熵隨機共振中的邊界尺寸效應

1、本科生畢業(yè)論文題目：熵隨機共振的邊界尺寸效應研究學院: 物理科學技術學院學生: 刁家蕾學號: 20121050190專業(yè): 應用物理學指導教師：杜魯春2016年4月29日目 錄摘要2關鍵詞2Abstract.3Key Words3引言4第一章（熵隨機共振理論背景）-5第二章（功率譜增益與噪聲強度的關系）11結論14參考文獻15致謝16熵隨機共振的邊界尺寸效應研究摘 要：隨機共振就是以隨機非線性微分方程為數學模型，研究物理系統(tǒng)輸出與噪聲、系統(tǒng)參數以及激勵信號之間非單調性的一種非線性現象。熵隨機共振現象是當布朗粒子在有限空間受到周期力作用時由噪聲引起的非線性現象。有的科學家研究過不對稱二分噪聲、白

2、噪聲和方波有限熵下系統(tǒng)中的隨機共振現象。在絕熱近似條件下，可以獲得輸出信噪比的表達式。本文主要講述了受外部信號驅動的布朗粒子在幾何受限結構中的隨機共振現象，因為它不是在傳統(tǒng)的雙穩(wěn)勢阱中而是由所處空間的不均勻導致的熵域下產生的，也就是熵隨機共振現象。推導了rk(D)= G (sinhG(b+2)D·2sinh Gb D sinh²G(b+2)2D；還分析了縱橫比，驅動頻率，瓶頸寬度b不同時，功率譜增益與噪聲強度的依賴關系的變化。關 鍵 詞：隨機共振，勢阱，受限系統(tǒng)，信噪比The boundary of the entropy of stochastic resonance s

3、ize effect researchAbstract: Stochastic resonance is in a random mathematical model of nonlinear differential equations to study physics, system parameters and the system output and noise excitation signal between the monotonicity of a nonlinear phenomenon. Entropy phenomenon of stochastic reso

4、nance is when a Brownian particle in a limited space by periodic force is caused by the noise of nonlinear phenomenon. Studied in asymmetric dichotomous noise, white noise and square-wave limited entropy in the system under stochastic resonance phenomenon. Under the condition of adiabatic approximat

5、ion, the expression of the output signal-to-noise ratio can be obtained. This article mainly tells the story of Brownian particles driven by external signal in stochastic resonance phenomenon in geometric constrained structures, because it is not in traditional bistable potential well but is caused

6、by the uneven space domain of entropy, the entropy phenomenon of stochastic resonance. Back to the rk(D)= G (sinhG(b+2)D·2sinh Gb D sinh²G(b+2)2D，Analyzes the epsilon, , b influence on eta, and changes in graphics.Key Words: Stochastic resonance, potential well, the limited system, signal-

7、to-noise ratio引言20世紀初，朗之萬(P. Langin)在研究布朗運動時，在描述布朗粒子的牛頓運動方程中引入了隨機力(噪聲)，用來表示種漲落很快、引起粒子無規(guī)則運動的力。這是第一次在物理學中使用隨機微分方程，其后在非平衡統(tǒng)計物理中被廣泛應用。隨機共振的概念是由意大利物理學家 Roberto Benz、美國物理學家 Alfonso Sutera 和意大利物理學家 Angelo Vulpoiani 等人1981年在研究古氣象冰川問題時提出的。他們利用隨機共振概念創(chuàng)造性地對第四紀冰川發(fā)生的現象做出了科學圓滿的解釋。他們認為古氣象冰川期和暖和期以大約10萬年為一周期交替出現，而地球繞太

8、陽轉動的偏心率的變化周期也大約為10萬年。這一變化意味著太陽對地球施加了周期變化的信號。然而，這一周期信號很小，本身不足以產生地球氣候從冰川到暖和期的如此大幅度的變化（粗糙估計的變化幅度為 1Co 量級，實際變化幅度為10Co量級）Roberto Benzi 等人提出的氣候模型認為:地球處于非線性條件下，這種條件使地球可能取冷態(tài)（冰川態(tài)）和暖態(tài)兩種狀態(tài)。地球偏心率的周期變化使氣候有可能在這兩種態(tài)之間變動，而地球所受的噪聲（比如太陽常數的無規(guī)律變化）大大提高了小的周期信號對非線性系統(tǒng)的調制能力。他們把這種引起地球古氣象大幅度周期變動的現象稱為“隨機共振”。 目前，人們從更多的物理現象和工程應用中

