第二章 運(yùn)動(dòng)定律與力學(xué)中的守恒定律

1、第二章 運(yùn)動(dòng)定律與力學(xué)中的守恒定律2-1 如圖所示，質(zhì)量為的物體用平行于斜面的細(xì)線連接并置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體剛脫離斜面時(shí)，它的加速度的大小為（D）（A） ；（B）；（C）（D）題2-1圖2-2 一段路面水平的公路，轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為，汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為，要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑，汽車在該處的行使速率（A ）（A）不得小于 ；（B）必須等于；（C）不得大于； （D）還應(yīng)由汽車的質(zhì)量決定2-3對(duì)質(zhì)點(diǎn)組有以下幾種說法：（1） 質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)量的改變與內(nèi)力無關(guān)；（2） 質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)能的改變與內(nèi)力無關(guān)；（3） 質(zhì)點(diǎn)組機(jī)械能的改變與保守內(nèi)力無關(guān)。下列對(duì)上述說法判斷正確的是（

2、 C ）（A） 只有（1）是正確的 （B） （1）、（2）是正確的（C） （1）、（3）是正確的 （D） （2）、（3）是正確的2-4 對(duì)功的概念有以下幾種說法：（1） 保守力作正功時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)相應(yīng)的勢能增加；（2） 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)經(jīng)一閉合路徑，保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功為零；（3） 作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以兩者所作功的代數(shù)和必為零。下列對(duì)上述說法判斷正確的是（ B ）（A） （1）、（2）是正確的 （B） （2）、（3）是正確的（C） 只有（2）是正確的 （D） 只有（3）是正確的2-5如圖所示，子彈射入放在水平光滑地面上靜止的木塊后而穿出。以地面為參考系，下列說法中正確的說法是（ ）（A）

3、 子彈減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)槟緣K的動(dòng)能（B） 子彈-木塊系統(tǒng)地的機(jī)械能守恒（C） 子彈動(dòng)能的減少等于子彈克服木塊阻力所作的動(dòng)（D） 子彈克服木塊阻力所作的功等于這一過程中產(chǎn)生的熱2-6 有兩個(gè)力作用在一個(gè)有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上：（1） 這兩個(gè)力都平行于軸作用時(shí)，他們對(duì)軸的合力矩可能是零；（2） 這兩個(gè)力都垂直于軸作用時(shí)，他們對(duì)軸的合力矩一定是零；（3） 當(dāng)這兩個(gè)力的合力為零時(shí)，他們對(duì)軸的合力矩也一定是零；（4） 當(dāng)這兩個(gè)力對(duì)軸的合力矩為零時(shí)，他們的合力也一定是零。對(duì)上述說法，下述判斷正確的是（ ）（A） 只有（1）是正確的 （B） （1）、（2）正確，（3）、（4）錯(cuò)誤（C）（1）、（2）、（3）正確，

4、（4）錯(cuò)誤 （D） （1）、（2）、（3）、（4）都正確2-7 關(guān)于力矩有以下幾種說法：（1） 對(duì)某個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體而言，內(nèi)力矩不會(huì)改變剛體的角加速度；（2） 一對(duì)作用力和反作用力對(duì)同一軸的力矩之和必為零；（3） 質(zhì)量相等，形狀和大小不同的兩個(gè)剛體，在相同力矩的作用下，它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一定相同。對(duì)上述說法，下述判斷正確的是（ ）（A） 只有（2）是正確的 （B） （1）、（2）是正確的（C） （2）、（3）是正確的 （D） （1）、（2）、（3）都是正確的2-8 均勻細(xì)棒OA可繞通過其一端O而與棒垂直的水平固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。今使棒從水平位置由靜止開始自由下落，在棒擺到豎直位置的過程中，下述

