余弦定理的證明方法大全共十法精編版

1、最新資料推薦余弦定理的證實方法大全共十法一、余弦定理余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦 的積的兩倍,即在 MBC中,AB=c, BC=a, CA = b,那么有asin A sin B sinC sin( A B) =b2 c2 -2bccosA,b2 = c2 a2 - 2ca cosB, c2 = a2 b2 -2abcosC .、定理證實為了表達(dá)的方便與統(tǒng)一,我們證實以下問題即可在 AABC 中, AB=c, AC=b,及角 A,求證：a2 = b2+c2 2bccosA.證法一：如圖1,在AABC中,由CB = AB-AC可得:T T T TC

2、B CB =(AB -AC) (AB - AC)T2-»2 T -*二AB AC -2AB AC,22=b c -2bccosA即,a2 = b2 c2 - 2bc cos A.證法二：本方法要注意對/A進(jìn)行討論.(1)當(dāng) /A 是直角時,由 b2 +c2 -2bccos A =b2 +c2 2bccos90 0 = b2 +c2 = a2 知結(jié)論成立.當(dāng)/A是銳角時,如圖2-1,過點C作CD _L AB,交AB于點D,那么在 RtMCD 中,AD =bcosA, CD =bsin A.D圖2-1B從而,BD = AB-AD =c-bcosA.在RtABCD中,由勾股定理可得：一 2

3、2 一 2BC -BD CD最新資料推薦點D就與點B重合；假設(shè)/B是鈍角,圖中的點D就在AB的延長線上.(3)當(dāng)/A是鈍角時,如圖2-2,過點C作CD _L AB ,交BA延長線于點D ,那么 在 RtMCD 中,AD =bcos(n A) = bcosA, CD =bsin(n A)= bsin A.從而,BD = AB AD =c-bcosA.在RtABCD中,由勾股定理可得：222BC = BD CD= (c-bcosA)2 (bsin A)222=c - 2cbcos A b即,a2 =b2 c2 -2bccosA.綜上(1),(2),(3) 可知,均有 a2 = b2 +c2 -2b

4、ccos A成立.證法三：過點A作AD _L BC ,交BC于點D ,那么 在 RtAABD 中,sina =BD, cos"=能. 在 Rt ACD 中,sin =CD , cos '二個.由 cos A =cos(a + P) =cosa cos P -since sin P 可得:_ _2A AD AD BD CD AD - BD CDcos A =二c b c bbc2AD2 -2BD CD c2 -BD2 b2 -CD2 -2BD CD - 2bc -2bcb2 c2 -(BD CD)2 b2 c2 - a22bc2bc整理可得 a2 =b2 ' c2 -2

5、bccosA.證法四：在AABC中,由正弦定理可得a _ b _ c _ c從而有 bsin A = asin B ,csin A = asin(A + B) = asin AcosB + a cos Asin B . 將帶入,整理可得acosB = c-bcosA將,平方相加可得 a2 = (c -bcos A)2 +(bsin A)2 =b2 +c2 -2bccos A .即,a .:= 2 -2cos A=2-2cos(B C )cos( B - C) - 4sin B sin C cos A由于 cos(B +C) =cos(n -A) = -cosA,因此 2 .二 cos A =c

6、os(B C )cos( B - C) 2sin B sin C cos A:二 cosA = -cos(B -C) 2sin Bsin Cu cos A =-cosBcosC+sin Bsin C =-cos(B+C).這,顯然成立. = b2 c2 -2bc cos A.證法五：建立平面直角坐標(biāo)系(如圖4),那么由題意可得 點A(0,0) , B(c,0) , C(bcosA,bsinA),再由兩點間距離公式 可得 a2 = (c-bcosA)2 (bsin A)2 = c2 -2cb cos A b2.即,a2 = b2 c2 - 2bc cos A.證法六：在AABC中,由正弦定理可得

7、a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC .于是,a2 =4R2sin2 A =4R2sin2(B C)-2,2r 2c2r .2c c . r . c r c、=4R (sin Bcos C cos Bsin C 2sin Bsin CcosBcosC)". 2222=4R (sin B sin C-2sin Bsin C 2sin Bsin C cosBcosC)=4R2(sin2B sin2C 2sin BsinCcos(B C)_2.2_.2_、=4R (sin B sin C -2sin Bsin C cos A)_2 _2 _二 (2RsinB

8、) (2RsinC) -2(2Rsin B)(2 Rsin B)cos A,22=b c -2bccosA即,結(jié)論成立.證法七：在AABC中,由正弦定理可得a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC.于是,a2 =b2 c2 -2bccosA_2 , 2 ,_2 . 2 _2 , 2 2 . _ . _.=4R sin A = 4R sin B 4R sin C -8R sin Bsin C cosA2222sin A =2sin B 2sin C -4sin BsinCcosA2.:二 2sin A=2-cos2B cos2C.4sin Bsin C cos A最新

9、資料推薦即,結(jié)論成立.證法八：如圖5,以點C為圓心,以CA= b為半徑作C ,直線BC與1C交于點D,E ,延長GA圖5AB交L C于F ,延長AC交L C于G .那么由作圖過程知AF = 2bcosA ,故 BF =2bcosA -c.由相交弦定理可得：BABF =BD BE,即,c (2b cos A -c) = (b a) (b -a),整理可得：a2 =b2 , c2 -2bccosA.證法九：如圖6,過C作CD / AB,交AABC的外接圓于D,那么AD = BC=a, BD = AC=b.分別過C,D作AB的垂線,垂足分別為E,F ,那么AE = BF =bcosA,故CD = c-2bcosA.圖6由托勒密定理可得 AD BC = AB CD - AC BD ,即,a a = c (c -2b cos A) b b .整理可得：a2 = b2 c2 - 2bc cos A.整理可得：a2 = b2 c2 - 2bc cos A.圖7-2證法十：由圖 7-1 和圖 7-2 可得 a2 = (c -bcos A)2 +(bsin A)2,余弦定理的證實方法還有很多,比方可以用物理方法證實