矩陣的逆的研究及應用.

1、矩陣的逆的研究及應用摘要本文主要是對高等代數(shù)中的矩陣的逆進行研究，更深一步地了解矩陣的逆在數(shù)學領(lǐng)域中的重要地位和各方面的應用。首先總結(jié)闡述矩陣的逆的相關(guān)定義、定理和性質(zhì)，并且對其給出相應的證明，然后歸納了矩陣的逆的幾種常見求法，最后講述了矩陣的逆在以下兩個方面的應用：解線性方程組和保密通信，而且例舉了具體的應用實例。關(guān)鍵詞：矩陣 矩陣的逆 線性方程組 保密通信Research and application of inverse matrixSummary: This paper mainly research on the inverse of the matrix in higher al

2、gebra, deeper understanding of the inverse of the matrix in all aspects of the important position in the field of mathematics and application. First summarized in this paper, the related definitions, theorems and properties of the inverse of the matrix, and the corresponding proofs are given, and th

3、en sums up several kinds of common method of inverse of the matrix, and finally tells the inverse of the matrix in the application of the following two aspects: solving system of linear equations and secure communications, and illustrates the concrete application examples. Key Words: matrix , invers

4、e of a matrix ,linear system of equaton, secure communication.一 矩陣的逆的一些背景在以往線性方程組的討論中我們看到，線性方程組的一些重要性質(zhì)反映在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上，并且解方程組的也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過程。除線性方程組之外，還有大量的各種各樣的問題也都提出矩陣的概念，并且這些問題的研究常常反映為有關(guān)矩陣的某些方面的研究，甚至于有些性質(zhì)是完全不同的、表面上完全沒有聯(lián)系的問題，歸結(jié)成矩陣的問題以后卻是相同的。這就使矩陣成為數(shù)學中一個極其重要的應用廣泛的概念，因而也就使矩陣成為代數(shù)特別是線性代數(shù)的一個主要研究對象。而矩陣的

5、逆正是矩陣理論中一個很重要的概念，也是極難理解的一部分，在矩陣理論中占有非常重要的地位，對矩陣的逆的研究自然也就成為高等代數(shù)研究的主要內(nèi)容之一。然而在很多線性代數(shù)教科書中矩陣的逆的應用知識點幾乎沒有涉及到，以至于很多學生錯誤的認為所學東西沒有多大的用處。為了矩陣的逆在解決矩陣問題中起著很重要的作用，不能只停留在抽象的概念結(jié)論中，而應對所學知識進一步認識，深刻理解，掌握矩陣的逆的本質(zhì)，本文總結(jié)了矩陣的逆相關(guān)定義、定理、性質(zhì)和它的幾種常見的求法，進而更進一步提供了實際應用例子，體現(xiàn)出矩陣的逆的重要性和應用性。二 矩陣的逆的定義、定理及性質(zhì) 21 矩陣的逆的定義利用矩陣的乘法和矩陣相等的含義，可以把

6、線性方程組寫成矩陣形式。對于線性方程組 (1)令 則方程組可寫成。方程是線性方程組的矩陣表達形式，稱為矩陣方程。其中稱為方程組的系數(shù)矩陣，稱為未知矩陣，稱為常數(shù)項矩陣。這樣，解線性方程組的問題就變成求矩陣方程中未知矩陣的問題。類似于一元一次方程的解可以寫成，矩陣方程的解是否也可以表示為的形式？如果可以，則可求出，但的含義和存在的條件是什么呢？下面來討論這些問題。定義1 級方陣稱為可逆的，如果有級方陣，使得 （2）這里是級單位矩陣。 首先我們指出，由于矩陣的乘法規(guī)則，只有方陣才能滿足（2）；其次，對于任意的矩陣，適合等式（2）的矩陣是唯一的（如果有的話）。事實上，假設(shè)是兩個適合（2）的矩陣，就有

7、定義2 如果矩陣適合（2），那么就稱為的逆矩陣，記為。定義3 設(shè)是矩陣中元素的代數(shù)余子式，矩陣稱為的伴隨矩陣。由行列式按一行（列）展開的公式立即得出： （3）其中如果，那么由（3）得 （4）2.2 矩陣的逆的定理和性質(zhì)定理1 矩陣是可逆的充分必要條件是非退化，而證明：當，由（4）可知可逆，且 （5）反過來，如果可逆，那么有使，兩邊取行列式，得 （6）因而,即非退化。由以上定理，我們可得出逆矩陣的一些性質(zhì)，如下：1、2、設(shè)是級矩陣，則可逆的充要條件是存在級矩陣，使3、4、設(shè)和都是級矩陣且可逆，則也可逆，且5、若，可逆，則也可逆，且6、如果可逆，則也可逆，且7、如果可逆，則也可逆，且定理2 是一個

