2019版高考數學一輪復習第8章平面解析幾何8.6雙曲線學案文

1、8. 6 雙曲線L考綱解讀沖握収曲竣的定義、見何圖稱和標準方程知ifi其簡單的幾何性履(也優(yōu)對稱也頂點、離社率,2坪購fl.細-用刪城.汽關孫的劌斷”井腿求解習収冊線冇史帕箭單間尷-理昭獨形姑合思4!翩決問 題中的應用.考向預測從近三年離鈿況來看,本講是島垮巾啲熱點.預測2019年島普考孫1堪曲敎定更的應用與標準fl片程的求解；：漸近線方裡耳離心率的求解一試題氐霽觀削的幣式呈現(xiàn)，以屮檔題為主一H基礎知識過關知識梳理1雙曲線的定義平面內與兩個定點Fi,F2(|F1F2I = 2c0)的距離的差的絕對值為常數(小于|FIF2|且不等 于零)的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的

2、距離叫做雙曲線 的焦距.集合P= MilMF1 - |MI21| = 2a , IF1F2I = 2c,其中a,c為常數且a0,c0：(1) 當ac_時，P點不存在.2.雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程2 2x?y=1(a0,b0)a b2 2y x-2 72 =1(a0,b0)a b2標準方程2 2龍 19乎丄a b(0 J;0)2 2 y一=i / b2(a0+60)性質范圍對稱性頂點或aR1匕穴一&或ya對稱軸：坐標軸 對稱中心原點A(u,0),A3(u ,0)Aj (0t u), Az(0,u)隹占F ( c * 0) 0 ,c*0)3.必記結論(1)焦點到漸近線的距離為b.

3、等軸雙曲線：實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫等軸雙曲線，其方程可寫作：x2y2=入(入工 0).(3)等軸雙曲線？離心率e=2?兩條漸近線y=x相互垂直.診斷自測1概念思辨3(1)平面內到點Fi(0,4) ,F2(0, 4)距離之差等于 6 的點的軌跡是雙曲線.()42 2 2 2xvx yx y雙曲線方程mn=入(mo,no,入工 0)的漸近線方程是m=o,即m士a=o.()(3)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于2.()2 2 2 2 “x y, y x1右雙曲線g b2= 1(a0,b0)與b孑=1(a0,b0)的離心率分別是ei,e2,貝Vg+12= 1(此結論中兩條雙曲線為共軛雙曲線

4、)()e2答案X(2)V(3)VV2.教材衍化22 2(1)(選修 A1 1P53T3)已知橢圓x+y= 1 和雙曲線 名一y2= 1 有公共的焦點，那么雙曲線85m的漸近線方程是(Cx=y答案 D2 2 2解析 由橢圓彳+y5 = 1 和雙曲線 倉y2= 1 有公共的焦點，得 1 = 8 5.所以m= 2,所以雙曲線方程為 | y2= 1,所以雙曲線的漸近線方程為y=#x.故選 D.(2)(選修 A1 1P51例 3)已知中心在原點，焦點在y軸的雙曲線的漸近線方程為y=x,則此雙曲線的離心率為 _ .答案 .51a1解析 因為焦點在y軸的雙曲線的漸近線方程為y= qx,所以b= 2 即b=

5、2a.由c22=a2+b2,得c2=a2+ 4a2= 5a2，即C2= 5，所以e=C= ,5.aa3.小題熱身2 2(1)(2014 全國卷 I )已知F為雙曲線C：xmy= 3n( m0)的一個焦點，則點F到C的 一條漸近線的距離為()A.3B. 3C. 3mD. 3m答案 A2 2解析由題意知，雙曲線的標準方程為3m 3 = 1，其中a2= 3m b2= 3，故c=寸a2+b2=. 3 仲 3,不妨設F為雙曲線的右焦點，故F( 3m+ 3, 0).其中一條漸近線的方程為y=A. x =3TyB.y=D. y=#x5E上，AB, CD的中點為E的兩個焦點，且 2|AB= 3|BC|，貝U

