信息技術(shù)應(yīng)用成果教學(xué)設(shè)計

1、3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1. 教學(xué)目標(biāo):（1）了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻劃現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。（2）經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)。（3）通過橢圓與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。2. 教學(xué)重點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；坐標(biāo)法的基本思想。3. 教學(xué)難點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡；坐標(biāo)法的運用。4. 教學(xué)任務(wù)分析：（1）學(xué)生已有的主要知識結(jié)構(gòu)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過圓，了解圓的定義，經(jīng)歷了根據(jù)圓的特征，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程。（2）建立新的知識結(jié)構(gòu)與圓類比，弄清橢圓上的點所滿足的條件，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

2、程。5. 教學(xué)基本流程：|回憶圓的定義，與已有的知識聯(lián)系VI11通過作圖，提出問題，引入橢圓的定義V根據(jù)條件，確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程< _ Vr'小結(jié)與布置作業(yè)6. 媒體選用：多媒體課件，幾何畫板7. 教學(xué)過程：問題設(shè)計意圖師生活動備注1、回顧圓的定義，讓學(xué)生 用準(zhǔn)備好的工具畫圓。學(xué)生動手畫圓，結(jié)合 圖形，重現(xiàn)思維軌跡， 為橢圓的學(xué)習(xí)作好鋪 墊。1.由學(xué)生動手實驗，并說出圓的定義；畫圓時，繩子一端固疋 在紙板上，一端栓在筆 上學(xué)生再次體會筆尖到 定點的距離不變的情 景。2.將圓心分開變?yōu)閮蓚€，提出新的問題，激發(fā)1.師生一起畫圖，得到一個壓扁的讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的繩子兩端固定在這兩個定學(xué)

3、生的好奇心，引發(fā)“圓”一橢圓；美，認(rèn)識到數(shù)學(xué)與生活點上，用筆勾住繩子，將學(xué)習(xí)興趣。2.教師演示課件：拱橋、橄欖球、息息相關(guān)。會畫出什么樣的曲線呢？天體的運動軌跡等。3.在運動中，橢圓上的點1.弄清曲線上的點所1.引導(dǎo)學(xué)生分析實驗，發(fā)現(xiàn)兩個確這里應(yīng)給予學(xué)生充分思所滿足的幾何條件是什滿足的幾何條件是建定的量一定點及繩長，變動的量一考和討論的機(jī)會，引導(dǎo)么？立曲線方程的關(guān)鍵之筆尖（即橢圓上的點）。他們說出自己的發(fā)現(xiàn)，4.應(yīng)該如何描述動點M所。2.再次演示畫橢圓的過程，引導(dǎo)學(xué)并逐步修正得到橢圓的滿足的幾何條件？2.讓學(xué)生體會類比思生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：橢圓上的點到兩個定定義。想，整理實驗，歸納點的距離之和總是等于

4、繩長。抽象成數(shù)學(xué)問題。5.將兩位學(xué)生所畫的橢圓使學(xué)生認(rèn)識到橢圓的1 教師：改變原有的兩定點的距離投影到大屏幕，并提出問形狀受到兩定點畫橢圓并觀察圖形，大家有什么發(fā)題：在繩長相同的情況下，F(xiàn)1，F(xiàn)2的距離的影現(xiàn)？為什么畫出的橢圓有圓有響。學(xué)生：F1, F2的距離愈近橢圓愈圓，扁呢？F1，F(xiàn)2的距離愈遠(yuǎn)橢圓愈扁。6.如果只改變繩長，而不使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到教師：如果疋點的位置相冋，只改改變Fl, F2的距離，又會出橢圓的形狀也受到繩變繩長，橢圓又有什么變化？現(xiàn)什么結(jié)果呢長的影響。學(xué)生：繩愈短橢圓愈扁，繩愈長橢圓愈圓。教師：設(shè) | F1F2|=2C,| MF1 |+| MF2 |=2a,如何通過 a,

5、c刻劃橢圓的扁圓程度。cc學(xué)生：當(dāng)a越小時，橢圓愈圓，當(dāng)a越大時，橢圓越扁。7.橢圓與兩疋點位置及疋加深對概念的理解師生共同探討，并演示課件，展示線段長有關(guān)，是否給定了2a>2c,2a=2c,2a<2c三種不同情形線段長和兩定點位置就一的軌跡。定能作出橢圓呢？學(xué)生：當(dāng)2a>2c時，軌跡是橢圓；當(dāng)2a=2c時，軌跡是一條線段，是以Fl, F2為端點的線段；當(dāng)2a<2c時，無軌跡；當(dāng)c=0時，軌跡為圓寫出動點M所滿足的幾何條件的點的集合：PM| MFl|+| MF2|=2a >。明確橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點Fi，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù) 2a(2a大于| FiF2