8、矩陣，如果是可逆矩陣，是可逆矩陣，那么證明：令，則但是由又有所以另一個等式可以同樣地證明。三 矩陣的逆的求法3.1 定義法例1.設(shè)方陣滿足方程，證明：都可逆，并求它們的逆矩陣。證明：由，得到。故可逆，而且。又由，得到，即。故可逆，而且。3.2 公式法定理3 階方陣可逆的充分必要條件是非奇異矩陣，而且 .例2.已知，求解：由題可解得所以可逆，且故經(jīng)檢驗3.3 初等變換法定義4 一個矩陣的行(列)初等變換是指矩陣施行的下列變換：(1)交換矩陣的某兩行(列);(2)用一個非零的數(shù)乘矩陣的某一行(列)，即用非零的數(shù)乘矩陣的某一行(列)的每一個元素；(3)給矩陣的某一行(列)乘以一個數(shù)后加到另一行(列)

9、上，即用某一個數(shù)乘矩陣某一行(列)的每一個元素后加到另一行(列)上的對應元素上。定義5 由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。(1)初等行變換如果階方陣可逆，作一個的矩陣，然后對此矩陣進行初等行變換，使矩陣化為單位矩陣，則同時就化為了，即經(jīng)過初等行變換變?yōu)?。?用初等行變換求矩陣的逆矩陣。解：所以。(2)初等列變換如果階方陣可逆，作一個的矩陣，然后對此矩陣進行初等列變換，使矩陣化為單位矩陣，則同時就化為了，即經(jīng)過初等行變換變?yōu)?。?用初等列變換求矩陣的逆矩陣。解：所以3.4 分塊矩陣法分塊對角矩陣求逆：對于分塊對角（或次對角）矩陣求逆可套用公式其中均為可逆矩陣。例：已知，求解：將分

10、塊如下：其中而從而四 矩陣的逆的應用無論是矩陣的逆的性質(zhì)還是矩陣的逆的求法，都是數(shù)學領(lǐng)域中的一個研究方向。接下來我們將分析矩陣的逆的應用，探索矩陣的逆的巨大作用。4.1 在解線性方程組的應用 求解線性方程組是數(shù)學中的一大熱點，也是難點。給定方程組 (7)把給定的線性方程組的系數(shù)按行列排成數(shù)表，稱為矩陣，記作： 為了利用矩陣乘積的性質(zhì)，我們把線性方程組式中的系數(shù)項、變量項、常數(shù)項以矩陣的形式表示出來： 矩陣方程在形式上與最簡單的代數(shù)方程非常類似，分析代數(shù)方程的求解過程，對于求解矩陣方程會有很大的幫助。當時，存在著的倒數(shù)，以乘方程的兩端。由于，所以得到方程的解：。如果對階方陣也定義它的逆方陣，使之

11、滿足，那么，用乘矩陣方程的兩端就得到方程的解。那么，只要求出系數(shù)矩陣的逆方陣，線性方程組的解也就出來了。根據(jù)逆矩陣的性質(zhì)，得到逆矩陣的條件及表達式。階方陣可逆的充分必要條件是，并且可逆時，的逆矩陣可表示為。4.2 在保密通信中的應用4.2.1 加密保密通信模型保密通信是新時代一個非常重要的話題，越來越多的科學研究者為此做了大量的工作，先后提出了許多較為有效的保密通信模型。其中，基于加密技術(shù)的保密通信模型是其中最為基本而且最具活力的一種?；诩用芗夹g(shù)的保密通信模型如下： 發(fā)送方采用某種算法將明文數(shù)據(jù)加密轉(zhuǎn)換成密文數(shù)據(jù)后發(fā)送給接收方，接收方則可以采用對應的某種算法將密文數(shù)據(jù)解密轉(zhuǎn)換成明文數(shù)據(jù)。4.

12、2.2 在保密通信中的應用從模型中可以看出，一種加密技術(shù)是否有效，關(guān)鍵在于密文能否還原成明文。設(shè)有矩陣方程，其中為未知矩陣。我們知道，如果為可逆矩陣，則方程有唯一解，其中是的逆矩陣。因此，可逆矩陣可以有效地應用于加密技術(shù)。設(shè)為可逆矩陣，為明文矩陣，為密文矩陣。加密算法加密時，采用下面的矩陣乘法：例如，設(shè)加密密鑰矩陣為，明文矩陣為，則密文矩陣等于解密算法解密時，采用下面的矩陣乘法：其中，是的逆矩陣。 例如，針對上面的加密密鑰矩陣，解密密鑰矩陣為如果密文矩陣為，則相應的明文矩陣應等于加密矩陣的生成初等矩陣是可逆的，而且初等矩陣的矩陣也是可逆的。因此，通信中可以考慮利用若干個初等矩陣的成績乘積作為編碼矩陣。它的生成方法如下：從單位矩陣出發(fā)，反復利用第一類和第三類初等變換去乘它，而其中的乘數(shù)必須取整數(shù)。這樣得到的矩陣將滿足，而也將具有整數(shù)元素。應用實例例：小明的朋友給小強發(fā)來一封密信，他有一個三階矩陣：，他們約定：消息的每一個英文字母用一個整數(shù)來表示：約好的密碼矩陣是：，試求小明的朋友發(fā)來的密信的內(nèi)容。解：試求密信內(nèi)容，先假設(shè)密信內(nèi)容矩陣為，則：或 即 或 然后利用軟件求解此題，容易得到滿足題意的只有一個矩陣：由英文字母與整數(shù)間的對應可得到密信內(nèi)容為“I LOVE