5、說法正確的是（ ）（A） 角速度從小到大，角加速度不變（B） 角速度從小到大，角加速度從小到大（C） 角速度從小到大，角加速度從大到?。―） 角速度不變，角加速度為零2-9一圓盤繞通過盤心且垂直于盤面的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸間摩擦不計(jì)。如圖射來兩個(gè)質(zhì)量相同、速度大小相同、方向相反并在一條直線上的子彈，它們同時(shí)射入圓盤并且留在盤內(nèi)，在子彈射入后的瞬間，對(duì)于圓盤和子彈系統(tǒng)的角動(dòng)量L以及圓盤的角速度則有（ ）（A） L不變，增大 （B）兩者均不變（C） L不變，減小 （D）兩者均不確定2-10假設(shè)衛(wèi)星環(huán)繞地球中心作橢圓運(yùn)動(dòng)，則在運(yùn)動(dòng)過程中，衛(wèi)星對(duì)地球中心的（ ）（A） 角動(dòng)量守恒，動(dòng)能守恒 （B） 角動(dòng)量守

6、恒，機(jī)械能守恒（C） 角動(dòng)量不守恒，機(jī)械能守恒 （D） 角動(dòng)量不守恒，動(dòng)量也不守恒（E） 角動(dòng)量守恒，動(dòng)量也守恒2-11質(zhì)量的物體沿X軸無摩擦地運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)物體位于原點(diǎn)，速度為零（即）。求物體在力的作用下運(yùn)動(dòng)到處的加速度及速度的大小。解：由于物體作直線運(yùn)動(dòng)，所以其加速度和速度均可當(dāng)標(biāo)量處理。由牛頓第二定律得 ，將代入上式，得 因，所以由 ，對(duì)上式兩邊取積分并代入初始條件，得，解之得 將代入上式，得2-12一輛汽車總質(zhì)量kg，在速度為 m·s-1時(shí)開始剎車（），若阻力與時(shí)間成正比，比例系數(shù)N·s-1求：s時(shí)汽車的速率解 由牛頓定律 得 所以，s時(shí) m·s-12-13質(zhì)

7、量為，初速度為的物體，所受阻力為，求其運(yùn)動(dòng)至速度所需要的時(shí)間？ 解： 2-14一滑塊質(zhì)量m=1kg，在力 N的作用下沿X軸作直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)質(zhì)點(diǎn)在m初，速度m·s-1,求質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的速度和位置。解： 時(shí) m·s-1 解得 m·s-1 又 且 時(shí) m m 2-15在光滑水平面上固定了一個(gè)半徑為的圓環(huán)，一個(gè)質(zhì)量為的物體以初速度為靠圓環(huán)內(nèi)壁作圓周運(yùn)動(dòng)，物體與環(huán)壁的摩擦系數(shù)為，試求物體任一時(shí)刻的速率？解：以物體作為研究對(duì)象。物體除受到重力，水平面的支持力外，還在水平面受到環(huán)壁的正壓力和滑動(dòng)摩擦力，如圖所示。由于在水平面內(nèi)作減速圓周運(yùn)動(dòng)，存在切向加速度和法向加速度，所以可選

8、擇自然坐標(biāo)分量式表示牛頓方程。根據(jù)題意，列出下列方程：將式（2）和（3）代入式（1）得，將上式分離變量得將上式變成積分形式，上式積分得 2-16一物體放置在水平面上，已知物體質(zhì)量，與水平面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)。要使物體沿水平面勻速運(yùn)動(dòng)，試求這時(shí)拉力的最小值及拉力的方向。解：如圖所示。物體受到的4個(gè)力:重力、滑動(dòng)摩擦力、支持力及拉力，各力方向如圖所示。由于拉力的方向未知，因而假設(shè)拉力與水平方向成角。在這里，不能把拉力視作水平方向上的力，否則將不合題意。選取直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)取在的質(zhì)心上，軸水平向右，軸豎直向上。根據(jù)題意，由牛頓方程得：可以看出，上述方程的未知數(shù)有4個(gè)，而方程個(gè)數(shù)只有3個(gè)，及是解不