6、|)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。8.事實上橢圓在建筑、電 子乃至航空航天等領(lǐng)域有 著廣泛的應(yīng)用，因此，有 必要進(jìn)一步探求它的性 質(zhì)，研究它的方程。求曲 線方程的步驟是什么？怎 樣建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求 橢圓的方程呢？溫舊知新，讓學(xué)生認(rèn) 識到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系有 利于化簡，也會使所 得的方程比較簡單。學(xué)生回答求曲線方程的步驟，教師 引導(dǎo)學(xué)生討論如何建立坐標(biāo)系。通 過分析曲線的特征一對稱性，得出 以線段Fl F2的中點為原點，以FiF2 的垂直平分線為 y軸建立直角坐標(biāo) 系。事實上，橢圓的美主要 體現(xiàn)在均勻?qū)ΨQ上，應(yīng) 充分引導(dǎo)學(xué)生討論、發(fā) 現(xiàn)這一點。元成了 建

7、系，設(shè) M(x,y )是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c(c>0)，那么，焦點°(-c,O),(c,O).又設(shè)點M與Fi，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a (2a>| 證丨)。由定義可知，橢圓就是集合P=' M| MFi|+| MF2 |=2a >。7, F2的坐標(biāo)分別是a.| MFi |= J(x+c)2 +y2 ,|mf2=譏X C)2 +y2 J(x +c)2 十 y2 +J(x c)2 十 y2 =2能否將上面所得等式兩邊 同時平方？應(yīng)該如何處理 兩個根號的位置更有利于 化簡？在學(xué)生已懂得一個根 式化簡的情況下，針 對具體的問題，尋求 解決問題的想法。請3

8、4名學(xué)生板演方程化簡， 教師在教室中走動，觀察學(xué)生的化簡情況。組織學(xué)生評價板演情況，使學(xué)生明確若將上面等式直接平方，則化簡過程繁雜且各項的次數(shù)很高；若將兩個根式放在等式的兩邊，平方后可消去x2,y2,c2項簡化計算，強(qiáng)調(diào)方法的選擇。通過投影，將化簡的過程呈現(xiàn)給學(xué)生。教師：設(shè) | FiF2|=2c,| MFl |+| MF2|=2a ,觀察圖形能否找出a,c , 2 2vac所表示的線段及其關(guān)系呢？結(jié)合圖形，賦予a,c ,/ 2 2Va C以具體的幾何意義。（展示圖形）學(xué)生：可以看出a,c是以RF2為底邊的等腰三角形的 腰及底邊的一半。教師：不妨令a2-c2=b2則方程可簡化為b2x2+a2y2

9、=a2b2,兩邊同時除2 2xy+ = 1 、亠、以a2b2得ab，這就是焦點在x軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。這里a 與b的關(guān)系如何？學(xué)生：a>b>0.通過類比，讓學(xué)生寫出 焦點在y軸上橢圓的標(biāo) 準(zhǔn)方程，并根據(jù)方程分 辨橢圓的焦點在x軸或y 軸上。教師用總結(jié)性的語言引導(dǎo)學(xué)生對橢圓方程再認(rèn)識：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，分母是一個正數(shù)，右邊是1。2 2 2橢圓的三個參數(shù) a.b.c滿足a =b +c。2 2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x ,y的系數(shù)哪個小，焦點就在哪個軸上。i教材中例1.2補(bǔ)充練習(xí)：已知橢圓的方x2 y2程為1625則（1）a= b= c（2）焦點在軸上，其焦點坐標(biāo)為，焦距為。（3）若CD為過左焦點F1 的弦，貝U ?CF1F2的周長為，？F2CD的周長為。橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng) 用。2位學(xué)生板演例1,補(bǔ)充練習(xí)由學(xué)生 口答。教師：如果將橢圓方程改為2 22516 =1,上述問題（1）（ 2）（3）有何變化？學(xué)生：（回答略）小結(jié)：（1）知識方面：總結(jié)了橢圓的定義；探討了橢圓的扁圓；研究了在a、c的四種不同關(guān)系下的曲線軌跡；求出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；了解焦點與方程形