6、E的離心率是 答案 22b1 2解析 由已知得|AB= |CD=a, |BC= |AD= |尸冋=2c.a利用雙曲線定義得到 |PF+ IPA= 2a+ |PB+|PA，再利用|PA+1PB1AB求出最小值.答案 B2 2解析由題意知，雙曲線X 1y2= 1 的左焦點F的坐標為（一 4,0）,設雙曲線的右焦點為B,貝yB(4,0),由雙曲線的定義知 |PF+ |PA= 4 + |PB+ |PA4+ |AB= 4 + .4 12+ 0 42= 4 + 5 = 9,當且僅當A,P,B三點共線且P在 A,B之間時取等號. |PF+ |PA的最小值為 9.故選 B.典例2（2018 河北邯鄲模擬）設動

7、圓C與兩圓C: （x+ Q5）2+y2= 4,C2： （x擊）2+y2= 4 中的一個內切，另一個外切，則動圓圓心C的軌跡方程為 _即xmy=0,由點到直線的距離公式可得故選 A.（2016 山東高考）已知雙曲線 E:=1(a0,b0).若矩形ABCD勺四個頂點在161又b=ca，所以 2e 3e 2=0，解得e= 2 或e= (舍去).雙曲線的定義及應用2 2（2017 湖北武漢調研）若雙曲線X12= 1 的左焦點為F,點P是雙曲線右支B. 9D. 12心的距離之差，然后用定義法求解.2答案xy2= 1解析 設圓C的圓心C的坐標為（x,y），半徑為r,由題設知r2,或 2 =2,IIcq=r

8、+ 2,因為 2|AB= 3|BQ，所以4b26c,厲注點疥根據圓與圓相切關系求動圓圓心到兩個定圓圓題型 1典例 1上的動點，A（1,4），則|PF| + |PA的最小值是（A. 8C. 10于是有| CC| =r+ 2,|CG| =r 27 |CC| |CC| = 4v25=|CG| ,即圓心C的軌跡L是以C, G 為焦點，4 為實軸長的雙曲線，2叫-y2=1.方法技巧i “焦點三角形”中常用到的知識點及技巧(1) 常用知識點：在“焦點三角形”中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義經常使用.(2) 技巧：經常結合|PF| - |PF2| = 2a,運用平方的方法，建立它與|PF| PF2|的聯(lián)

9、系.2應用雙曲線定義需注意的問題(1) 在雙曲線的定義中一是不能漏掉“絕對值”，否則軌跡是雙曲線的一支；二是“常 數”小于|FiR|，否則軌跡是線段或不存在.(2) 求雙曲線方程時，注意用標準形式.沖關針對訓練2 2x y1. (2017 衡水模擬)已知ABP的頂點A,B分別為雙曲線C:花一專=1 的左、右焦點,2 22.已知雙曲線 16 9 = 1 上有一點 P，F(xiàn)1,F2是雙曲線的焦點,的面積為_ .答案 9 3解析由題意，得廳丘| = 2 , 16+ 9= 10.卩PF| |PR| = 8,因為22n|PF| + |PF| 2|PF|PF|cos = 100, L的方程為頂點P在雙曲線上

10、，則|sin A sinBsinP的值等于(B.C.4答案 A2 2解析由 16魯=1 得a= 4,b= 3,c= 5.結合雙曲線定義及正弦定理得|sinA sinB|sinPIIPAPBI =IAB=2a42C= 5,故選 A.n且/F1PF=,貝仏PFF22 -1-8所以 |PF| PF= 36.9所以SAPF1F2=別PF| 丨PF|sin 專=93題型 2 雙曲線的標準方程及應用!多維探究典例(201821(b0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于則雙曲線的方程為()2 2x3yA- = 1442 2x yC. = 144【方法A,B, C, D四點，

11、四邊形ABCD的面積為 2b,x24y2B.4 -專=12 2x yD- = 1412本題采用方程法.答案 D解析 不妨設A(xo,yo)在第一象限，由題意得x0+y2= 22，2xo2 yo= 2b，yo= 2xo,216由得Xo=2,4+b2b2164b2所以yo=4x4TT=4TP，由可得b2= 12.2 2所以雙曲線的方程為x12= 1.故選 D.為(3,4)條件探究 1若將典例中條件變?yōu)椤耙詜F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點 ”，求雙曲線的方程.b4因為以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3,4)，所以c= 5，-=;.又a32 22x yb2,所條件探究