9、去研究隨機共振。按照所研究的數學模型，可以分為線性模型和非線性模型兩大類。在線性模型隨機共振研究方面，A.V.Barzykin、V.Berdichevsky，M. Gitterman等基于線性系統(tǒng)理論，深入研究了乘性噪聲和加性噪聲作用下一階、二階線性模型統(tǒng)隨機共振行為。如果隨機力(噪聲)強度很小，人們或許會認為，這種隨機力對宏觀運動的影響也是很小的，而且可以被看成是消極的干擾。然而，本世紀 70年代以來的非線性科學和統(tǒng)計物理的最新發(fā)展告訴我們，一個小的隨機力并不僅僅是對原有的確定性方程的結果產生微小的改變，在一定的非線性條件下，它還可以對系統(tǒng)的演化起決定性的作用。這種隨機干擾在一定的條件下，會

10、產生相干運動，對“序”的建立起到了建設性的創(chuàng)造作用。其中最典型的就是“隨機共振”現象。在一定的條件下增加系統(tǒng)輸入的噪聲，會導致輸出的信號的增加，降低噪聲的輸出，即增加輸入的無序反而使系統(tǒng)的輸出更加有序。這就是“隨機共振”效應。第一章 熵隨機共振理論背景 19世紀二十年代，布朗用顯微鏡觀察到漂浮在水面上的花粉時發(fā)現了它在無規(guī)則的運動著，這就是后來的布朗運動。之后，愛因斯坦通過建立了布朗運動的統(tǒng)計理論推動了漲落理論的發(fā)展，所以，后來就發(fā)展了很多關于隨機漲落或者以噪聲為背景的各類研究，最后形成了隨機動力學。近年來，非線性科學的不斷發(fā)展，尤其是混沌，隨機共振理論的提出，為弱信號檢測開創(chuàng)了新的思路?；?/p>

11、混沌理論的弱信號檢測方法是利用混沌振子對同頻信號具有極強的敏感性和對高斯白噪聲極強的免疫能力來實現的。隨機共振理論的獨特之處在于：傳統(tǒng)信號檢測方法，都是想方設法來抑制噪聲，認為它是有害的；而隨機共振理論恰恰是利用噪聲信號的能量，是一種變廢為寶的新方法。隨后，噪聲也慢慢被人們接受且被利用起來，它不再是消極和雜亂的，科學家們已經在逐漸的發(fā)掘出它有益一面。在傳統(tǒng)的布朗運動描述中，粒子的運動和擴散是自由的，但如果粒子是在勢阱中運動，那粒子的擴散，運輸等性質跟在自由狀態(tài)下是完全不一樣的，這就是隨機共振。如圖1，是布朗粒子在幾何受限系統(tǒng)中的運動軌跡，這里縱橫比=14，縱向力G=1，往返驅動力F=10-4。

12、圖1 布朗粒子在幾何受限體中的運動軌跡 因為粒子在幾何受限結構中，豎直方向上會有重力G ,水平方向上還有驅動粒子往返運動的力F(t)，并且環(huán)境滿足阻尼條件，所以其動力學方程可以用以下郎之萬方程表示： drdt =GeY-F(t)eX+( kBT)1/2（t） 方程的邊界函數即二維結構的上，下腔壁函數可以表示為： 𝛚l(x)=-𝛚u(x)=Ly(XLZ)4-2Ly(XLZ)²- b2 其中長度單位用特征長度Lz來測量，時間都用=L2KbT測量，得到 drdt =-G-F(t)+D(t) 其中D為噪聲強度， 𝛚l(x)=-𝛚

13、u(x) = - (x)=-x4+2x2-b2 用Matlab操作后得到如下圖（x（-1.42，1.42）： 圖2 熵隨機共振模型在缺乏時間應用偏差時，Ft=0，被粗化的描述所示,朗之萬方程可以簡化為一個有效的和實驗所得到一維動力學方程,閱讀無量綱形式 P(x,t)t=xDPX+ V´(x,D)P 在某種情勢下，V(x,D)=-Dln2DG sinhGw(x)D 和主要指的是對x的導數。即 V(x,D)=-Dln2DG sinhGw(x)DV´(x,D)=-D 12DG sinhGw(x)D·2DG coshGw(x)D·GD·w´(