9、出來的。所以還要尋找一個(gè)方程。必須從隱含的已知條件去找。仔細(xì)審題會(huì)發(fā)現(xiàn)，題中的最小值沒有在上述方程中得到體現(xiàn)，所以這個(gè)要找的方程就是： ，由式（1）、（2）及（3）可得：將上式代入式（4），得：，由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可得：當(dāng)時(shí)，拉力有最小值，拉力大小為：拉力方向?yàn)?與水平面成的夾角。2-17如圖所示，在水平地面上，有一橫截面的直角彎管，管中有流速為的水通過，求彎管所受力的大小和方向。解：在時(shí)間內(nèi)，從管一端流入（或流出）水的質(zhì)量為,彎曲部分AB的水的動(dòng)量的增量則為依據(jù)動(dòng)量定理，得到管壁對(duì)這部分水的平均沖力從而可得水流對(duì)管壁作用力的大小為：作用力的方向則沿直角平分線指向彎管外側(cè)。2-18一鏈條，總長為l

10、，放在光滑的桌面上，其中一端下垂，長度為a，如圖 所示。假定開始時(shí)鏈條靜止。求鏈條剛剛離開桌邊時(shí)的速度。解：選取桌邊的坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸正向，向下dx元功為 其中x為下垂端的坐標(biāo)。鏈條剛離開桌面時(shí)，因?yàn)樗?，所?-19一物體在介質(zhì)中按規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，為一常量。設(shè)介質(zhì)對(duì)物體的阻力正比于速度的平方。試求物體由運(yùn)動(dòng)到時(shí)，阻力所作的功。（已知阻力系數(shù)為） 解：由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可得物體的速度,按題意及上述關(guān)系，物體所受阻力的大小為,則阻力的功為:2-20一人從10.00m深的井中提水，起始桶中裝有10.00kg的水，由于水桶漏水，每升高1.00m要漏去0.20kg的水。求水桶被勻速地從井中提

11、到井口，人所作的功。解：水桶在勻速上提過程中，a = 0，拉力與水桶重力平衡，有在圖示所取坐標(biāo)下，水桶重力隨位置的變化關(guān)系為其中= 0.2 kg/m，人對(duì)水桶的拉力的功為2-21 一沿x軸方向的力作用在質(zhì)量為m = 3.0 kg的質(zhì)點(diǎn)上。已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為求：(1)力在最初4s內(nèi)做的功；(2)在t = 1 s時(shí)，力的瞬時(shí)功率。解題 (1)力做的功： （牛頓第二定律），(2)功率：，2-22如圖所示，有一自動(dòng)卸貨礦車，滿載時(shí)的質(zhì)量為，從與水平成傾角斜面上的點(diǎn)由靜止下滑。設(shè)斜面對(duì)車的阻力為車重的倍，礦車下滑距離時(shí)，礦車與緩沖彈簧一道沿斜面運(yùn)動(dòng)。當(dāng)?shù)V車使彈簧產(chǎn)生最大壓縮形變時(shí)，礦車自動(dòng)卸貨，然后礦

12、車借助彈簧的彈性力作用，使之返回原位置再裝貨。試問要完成這一過程，空載時(shí)與滿載時(shí)車的質(zhì)量之比應(yīng)為多大？ 解：取沿斜面向上為x軸正方向。彈簧被壓縮到最大形變時(shí)彈簧上端為坐標(biāo)原點(diǎn)O。礦車在下滑和上行的全過程中，按題意，摩擦力所作的功為         （1）式中m¢和m分別為礦車滿載和空載時(shí)的質(zhì)量，x為彈簧最大被壓縮量。根據(jù)功能原理，在礦車運(yùn)動(dòng)的全過程中，摩擦力所作的功應(yīng)等于系統(tǒng)機(jī)械能增量的負(fù)值，故有由于礦車返回原位時(shí)速度為零，故；而，故有      

13、;   （2）由式（1）、（2）可解得:2-23如圖，質(zhì)量kg的實(shí)心圓柱體A其半徑為 cm，可以繞其固定水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，阻力忽略不計(jì)，一條輕繩繞在圓柱體上，另一端系一個(gè)質(zhì)量kg的物體B，求：（1）物體B下落的加速度；（2）繩的張力。解： （1） 對(duì)實(shí)心圓柱體A，利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律 對(duì)物體B，利用牛頓定律 有角量與線量之間的關(guān)系 解得： m·s-2 （2）由得 2-24如圖,一定滑輪兩端分別懸掛質(zhì)量都是m的物塊A和B，圖中R和r，已知滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，求A、B兩物體的加速度及滑輪的角加速度（列出方程即可）。解： rRAB五個(gè)方程，五個(gè)未知數(shù)，可解出所要求的量。2-25如圖，