12、 2 若將典例中變?yōu)椤半p曲線過點(2,1)，且雙曲線與橢圓2+y2= 1 共焦4點”，求雙曲線的方程.2 2 2xx y解 橢圓；+y2= 1 的焦點坐標是(土 3 , 0).設雙曲線方程為 2=4 丿彳a b1(a0，b0)，412222x2所以孑b2= 1,a+b= 3，解得a= 2,b= 1，所以所求雙曲線方程是 -y= 1.10解析 設點A（1,0），因為PFF2的內切圓與x軸切于點（1,0），則|PF| |PF| =|AF|A冋，所以 2a= （c+1） （c 1），貝 Ua= 1.因為點P與點R關于直線y=對稱，所an|PF|b2222以/F1PF2=，且蒂甘=a=b,結合 |PF

13、| |PF2| = 2, |PF|2+ | P|2= 4c2= 4 + 4b2，可得2b= 2.所以雙曲線的方程為x2y= 1.方法技巧雙曲線標準方程的求解方法1 .定義法.2.待定系數法.提醒：利用求待定系數法求雙曲線標準方程的關鍵是：設出雙曲線方程的標準形式，根據已知條件，列出關于參數a,b,2 2c的方程并求出a,b,c的值.與雙曲線g p= 1,有相同漸近線時可設所求雙曲線方程為2 2x ya甘=入(入工0).沖關針對訓練2 21.已知雙曲線 孑一 y= 1（a0,b0）的焦距為25,且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y= 0 垂直，則雙曲線的方程為（）2X2A.4y=13x222yB.

14、 x -= 142 23x3yD. = 1A.答案解析b1由題意得c=.5, a= 1,則2xa= 2,b= 1，所以雙曲線的方程為一y2= 1.故選42. （2 018 福建漳州模擬）已知雙曲線2 2x yC：孑R = 1(a 0,b 0)的左、右焦點為F1,F2,P為雙曲線C右支上異于頂點的一點，F(xiàn)關于直線y=色對稱，則雙曲線的方程為a2答案X24 = 1PFF2的內切圓與x軸切于點（1,0），且P與點114題型 3 雙曲線的幾何性質與雙曲線有關的范圍問題（多維探究）2x2（2015 全國卷I）已知Mxo,y。）是雙曲線 C：2 y= 1 上的一點,角度 1典例F1,F2是C的兩個焦點若M

15、FMfc0，則yo的取值范圍是()12|一；】根據已知MF- MF0,列出yo的不等式求解.答案 A解析 不妨令Fi為雙曲線的左焦點，則F2為右焦點，由題意可知=3,Fi( 3, 0) ,F(3, 0)，則MF- MF= ( 3-xo)( 3-xo)+ ( yo) ( yo)=2 2Xo+yo 3.又知2yo= i, xo= 2+ 2yo,.MFMF= 3yoio. ，故選A.條件探究 將本例中條件“MF-MFo,b o)2的右支與焦點為F的拋物線x= 2py(p o)交于A，B兩點.若|AF+ |BF| = 4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為_答案y=-x解析設A(xi，yi)，B(X2，

16、y2).2 2x y-=i由a b，得a2y2 2pb2y+a2b2= o,x2=2py,點撥】涉及曲線交點時，考慮用設而不求的方法.yi+y2=2pb2.a雙曲線的漸近線方程為y=13又 IAF+ |BF= 4|OF,yi+ 2+y2+ 2= 4x2，即即yi+v=p,2pb22a=p，即b=i2,雙曲線的漸近線方程為y=14#e 1= 0,二e= ,2.故選 A.方法技巧（2）列出含有a,b,c的齊次方程（或不等式），借助于b2=c2a2消去b,然后轉化成關于e的方程（或不等式）求解.2 2 2 2Yyx yx3.求雙曲線二一2= 1（a0,b0）的漸近線的方法是令 二一2= 0,即得兩漸