14、x) = -Gw´(x)coshGw(x)DsinhGw(x)DV(x,D)= -Gw´xcoshGwxD´sinGwxD-Gw´xcoshGwxDsin´GwxDsinh²Gw(x)D=-GwxcoshGwxD+Gw´xsinhGwxD·GDw´x·sinhGwxDsinh²Gw(x)D+Gw´xcoshGwxDcoshGwxD·GDw´(x)sinh²Gw(x)D=-GwxcoshGwxD·sinhGwxD-Gw´x2Ds

15、inh2GwxD+Gw´x2Dcosh²GwxDsinh²Gw(x)D=-Gwx2sinh2GwxD+Gw´x2Dsinh²Gw(x)D 方程描述了布朗粒子的運動在一個雙穩(wěn)態(tài)下的自然的潛力。值得注意的是,有效勢不僅取決于重力G的積極貢獻,而且溫度和幾何結構也以一種非凡的方式影響著它。一個有趣的分析是：在兩個限制的情況下可以獲得在不同比率的橫向力值和相關的能源熱能，對于能量主導的情況,比如一個限制Gw(x)D«1，收益率V(x)=-G w(x) (忽略無關的常數),因此恢復老傳統(tǒng)能源控制SR。相反的限制,即Gw(x)D»1,對

16、應的熵的勢函數讀取V(x,D)=-Dln2 w(x) 指導分析隨機共振的發(fā)生在兩個狀態(tài)背景下近似，過阻尼克雷默斯率給出：對于在熱噪聲的存在下和在缺乏力量的情況下,一個潛在的勢壘高度為V的過阻尼的布朗粒子的V(x)布朗粒子從一個勢阱逃離到到另一個勢阱,閱讀無量綱形式 Rk(D)= (VXmin·| V(Xmax)|) · exp（-VD） 2 V是有效勢函數的二階導數,Xmax和Xmin分別指示的位置最大和最小的潛力。公式給出了潛在的力量，而形狀由公式定義 ,相應的克雷默斯率轉換從一個勢阱到另一個勢阱,由上面兩式得到， 對稱雙勢阱中隨機共振現象示意圖： -w(x)= x4-2

17、x2-b2 w(x)=-x4+2x2+b2 w´(x)=-4x3+4x w(x)=-12x2+4 由上圖得：Xmax=0時，Xmin=±1由V(x,D)= -Gwx2sinh2GwxD+Gw´x2Dsinh²Gw(x)D V(Xmax)= -Gw02sinh2Gw0D+Gw´02Dsinh²Gw(0)D = -G·42sinh2G·b2D+0sinh²G·b2D = -2G·sinh Gb Dsinh² Gb2D | V(Xmax)|= 2G·sinh Gb Dsi

18、nh² Gb2D V(Xmin)= -Gw±12sinh2Gw±1D+Gw´±12Dsinh²Gw(±1)D = -G·(-8)2sinh2G(b2+)D+0sinh²2G(b2+)D =4G·sinhG(b+2)Dsinh²G(b+2)2D exp（-VD） V(x,D)=-Dln2DG sinhGw(x)D u(x)= 2DG sinhGw(x)DV= V(Xmax )- V(Xmin) = -Dlnu(Xmax )+Dlnu(Xmin) = -Dlnu(Xmax )- lnu(X

19、min) = -Dlnu(Xmax )u(Xmin) exp（-VD）= expDlnu(Xmax )u(Xmin)D = explnu(Xmax )u(Xmin) = u(Xmax )u(Xmin)= 2DsinhGw(Xmax)DG·G2DsinhGw(Xmin)D=2DsinhG·b2D2DsinhG(+b2)D = sinhG·b2DsinhG(2+b)2D rk(D)= (VXmin·| V(Xmax)|) · exp（-VD） 2 =1 24G·sinhG(b+2)Dsinh²G(b+2)2D·2G&#

20、183;sinh Gb Dsinh² Gb2D ·sinhG·b2DsinhG(2+b)2D =1 22G(sinhG(b+2)D·2sinh Gb D sinhG(b+2)2D·sinh Gb2D ·sinhG·b2DsinhG(2+b)2D =G (sinhG(b+2)D·2sinh Gb D sinh²G(b+2)2D在無量綱單位 rk(D)= G (sinhG(b+2)D·2sinh Gb D sinh²G(b+2)2D 其中，rk是克萊默斯(Kranmers)逃逸速率,是縱橫

