人教版選修4-5第1章1.5.3反證法和放縮法

1、1.5.3 反證法和放縮法1. 理解反證法和放縮法的概念.2. 會(huì)用反證法和放縮法證明較簡(jiǎn)單的不等式尹自主預(yù)習(xí)全課前預(yù)習(xí)區(qū)_自學(xué)導(dǎo)引1. 反證法：首先假設(shè)要證明的命題是不正確的，然后利用公理，已有的定義、定_ 理，命題的條件逐步分析，得到和命題的條件 （或已證明過的定理，或明顯成立 的事實(shí)）矛盾的結(jié)論，以此說明假設(shè)的結(jié)論不成立丿而原來的結(jié)論正確 .2. 放縮法：將所需證明的不等式的值適當(dāng)放（或縮小）使它由繁化簡(jiǎn)，達(dá)到證明 目的如果所要證明的不等式中含有分式，把分母放大，則相應(yīng)分式的值縮小, 反之，把分母縮小，則分式的值放大.基礎(chǔ)自測(cè)i.設(shè)M=20+2+2102+ 2，則()A.M = 1C.M

2、1解析 M 是 210項(xiàng)求和，1 1 1 1M=210+2+1 1 1 1尹+ 尹+ 尹+ 尹=1，故選 B.答案 B2.已知 a，b R+，下列各式中成立的是()22A. cosBig a+sinBlg blg(a+b)2 2C. acosBsin A a+b2 2D.acosBbsin0a+bB.M1D.M 與 1 大小關(guān)系不定22222aa解析 cosBg a+ sinBg b= cosBg a+ (1 cosBig b= cosBg+ lg blg+ lg b=Ig alg(a+ b)，故選 A.答案 A3.lg 9 lg11 與 1 的大小關(guān)系是_ .解析 lg 9lg 1K 呼耳呼

3、9 2化仁答案 lg 9 lg 110，ab+ bc+ ca0，abc0.求證：a0, b0, c0.證明假設(shè) a、b、c 不全是正數(shù)，即至少有一個(gè)小于或等于 0.又 abc0，不妨假設(shè) a0，則 bc a0，. a(b+ c)0. a(b+ c)0，又Ibc0，. bc+ a(b+ c)0.即 ab+ bc+ ca0 矛盾.假設(shè)不成立.故 a0，b0，c0 成立.反思感悟：用反證法證明不等式，其實(shí)質(zhì)是從否定結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理， 導(dǎo)出與已知條件或公理相矛盾的結(jié)論，從而肯定原命題成立.話一變式遷移1 11.設(shè) a0，b0，且 a+ b =石+ 證明：(1)a+ b 2；a2+ av2 與 b

4、2+ bv2 不可能同時(shí)成立.11 a+ b證明 由 a+ b= + = ab ， a0， b0，得 ab= 1.(1)由基本不等式及 ab= 1,有 a+ b2 . ab= 2, 即卩 a+ b2.222假設(shè) a + av2 與 b + bv2 同時(shí)成立，則由 a + av2 及 a0,得 0vav1；同理，Ovbv1,從而 abv1,這與 ab= 1 矛盾.故 a2+ av2 與 b2+ bv2 不可能 同時(shí)成立 知識(shí)點(diǎn) 2 放縮法證明不等式【例 2】 設(shè) 1X2+2X3+-+n(n+1),證明 1?+ ,鳥2+ nnni 二3+5+.+2ni2 2+2+ +213 5 2n+1+ + +

5、 2+2+2+2(n+ 1)2反思感悟：用放縮法證明不等式的過程中，往往采用“添舍”放縮、分項(xiàng)放縮、 函數(shù)的單調(diào)性放縮、重要不等式收縮等，放縮時(shí)要注意適度，否則不能同向傳遞.2.求證:1+ 2+壬+十豐2 (n N ).1 1 1 1 1證明1+藝+孑+十孑1+代+耳+門5 1）1=2一 c，求證：a , bc+ 證明 a+ bc，. a+ b c0，由真分?jǐn)?shù)的性質(zhì):c c+( a+ b c)a+ b求證：不等式n（n+1）Si25 對(duì)所有的正整數(shù) n 都成立.=1 + 2+-+ n =n (n+ 1)(n+ 1)2 =1 + c 1 + c+( a+ b c)1 + a+ bb a b1 +