17、近線方程-角度 3 與雙曲線離心率有關的問題典例（2016 全國卷n）已知F1,F2是雙曲線E22= 1 的左、右焦點，點M在E1上，MF與x軸垂直，sin /MFF1= 3,貝 UE的離心率為（3A. 23B.2C. 3【殛點援】D. 2將等式 sin /MFF1= 3 轉化為關于a,b,c的等3式.答案 A解析由MF丄x軸，可得b2h IMF|1MFFi= 3,可得3|MF|bI F*| =玆132ac2,23b2b2冷ac,c2a2#ac= 0?e2與雙曲線離心率、漸近線有關問題的解題策略1. 雙曲線的離心率e=c是一個比值，a利用b2=c2a2消去b,然后變形成關于2. 求雙曲線離心率

18、或其范圍的方法2 2 . 2c a+b（1）求a,b,c的值，由-=亍=a a故只需根據條件得到關于a,b, c的一個關系式，e的關系式，并且需注意e 1.1 +2直接求e.acos /MFFi=，又 tan /MFR=雙曲線的漸近線方程為y=15a ba ba7=0.沖關針對訓練16即X 2y= 0.故選 A.題型 4 直線與雙曲線的綜合問題y24X2=4 的一條弦AB,求直線AB的方程.本題采用“點差法”.24 4X1= 4, 解設A(X1,y1) ,B(X2,y2)，則?A2 |y24X2= 4 , (yi+y2)(yiy?) = 4(x1+X2)(X1X2),弦AB的中點是P(1,8)

19、 , X1+X2= 2,y1+y2= 16. - 16(y1y2)= 8(X1X2),y1y21直線AB的斜率為-=X1X22直線AB的方程為y 8=1(X 1),1. （2015 全國卷H）已知 A,B為雙曲線三角形，且頂角為120,則E的離心率為（答案 DE的左、右頂點，點M在E上，ABM為等腰）B. 2D.22X解析設雙曲線E的標準方程為2y孑b2=1(a0,b0)，貝 UAa,0) ,0a,0)，不妨設點M在第一象限內，則易得M2a,3a），又M點在雙曲線E上，于是卑2-畧2= 1 ,a bb1+a2=2故選 D.2X2. （2018 成都統(tǒng)考）已知ab0，橢圓C的方程為 g +左2

20、2y= 1,雙曲線C2的方程為X=1,C與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為（）A.X2y= 0C.X2y= 0B.2Xy= 0D.2Xy= 0解析 設橢圓C和雙曲線C2的離心率分別為e1和e2,貝U& =b,e2=號b因aa為e1e2冷,所以2a1b21，所以a=故雙曲線的漸近線方程為y=bx=#x,典例 1 以P（1,8）為中點作雙曲線為【方法點撥】17即直線AB的方程為x 2y+ 15= 0.求雙曲線C的方程;（2）若直線I:y=kx+ 2 與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B,且OA OB2（其中O為原點），求k的取值范圍.列出不等式，然后求解.2 2x y解（1）設雙曲線

21、方程為a2用=1（a0,b0）.2x由已知得a=3,c= 2,于是a2+b2= 22,b2= 1，故雙曲線C的方程為y2= 1.2將y=kx+. 2 代入弓y2= 1,得3(1 3k2)x2 6 2kx 9= 0.由直線l與雙曲線交于不同的兩點，得_ 213kz0,I.A =(62k2+ 36(1 3k2= 36(1 k20,1即k2工且k22, 得XAXB+yAyB2.XAXB+yAyB=XAXB+(kxA+2)(kxB+2)=(k2+1)XAXB+2k(XA+XB)+229廠62k=(k+1? +2k r+23k2+7=3k21.1I 99解得 3k3,又k1,12 3k2,即23k+ 9

