：0.0(H1：0.0)為母群之Gamma。步驟三：選出抽樣分配及建立臨界區(qū)抽樣分配Z分配0.05 Z(critical)±1.96步驟四：計(jì)算測(cè)定統(tǒng)計(jì)Z(obtained)G 以表二為例Z(ob

15、tained)0.57 3.36 步驟五：做出決定Z(obtained)Z(critical)，所以拒絕H0。肆、Somer's d 及Kendall's Tau-bSomer's d 及Kendall's Tau-b和Gamma類似，都可以PRE之邏輯來(lái)解釋。Somer's d 和Gamma 不同之處，在於前者之計(jì)算將在依變項(xiàng)中不能分出相對(duì)等級(jí)（即有tie）之對(duì)數(shù)算入，如以表一為例，即為L(zhǎng)L格及LM格中之個(gè)案所成之配對(duì)，亦即在依變項(xiàng)中tied之對(duì)。這些tied的對(duì)（即Ty）的數(shù)目，是每列中之任一格次數(shù)乘以其右方同列其它格之總和，每列如此重複運(yùn)算至其它格

16、，然後將各列如此得之乘數(shù)再相加，以表二之第一列為例，則此列所得之乘數(shù)為(LL)(ML+HL) + (ML)(HL)。此為第一列之乘數(shù)和，再依次算二列的對(duì)數(shù)，即(LM)(MMHM) + (MM)(HM)，以及第三列的對(duì)數(shù)。如此，即可得Ty986（什麼時(shí)候Ty0？又什麼時(shí)候d會(huì)和G一樣？）。Somer's d 之公式為：d 以表二為例 d 0.40 至於Kendall's Tau-b則進(jìn)一步將在自變項(xiàng)中不能分出高低之所有tied的對(duì)加入計(jì)算中，所得之tied的對(duì)數(shù)為Tx。此即每行中任一格次數(shù)乘上其下方其它格之次數(shù)總和，並重複運(yùn)算至其它格，再將各行如此所得之乘數(shù)加起來(lái)即得。以表二第一

17、行為例，即(LL)(LM+LH)+(LM)(LH)，如此再計(jì)算二、三行，再加這些行如此得到之乘數(shù)相加，即得Tx970。而Kendall's Tau-b之公式為Tau-b 以表二為例 Tau-b 0.40 Somer's d 及Kendall's Tau-b都可以PRE之邏輯來(lái)解釋。（d0.40及Tau-b0.40之意義為何？）（又什麼時(shí)候Somer's d 和Kendall's Tau-b會(huì)一樣？）Somer's d為不對(duì)稱之量數(shù)，即當(dāng)X和Y變數(shù)之位置在交叉表中對(duì)調(diào)，其值可能會(huì)改變。而Kendall's Tau-b是一對(duì)稱之相關(guān)量數(shù)，但是

18、此量數(shù)只有在X與Y之等級(jí)數(shù)目是相同（即行及列之?dāng)?shù)目相同），才可能會(huì)達(dá)到±1之最大及最小值（±1是何意義？）。因此，當(dāng)行列之?dāng)?shù)目不等時(shí)，最好不要用Tau-b。由公式可知在同一交叉表之次數(shù)分配下，Somer's d 可能會(huì)較Gamma 小 ，而Kendall's Tau-b 又可能會(huì)較Somer's d為小。因此當(dāng)您很清楚何者是自變項(xiàng)及應(yīng)變項(xiàng)時(shí)，您應(yīng)選擇Somer's d或Kendall's Tau-b，因?yàn)樗鼈冞\(yùn)用較多之資訊。一般說(shuō)來(lái)，這三者所得之結(jié)果應(yīng)差不多。伍、Spearman's Rho (rs)上面所討論的三個(gè)相關(guān)量數(shù)是

19、用在資料為合併等級(jí)之情況。雖然將等級(jí)合併有其優(yōu)點(diǎn)，但是資料若原本是有相當(dāng)多等級(jí)，則合併後有些訊息便會(huì)消失，不能充分被利用，一些個(gè)案間的差異也就因此而無(wú)法查出。因此當(dāng)?shù)燃?jí)有許多，且很少有ties的情況下，我們可用適合於此種資料的Spearman's Rho來(lái)測(cè)量相關(guān)。計(jì)算Spearman's Rho時(shí)，先將個(gè)案每一變項(xiàng)之分?jǐn)?shù)由高往低排，最高分之為第一等。然後Spearman's Rho之計(jì)算是以排列出之等級(jí)為資料來(lái)計(jì)算（見(jiàn)書中P. 377之Table 14.10及Table 14.11之例）。如果一變項(xiàng)中兩個(gè)案之等級(jí)數(shù)是相同，則我們可將這兩分?jǐn)?shù)本來(lái)應(yīng)用之兩個(gè)連續(xù)等級(jí)相加後

20、除二（如果有三個(gè)等級(jí)分?jǐn)?shù)相同時(shí)，該如何辦？）排出兩變項(xiàng)各分?jǐn)?shù)之等級(jí)後，先求每個(gè)案之兩變項(xiàng)等級(jí)之差距，然後將差距平方。而Spearman's Rho之公式為rs1 D2為兩變項(xiàng)等級(jí)差距之平方的和。Spearman's Rho也是在±1之間，0為無(wú)相關(guān)之意，其值是為相對(duì)的，但如將 rs 平方則可用PRE之邏輯來(lái)解釋。Spearman's Rho也可用來(lái)做假設(shè)測(cè)定，其步驟如下：步驟一：Model：Random Sampling Level of Measurement is ordinal Sampling distribution is normal當(dāng)樣本數(shù)大於10時(shí)，rs 的抽樣分配是趨近 t 分配。步驟二：H0：s0.00 (H1：s0.00) s為在母群之相關(guān)值。（H0是何意義？）步驟三：Sampling distributiont distribution 0.05 d.f.N2 t(critical)±2.306步驟四： t(obtained)rs 步驟五：比較t(obtained)及t(critical)，做出決定。 陸、由機(jī)率的觀點(diǎn)來(lái)看Gamma先前討論Gamma做為一兩等級(jí)尺度變項(xiàng)間相關(guān)量數(shù)的意義時(shí)，是用PRE之邏輯，Gamma之意義也可由機(jī)率之觀點(diǎn)來(lái)看。由於 ，因此p(same order