【步步高】2014屆高三數(shù)學大一輪復(fù)習 專題四 數(shù)列的綜合應(yīng)用教案 理 新人教A版

1、專題四數(shù)列的綜合應(yīng)用1等比數(shù)列與等差數(shù)列比較表不同點相同點等差數(shù)列(1)強調(diào)從第二項起每一項與前一項的差；(2)a1和d可以為零；(3)等差中項唯一(1)都強調(diào)從第二項起每一項與前一項的關(guān)系；等比數(shù)列(1)強調(diào)從第二項起每一項與前一項的比；(2)a1與q均不為零；(3)等比中項有兩個值(2)結(jié)果都必須是同一個常數(shù)；(3)數(shù)列都可由a1，d或a1，q確定2. 數(shù)列常與不等式結(jié)合，如比較大小、不等式恒成立、求參數(shù)范圍等，需熟練應(yīng)用不等式知識解決數(shù)列中的相關(guān)問題數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長率、銀行信貸、分期付款、合理定價等3 解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟(1)審題仔細閱讀材料，

2、認真理解題意(2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(數(shù)列)語言，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征(3)求解求出該問題的數(shù)學解(4)還原將所求結(jié)果還原到原實際問題中4 數(shù)列應(yīng)用題常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化時，應(yīng)考慮是an與an1的遞推關(guān)系，還是Sn與Sn1之間的遞推關(guān)系1 在等比數(shù)列an中，an>0，a2a42a3a5a4a625

3、，則a3a5的值為_答案5解析設(shè)首項為a1，公比為q，則a1>0，q>0，a2a42a3a5a4a6aq42aq6aq8aq4(1q2)225.a1q2(1q2)5，a3a5a1q2a1q4a1q2(1q2)5.2 已知等差數(shù)列的公差d<0，前n項和記為Sn，滿足S20>0，S21<0，則當n_時，Sn達到最大值答案10解析S2010(a1a20)10(a10a11)>0，S2121a11<0，a10>0，a11<0，n10時，Sn最大3 設(shè)等差數(shù)列an的各項均為整數(shù)，其公差d0，a56，若a3，a5，am (m>5)是公比為q (q

4、>0)的等比數(shù)列，則m的值為_答案11解析由題意，得a362d，因為q，所以3d；因為q大于零，所以3d是大于零的整數(shù)，q.由題意知，數(shù)列an各項均為整數(shù)，故d，q均應(yīng)為整數(shù)當3d>3,3dZ時，q不為整數(shù)，故3d只能取1,3.當3d3時，d0，不滿足條件；故3d1，此時d2，q3，滿足條件所以q3，d2，因此6×3am6(m5)×2，所以m11.4 設(shè)數(shù)列an是公差大于0的等差數(shù)列，a3，a5分別是方程x214x450的兩個實根則數(shù)列an的通項公式是an_；若bn，則數(shù)列bn的前n項和Tn_.答案2n12解析因為方程x214x450的兩個根分別為5、9，所以由

5、題意可知a35，a59，所以d2，所以ana3(n3)d2n1.bnn·，Tn1×2×3×(n1)×n·Tn1×2×(n1)×n·得，Tnn·1，所以Tn2.5 等比數(shù)列an中，a12，a84，函數(shù)f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，則f(0)等于()A26 B29 C212 D215答案C解析f(x)x·(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)··(xa8)·x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)

6、3;x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因為數(shù)列an為等比數(shù)列，所以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f(0)84212.題型一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例1在等差數(shù)列an中，a1030，a2050.(1)求數(shù)列an的通項an；(2)令bn2an10，證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列審題視角第(1)問列首項a1與公差d的方程組求an；第(2)問利用定義證明(1)解由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程組解得an12(n1)·22n10.(2)證明由(1)，得bn2an1022n101022n4n，4，bn是首項是4，公比q4的等比數(shù)列探究提高對

7、等差、等比數(shù)列的綜合問題的分析，應(yīng)重點分析等差、等比數(shù)列的通項及前n項和；分析等差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法 數(shù)列an的前n項和記為Sn，a11，an12Sn1 (n1)(1)求an的通項公式；(2)等差數(shù)列bn的各項為正，其前n項和為Tn，且T315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比數(shù)列，求Tn.解(1)由an12Sn1，可得an2Sn11 (n2)，兩式相減得an1an2an，則an13an (n2)又a22S113，a23a1.故an是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，an3n1.(2)設(shè)bn的公差為d，由T315，b1b2b315，可得b25，故可設(shè)b15d，b

8、35d，又a11，a23，a39，由題意可得(5d1)(5d9)(53)2，解得d12，d210.等差數(shù)列bn的各項為正，d>0，d2，b13，Tn3n×2n22n.題型二數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用例2已知函數(shù)f(x)log2xlogx2(0<x<1)，數(shù)列an滿足f(2an)2n (nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)判斷數(shù)列an的單調(diào)性思維啟迪：(1)將an看成一個未知數(shù)，解方程即可求出an；(2)通過比較an和an1的大小來判斷數(shù)列an的單調(diào)性解(1)由已知得log22an2n，an2n，即a2nan10.ann±.0<x<1，0<

9、2an<1，an<0.ann.(2)方法一an1an(n1)(n)1>10，an1>an，an是遞增數(shù)列方法二<1，又an<0，an1>an，an是遞增數(shù)列探究提高本題融數(shù)列、方程、函數(shù)單調(diào)性等知識為一體，結(jié)構(gòu)巧妙、形式新穎，著重考查邏輯分析能力 等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知對任意的nN*，點(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b>0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當b2時，記bn(nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)由題意，Snbnr，當n2時，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)由于b>0且b1