6、 a+ b 1+a+i+L亠+ 亠1 + a 1+ b 1 + C反思感悟：函數(shù)的單調(diào)性和“真分?jǐn)?shù)的分子、分母同加上一正數(shù)，所得新分?jǐn)?shù) 的值變大”的性質(zhì)都是放縮的重要依據(jù)話變式遷移13 5 2n 1*3.求證：2+ 4+ 8+2no， S3,即1+ 4 + !+2；n12)，則()a 2a1 + a+ b+隨堂演練1.設(shè) a、b、c R , P = a+ b c, Q = b+ c a, R= c+ a b,貝 U PQR0 是 P、Q、R 同時(shí)大于零”的（）A.充分而不必要條件C.充分且必要條件解析必要性是顯然成立的 當(dāng) PQR0 時(shí)，若 P，Q，R 不同時(shí)大于零，則其中兩個(gè)為負(fù)，一個(gè)為正，

7、不妨設(shè)P0，Q0，R0,則 Q + R= 2c0 矛盾，即充分性也成立.答案 C的取值范圍是_ .答案(1，2)33223.用反證法證明：如果 a，b 為正數(shù)，則 a + b a b+ ab . 證明 假設(shè) a3+ b3a2b+ab2，則 a3+ b3 a2b ab20.二 a2(a b)- b2(a b)0 即(a b)2(a+ b) 0， a+ b a2b+ ab2.11_1 + |b|+1 + |a|1+|a|+1 + |b|_ (1+|a|)( 1 + |b|)1 + |a|+|b|+ 11+ |a|+ |b|+ 11+ |a| + |b|+ |ab| 1+ |a|+ |b|戸課時(shí)作業(yè)

8、全 課后鞏固區(qū)2 1基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)B.必要而不充分條件D.既不充分又不必要條件2.已知 a，b，c，d 都是正數(shù),ab4 a+j+cc+d+a+dd + a+ c4.求證:1_1 + |a|+11 + |a+ b|.證明11+ |a| + |b|11 + |a+ b|.A.pq B.pvq C.pqD.pWqx4.設(shè) x0 , y0, A=x + y1+ x+ y，1+ x+y1 + y，則 A 與 B 的大小關(guān)系為1解析Tp= (a 2)+ 2,又 a 20,a 2p2+ 2= 4,而 q = 2 (a 2)2+ 2,根據(jù) a2,可得 qq.答案 A1 12.不等式 ab 與 a1能同時(shí)成立的充要

9、條件是()A.ab0B.a0bJ 1 cC匚 0 a b解析 充分性顯然.下面用反證法說明必要性1 1若 a, b 同號(hào)且 ab,則有-b 與-匚同時(shí)成立，a b a, b 只能異號(hào)，即 a0b.答案 B3.若 f(x) =, a, b 都為正數(shù)，A=) G = f/ab), H = f+: J,則()A.AGwHC.GHwA解析Ta, b 為正數(shù)，a+ b, ab ab 2ab- 2ab=_abab = a+ b，2又Tf(X) =為單調(diào)減函數(shù),f譽(yù)#f(融)wfg+y,AwGwH.答案 AB.Am 時(shí)，求證:證明由已知得：xim|a|,|x|m |b|, |xim 1,2 2 M2m2 |

10、b| 1= |b|故原不等式成立.綜合提高7.已知 a+ b+ c0,ab+ bc+ ca0, abc0,貝 U a, b, c 三數(shù)()A. 全為正數(shù)B. 至多有兩個(gè)為正數(shù)C. 至多有一個(gè)為正數(shù)D. 全為負(fù)數(shù)解析假設(shè) a, b, c 不全為正數(shù)， abc0，二有兩個(gè)負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè) a, b 為負(fù)數(shù)，c 為正數(shù)，a+ b+ c0, c (a+ b)0,2又Tab+ bc+ ca0,ab (bc+ ca)= c(a+ b) (a+ b),a b一+Pa+bx xxx2,xvXV解析TA=+(x0, y0)+= B,. A4ab 矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，二 a, b, c 全為正數(shù).選 A.答案

11、A8.若實(shí)數(shù) mn,正數(shù) ab,A=(an+ bn)m, B= (am+ bm)n,則(A.ABB. AvBC. A 與 B 的大小關(guān)系由 m 與 n 的差決定D. A與 B的大小關(guān)系由 a 與 b 的差決定解析B= (am+ bm)n=外+界)卜 amn”+ 魯嚴(yán).1+ bnmi+ bmn，即 AB，故選 A.答案 A9 若|a|1，|b|0 時(shí)，|a+ b|+ |a b 匸 |(a+ b) + (a b)匸 2|a|2； 當(dāng)(a+ b)(a b)0 時(shí)，|a+ b|+ |a b 匸 |(a+ b) (a b)匸 2|b|2.綜上，|a + b|+ |a b|2.答案 |a+ b|+|a b|b00bn，A= (an+ bn)m=0,11. 已知 a，b，c R，a+ b+ c= 0，abc= 1，求證：a，b，c 中至少有一個(gè)大于 證明Iabg 10，二 a，b，c 都為正，或者 a，b，c 中有一正二負(fù).又 a+ b+ c a, b, c 中只能是一正二負(fù)、