14、半徑為r的定滑輪，繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，滑輪兩邊分別懸掛質(zhì)量為和的物體A、BA置于傾角為的斜面上，它和斜面間的摩擦因數(shù)為，若B向下作加速運(yùn)動(dòng)，求 物體B其下落的加速度大小. (設(shè)繩的質(zhì)量及伸長均不計(jì)，繩與滑輪間無滑動(dòng)，滑輪軸光滑)解：設(shè)繩子張力為，則對(duì)物體A有：對(duì)物體B有：對(duì)滑輪有： 又： 可解得：2-26一飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，在t=0時(shí)角速度為.此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過程。阻力矩的大小與角速度的平方成正比，比例系數(shù),求（1）當(dāng)時(shí)，飛輪的角加速度；（2）從開始制動(dòng)到所經(jīng)歷的時(shí)間。解：（1） （2） 2-27 一質(zhì)量為60.0kg的人，站在一半徑為3.00m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為450kg.m2的靜止轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣上，

15、此轉(zhuǎn)臺(tái)可繞通過轉(zhuǎn)臺(tái)中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)與軸之間的摩擦不計(jì)。如果人相對(duì)地面以m.s的速率沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣行走，問轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)地面的角速度有多大？方向如何？解：人和轉(zhuǎn)臺(tái)可以看作是一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)。人與轉(zhuǎn)臺(tái)之間的相互作用力為內(nèi)力，外力矩為零，故系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)地面的角速度為，人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，由于系統(tǒng)初始是靜止的，則有： 由此可得： 代入=450kg.m2， kg.m2,m.s可得：。負(fù)號(hào)表示轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)方向與人對(duì)地面的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。2-28有一半徑為，質(zhì)量為的勻質(zhì)圓盤水平放置，此盤可繞通過盤心的鉛直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)圓盤以的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，恰有一質(zhì)量為的橡皮泥（可視為質(zhì)點(diǎn)）從豎直方向落在

16、盤上距轉(zhuǎn)軸處，并粘在此處。求橡皮泥粘在圓盤上后圓盤仍以水平轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小。解：取橡皮泥粘和圓盤為一系統(tǒng)，系統(tǒng)在水平面內(nèi)的力矩為零，角動(dòng)量守恒。所以有：解得： 2-29如圖所示，長為，質(zhì)量為的勻質(zhì)細(xì)棒可繞其一端的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)靜止于豎直位置上?，F(xiàn)有一質(zhì)量為的子彈以速率水平射入棒的下端并陷入桿內(nèi)。若不計(jì)一切摩擦，求：（1）子彈射入后棒所獲得的初角速度；（2）細(xì)棒所能偏轉(zhuǎn)的最大角解：（1）取棒和子彈為一系統(tǒng)，系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)的力矩為零，故系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。所以有： 得 （2）取地球、棒和子彈為一系統(tǒng)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。選棒的底端為勢能零點(diǎn)，并設(shè)細(xì)棒所能偏轉(zhuǎn)的最大角度為，則有由此可得：2-3

17、0如圖所示。一質(zhì)量為的小球由一繩索系著，以角速度在無摩擦的水平面上，繞以半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。如果在繩的另一端作用一豎直向下的拉力。小球以半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。試求：（1）小球的新角速度；（2）拉力做的功。解：（1）沿軸向的拉力對(duì)小球不產(chǎn)生力矩，小球由繞半徑到沿半徑的圓周運(yùn)動(dòng)中，角動(dòng)量守恒。有： 其中，則： （2）由于小球的速度增加，其轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能也增加，這就是拉力做功的結(jié)果。由轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：2-31一水平圓盤繞通過圓心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為1，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1在其上方還有一個(gè)以角速度2繞同一豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤，這圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，兩圓盤的平面平行，圓心都在豎直軸上，上盤的底面有銷釘，如使上盤落下，銷釘嵌入下盤，使兩盤合成一體。（1）求兩盤合成一體后系統(tǒng)的角速度的大小？（