22、3k2 10,XA+XB=XAXB=18故k的取值范圍為219方法技巧y=kx+m2 2x y _ .a1,(1) 二次項系數為 0 時，直線L k=彳與雙曲線的漸近線平行或重合.重合：無交點；平行：有一個交點.(2) 二次項系數不為 0 時，上式為一元二次方程， 0?直線與雙曲線相交(兩個交點)； = 0?直線與雙曲線相切； 0)的離心率等于2，直線y=kx 1 與雙曲線E的右支交于aA, B兩點.(1) 求k的取值范圍；(2) 若|AB= 6 3，點C是雙曲線上一點，且OC= mOAF 0，求k,m的值.f2a= 1, 得2c= 2,故雙曲線E的方程為x2y2= 1.沁亠y=kx1,設A(

23、X1,y,B(X2,y2)，由22,ixy=1，得(1 k)x+ 2kx 2= 0.(*)直線與雙曲線右支交于A,B兩點，k 1,故2,2 = (2k) 4(1 k )x( 2 0,即廠 所以 1kv寸 22k 2,故k的取值范圍是k|1 k，b0)的位置關系的分析:1 代數法消去y，得(b2-a2k2)x2 2kmax-a2(m+b2) = 0.220/. |AE| =寸 1 +k2 p(X1+X2( 4x1X2(2)由(*)得X1+X2=芒 1x1x2=k2 1,21=2 件尹曾,整理得 28k4 55k2+ 25= 0, k2=5 或 k2=4,又 1Vkv2, k =F所以Xi+X2=

24、45,yi+y2=k(xi+X2) 2= 8.設C(X3,ys)，由0G= m(5Av OB,得(xs,ys) =m(xi+X2,yi+y2)=(4.點C是雙曲線上一點，22i 80m 64m= i，得m= 4.故k=25,m=4H真題模擬每咲2 2i.(20i6 全國卷I)已知方程 軽 y= i 表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距m+n3mn離為 4,則n的取值范圍是()A.( i,3)B. ( i , ,3)C. (0,3)D. (0,3)答案 A2222解析由題意可知：c= (m+n) + (3mn) = 4m,其中c為半焦距，2c=2x21m=4, im=1,22方程邛y= 1 表示雙

25、曲線，m+n3mn2 2 (m+n) (3mn)0 , mn3mi, 1n 0,b0)的一條漸近線方程為y=a b2答案 B22 2 2解析 解法一：由雙曲線的漸近線方程可設雙曲線方程為=k(k0)，即Xy= 1,454k5kx,2 2且與橢圓 12+魯2 2x yA- = 18 102 2x yC.54= 154=1 有公共焦點，貝 y C 的方程為(2xB.y 5452 2x yD. = 12Y=12 2 2 2x yx y222 2雙曲線與橢圓X2 +卷=1 有公共焦點，二 4k+ 5k= 12 3,解得k= 1,故雙曲線C的方程232 2為扌-春=1.故選 B.解法二：橢圓 12+3=

26、 1 的焦點為(土 3,0)，雙曲線與橢圓 12+專=1 有公共焦點，二2 22x y=4,b= 5. 雙曲線C的方程為：一= 1.45故選 B.3. (2017 全國卷I)已知雙曲線C：2yg f= 1(a0,b0)的右頂點為A以b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M N兩點若/MAN=60, 心率為_ .如圖，由題意知點A(a,0)，雙曲線的一條漸近線1的方程為y=bx,a2a+e的最小值為b2 ,6點abA到1的距離dr+2.又/MAI460,MA= NA= b,.AMAN為等邊三角形,3d=*MA=2，即苗寸2b2=菱 3=3 .ce=-a2a+2a4. (2018 -蘭州診

27、斷ab3一為b,.a2= 3b2,)若雙曲線2x_-2a2古=1(a0,b0)一條漸近線的傾斜角為離心率2 2 2a+b= ( 3) = 9，雙曲線的一條漸近線yx, P=身，聯(lián)立可解得a22a2A為圓心,則C的離答案2 .33解析bxay為e,則答案2 2 2 2x yx y243解析由題意，可得,bnk=孑tan7n= . 3.25A.C.充分不必要條件充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案解析2J = 1 表示雙曲線， (25 k)(k 9)0 ,k9 或“k25,.A.22. （2017 湖北黃岡二模）已知雙曲線X2與=1 的左、右焦點分別為Fi,F2, 雙曲線的離心率