21、比，是驅動頻率， b是瓶頸寬度。由式可知，逃逸速率rk取決于噪聲強度D，即系統(tǒng)的響應受噪聲強度的控制，它首先隨D的增大而到達一個極大值，然后再減小，這就是著名的隨機共振現象。第二章 功率譜增益與噪聲強度的關系在光譜放大的時候可以檢測到發(fā)生隨機共振。它是由功率的比值定義存儲在系統(tǒng)的響應頻率及電源的驅動信號,并定期為之驅動的兩個狀態(tài)模型。在無量綱單位中，功率譜增益 =1 D²4R²k(D) 4R2kD+²接下來我們將演示發(fā)生共振的光譜放大信號的隨機共振現象。我們證明ESR（隨機共振現象）既不是兩個近似的特點也不是用于推導出有效的一維動力學方程平衡的假設。為了研究隨機共

22、振的外觀我們分析系統(tǒng)應用正弦信號的響應光譜放大。存在的振蕩力F(t)在x方向上有一個額外的貢獻在公式的有效的潛力。在長期限制這種平均值方法驅動的周期性與角頻率。之后傅里葉展開式X(t)發(fā)現振幅M1的第一輸出信號的諧波。因此,基本的光譜放大振蕩寫道:圖3中的-D曲線是通過設定縱向力G=1,縱橫比=0.25, 瓶頸寬度b=0.02,驅動頻率分別取0.01;0.001;0.0001的情況下所得到的圖像。由圖可明顯看出，隨機共振峰值隨的增大而減小，同時，我們也可看出曲線在D=0.12后趨于重合。 圖3 不同頻率周期信號作用下與D的依賴關系在無量綱單位,依賴光譜放大的噪聲級D對不同驅動頻率,可以看出在不

23、同頻率的外部信號驅動下總存在一個最佳的噪聲強度使系統(tǒng)的功率譜增益最大，說明系統(tǒng)存在隨機共振現象。圖4中-D曲線是通過設定縱向力G=1,縱橫比=0.25,驅動頻率=0.01時，瓶頸寬度b分別取0.02;0.04;0.06的情況下所得到的曲線。由圖可明顯看出，共振峰值隨b的增大而增大，同時，曲線是在D取0.04-0.14之間才開始有變化的，且都是在D=0.08左右達到峰值的線的趨勢都比較相似。 圖4 不同瓶頸寬度b對圖形的影響圖5中-D曲線是通過設定縱向力G=1 ,驅動頻率=0.01 ,瓶頸寬度b=0.02，縱橫比分別取0.25；0.45；0.65，由圖可明顯看出，共振峰值隨的增大而降低，同時，我

24、們也可看出共振峰的位置略微向左移動，在D=0.25后趨于重合。 圖5 不同縱橫比對圖形的影響結論本文是對熵隨機共振的邊界尺寸效應的研究。熵隨機共振受外部信號驅動的布朗粒子在幾何受限結構中的隨機共振現象，因為它不是在傳統(tǒng)的雙穩(wěn)勢阱中而是由所處空間的不均勻導致的熵域下產生的，所以它的粒子在運動的時候也跟在雙穩(wěn)態(tài)勢阱中的不一樣。熵隨機共振的機理在于能域和熵域的共同作用而造成的。在文章中也計算出rk(D)= G (sinhG(b+2)D·2sinh Gb D sinh²G(b+2)2D；也推導出功率譜增益與噪聲強度的關系 =1 D²4R²k(D) 4R2kD+&

25、#178;。我還發(fā)現在熵隨機共振現象中，通過調控系統(tǒng)的幾何結構和外部參數，可以觀察到功率譜增益與噪聲強度的關系變化，從Matlab操作中得出縱橫比,驅動頻率,瓶頸寬度b對功率譜增益與噪聲強度的依賴關系的變化的影響：縱橫比越大峰值越低；瓶頸寬度b越大峰值越高；驅動頻率越小峰值越高。參考文獻1.Liu L, Wu D J 2009 College Physics 16 28 (in Chinese)2.Zhang L Y, Cao L 2010Chin .Phys. Lett. 27 0605043.Fulinski A, Gora P F 2000 Journal of statistical

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