28、為e,若雙曲線上存在一點P使 Sn需=e,則TP-蒲的值為A. 3B.C. 3D.答案 B解析 由題意及正弦定理得Sin: 豐=翟sin /PFF2|PF2|義知 |PF| |PB| = 2 , |PF| = 4, | PR| = 2，又 |FF2| = 4,由余弦定理可知 cos /PRR=2 2 2|PF| 土 |FF |PF| _4+ 16 1612|PFa|IF1F2|=2X2X4 =4，2.故選 B.=e= 2, |PF| = 2|PF,由雙曲線的定T TTT1 F2PF2F1=|F2P|F2F1ICOS/PFFi=2X=43已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F&, 0），直線

29、y=x 1 與其相交于M N兩點，MN中點的橫坐標為3，則此雙曲線的方程是（）2 2x yA= 1342 2x yC.52 =12 2x yB. = 1432 2x yD_= 1答案 D- b= J3a，貝 Ua= 3, e=b22十 2a+e3b22 2 6b=b=3 十b2xb=3 .當且僅當b2= 6,a2= 2 時取“=”.0課后作業(yè)夯笑重點保分兩級優(yōu)選練A 級、選擇題2 2“ k4.由于雙曲線的實軸長為 2 小于 4,因此與雙曲線兩支分別相交得到 的兩點都在x軸上方或x軸下方兩種情況綜上所述，共有三條直線滿足條件，故選C.2x解析設雙曲線方程g2yF=1,M(x1,y1),一，得比1

30、二竺=巳X1-X2aX1+X21+y253又a2+b2= 7,2 2-5a= 2b.4. 過雙曲線 a2= 2，b2= 5,故選 D.2x2-與=1的右焦點F作直線I交雙曲線于A,B兩點，若|AB= 4,則這樣的直線A.C.l有(1 條3 條B. 2 條D. 4 條得y= 2,當 2 -k2工0時，xi+X2=2 3k2 2x2X227k2- 2=+k22 2x2X2285. (2016 浙江高考)已知橢圓C:m+y= 1(m1)與雙曲線C2：帚一y= 1(n0)的焦點重合，e1,e2分別為C,C2的離心率，則()A.mn且 eG1B.mn且 eG1C. m1答案b,所以 IOM=寸C2-b=

31、a.由SAOMF=16,可得扌ab= 16,即ab= 32,又a2+b2=菁巫所以a=8,b= 4,c= 4 5，所以雙曲線C的實軸長為 16.故選 B.2 2 2)設雙曲線篤y2= 1 的兩條漸近線與直線x=旦分別交于A,Ba bc若 60ZAFBc90,則該雙曲線的離心率的取值范圍是1,. 1 e21 3,. 2e 2.故選 B.D. mn且eie20,mi 可得nn,且2 2 2m-2 2 2 21=，則e2e2- 1 = mmm 2m m 256. (2017 福建龍巖二模)已知離心率為2的雙曲線11=2 2m m 22 2x y“亠亠0,即 &e21.故選 A.焦點分別為OM

32、F= 16,F1,F2,M是雙曲線C的一條漸近線上的點, 則雙曲線的實軸長是()OML MF,0為坐標原點，若SAA. 32B.16C. 84D.答案解析由題意知F2(c,0),不妨令點M在漸近線ybeb=ax上,由題意7. (2018 湖南十校聯(lián)考兩點，F(xiàn)為該雙曲線的右焦點.A. (1 ,. 2)B. ( 2, 2)C. (1,2)D. ( 一 2,+答案 B解析雙曲線2 22= 1 的兩條漸近線方程為b y= _ x,a baaba!ababy=ab不妨設c/60/AFBc90,二 尋kFB 1,尋33abc2aV3a2 1,十 1 , a 3bcc.1a23c2a2bi 0)與雙曲線C:

33、礦吉1(a2 0,b2 0)有相同的焦點Fi,F2,點P是兩曲線的一個公共點，ei,e2分別是兩曲線的離心率，若PF丄PR,貝 U 4e2+e2的最小值為()A. 29C.2答案 C解析 由題意設焦距為 2C,令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義知|PF| - |PF2| =2a2，由橢圓定義知|PF| + | PR| = 2ai，又PF丄PH,. |PF|2+ |PR|2=4C2，2 2 2 2 2 2 +，得 |PF| + |PF| = 2ai+ 2a2, 將代入，得ai+a2= 2C,9. (20i7 青州市模擬)已知中心在坐標原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、右焦答案 A解析 設橢圓

34、和雙曲線的半焦距為c, |PFi| =mIPl =n(mn),由于PFF2是以PF為底邊的等腰三角形若|P冋=i0,即有m= i0,n=2C,由橢圓的定義可得mpn= 2ai,由雙曲線的定義可得m- n= 2a2,即有ai= 5+C,a2= 5-C(C10,55可得C2，即有 2c5.B. 4D. 92a22+aiai52a2a290!2+ 2.ai 2a2=當且僅當2a2_ a2aT=2a2,C.點分別為Fi,F2，這兩條曲線在第一象限的交點為P,APFF2|PF| = i0,記橢圓與雙曲線的離心率分別為ei,e2,則eie2的取值范圍是(B.D. （0，+m）22_ai+a25刁 ar=2

35、+即a2= 2ai時，取等號故選C. ，+ m-pm30由離心率公式可得C Ceie2= _=aia225 -C2252 iC31ca a雙曲線x2-y2= 1 的漸近線方程為xy= 0,漸近線xy= 0 與橢圓x2+ 4y2= 4b2在第一象限的交點為由圓錐曲線的對稱性得四邊形在第一象限部分的面積為2 2 2-b= 5,a= 4b= 20.2 2橢圓C的方程為 令+y= 1.故選 D.205二、填空題2 211. 若點P在曲線C: 16-眷=1 上，點Q在曲線G: (x- 5)2+y2= 1 上，點R在曲線2 2G:(x+ 5) +y= 1 上，則|PQ- |PR的最大值是 _.答案 10解

36、析 依題意得，點 R( -5,0) ,F2(5,0)分別為雙曲線C的左、右焦點，因此有|PQ-|PRW|(|P冋 + 1) - (|PF| -1)| 0,b0)的左焦點F( -c,0)(c0)，作圓x2+y2=牛的切線，切點為E,延長FE交曲線右支于點P,若OE=2(OF+OP，則雙曲線的離心率為.答案.102解析a2aT1T T圓x2+y2=-的半徑為 2,由OE=2(OHOP知，E是FP的中點，設F( c,0),由25由于1它b0)的離心率為邁3.雙曲線X2-y2= 1 的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為2 2x yA. 8 + 2=12xC.1616,則橢圓C

37、的方程為(2 2x yBp+ 6= 12 2x yD. += 1205答案解析橢圓的離心率為-2亠匕 2 ，二a= 2b. 橢圓的方程為2 2 . 2x+ 4y= 4b.321所以OEL PF,|OE= 2IPFI ? IPF| = 2|OE=a.123又因為一=e， 所以e+2= 4,e1整理得e4 4e2+ 3 = 0,解得e2= 3,所以 即雙曲線的離心率為，3.于0是FF的中點,由雙曲線定義,=90 .由勾股定理,|FP| = 3a,因為FP是圓的切線，切點為E,所以FFLOE從而/FPFP|2=|FF|2? 9a2+a2= 4c2?e= f得 |FP|2+ |F13. (2018 安徽江南十校聯(lián)考2 2)已知i是雙曲線c：X2 魯=1 的一條漸近線，P是I上PFPF2= 0，貝UP到x軸的距離為的一點，F(xiàn)1,F2是C的兩個焦點，若答案 2解析 由題意取F1( 6, 0) ,F2(6, 0)，不妨設l的方程為y= . 2x，則可設Rx。， 2Xo)，由PFPF2=( 6 Xo, 2Xo) ( 6 Xo, 2Xo) = 3x2 6 = 0，得Xo= 2 , 故P到x軸的距離為 2|X0| = 2.14. (2018 貴州六校聯(lián)考)我們把焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線稱為一 已知 F, F2 是一對相關曲線的焦點，P 是它們