10、，所以n2時，an是以b為公比的等比數(shù)列又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以bn.Tn，Tn，兩式相減得Tn，故Tn，nN*.題型三數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用例3(2012·廣東)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差數(shù)列(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有<.思維啟迪：根據(jù)前幾項關(guān)系易求a1，可以構(gòu)造數(shù)列求an，進而利用放縮法證明不等式(1)解a1，a25，a3成等差數(shù)列，2(a25)a1a3.又2Snan12n11，2S1

11、a2221,2S2a3231，2a1a23,2(a1a2)a37.由得a11.(2)解2Snan12n11，當n2時，2Sn1an2n1.得2anan1an2n12n，an13an2n.兩邊同除以2n1得·，1.又由(1)知1，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，1·n1n，an3n2n，即數(shù)列an的通項公式為an3n2n.(3)證明an3n2n(12)n2nC·1n·20C·1n1·21C·1n2·22C·10·2n2n12n2(n2n)2n2n>12n2(n2n)12n2>2n2&

12、gt;2n(n1)，<·，<111<，即<. 已知數(shù)列an滿足a1，an1an2an1an，Sn表示數(shù)列an前n項和求證：Sn<1.證明由a10易知，對于任意的n，an0，原式化為1，12.令bn1，b12，bn12bn，數(shù)列bn是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，即bn12n，所以an，故Sna1a2an<1<1.題型四數(shù)列的實際應(yīng)用例4某市2008年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房，預(yù)計在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米那么，到哪一年

13、底：(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2008年為累計的第一年)將首次不少于4 750萬平方米？(2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？(參考數(shù)據(jù)：1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59)思維啟迪：關(guān)鍵信息：每年新建住房面積平均比上一年增長8%，說明新建住房面積構(gòu)成等比數(shù)列模型；中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米，說明中低價房的面積構(gòu)成等差數(shù)列模型解(1)設(shè)中低價房面積形成數(shù)列an，由題意可知an是等差數(shù)列，其中a1250，d50，則Sn250n×5025n2225n，令25n2225n4 750，即n29n1900，而n

14、是正整數(shù)，n10.到2017年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4 750萬平方米(2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列bn，由題意可知bn是等比數(shù)列，其中b1400，q1.08，則bn400×(1.08)n1.由題意可知an>0.85bn，有250(n1)×50>400×(1.08)n1×0.85.當n5時，a5<0.85b5，當n6時，a6>0.85b6，滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6.到2013年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.探究提高解決此類問題的關(guān)鍵是如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，

15、通過反復(fù)讀題，列出有關(guān)信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關(guān)問題，這恰好是數(shù)學實際應(yīng)用的具體體現(xiàn) 今年“十一”期間，北京十家重點公園將舉行免費游園活動，北海公園免費開放一天，早晨6時30分有2人進入公園，接下來的第一個30分鐘內(nèi)有4人進去1人出來，第二個30分鐘內(nèi)有8人進去2人出來，第三個30分鐘內(nèi)有16人進去3人出來，第四個30分鐘內(nèi)有32人進去4人出來按照這種規(guī)律進行下去，到上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)是 ()A21147 B21257C21368 D21480答案B解析由題意，可知從早晨6時30分開始，接下來的每個30分鐘內(nèi)進入的人數(shù)構(gòu)成以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，出來的人數(shù)構(gòu)造以1為首項，1為公差

16、的等差數(shù)列，記第n個30分鐘內(nèi)進入公園的人數(shù)為an，第n個30分鐘內(nèi)出來的人數(shù)為bn，則an4×2n1，bnn，則上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)為S221257.用構(gòu)造數(shù)列的思想解題典例：(12分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1，an2Sn·Sn1 (n2)(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)求證：SSS.審題視角(1)從求證內(nèi)容來看，首先要求出Sn.(2)從Sn與Sn1的遞推關(guān)系來看，可考慮構(gòu)造新數(shù)列.(3)可考慮用放縮法證明規(guī)范解答(1)解an2Sn·Sn1 (n2)，SnSn12Sn·Sn1.兩邊同除以Sn·Sn1，得2 (n2

17、)，2分數(shù)列是以2為首項，以d2為公差的等差數(shù)列，3分(n1)·d22(n1)2n，Sn.5分將Sn代入an2Sn·Sn1，得an6分(2)證明S< (n2)，S，當n2時，SSS<；10分當n1時，S.綜上，SSS.12分溫馨提醒(1)在數(shù)列的解題過程中，常常要構(gòu)造新數(shù)列，使新數(shù)列成為等差或等比數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列可以使題目變得簡單，而構(gòu)造新數(shù)列要抓住題目信息，不能亂變形(2)本題首先要構(gòu)造新數(shù)列，其次應(yīng)用放縮法，并且發(fā)現(xiàn)只有應(yīng)用放縮法才能用裂項相消法求和，從而把問題解決事實上：<，也可以看成一個新構(gòu)造：bn.(3)易錯分析：構(gòu)造不出新數(shù)列，從而使思維受阻不會

18、作不等式的放縮.方法與技巧1用好等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可以降低運算量，減少差錯2理解等差數(shù)列、等比數(shù)列定義、基本量的含義和應(yīng)用，體會兩者解題中的區(qū)別3注意數(shù)列與函數(shù)、方程、三角、不等式等知識的融合，了解其中蘊含的數(shù)學思想4在現(xiàn)實生活中，人口的增長、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計算、分期付款問題等，都可以利用數(shù)列來解決，因此要會在實際問題中抽象出數(shù)學模型，并用它解決實際問題失誤與防范1等比數(shù)列的前n項和公式要分兩種情況：公比等于1和公比不等于1.最容易忽視公比等于1的情況，要注意這方面的練習2數(shù)列的實際應(yīng)用問題，要學會建模，對應(yīng)哪一類數(shù)列，進而求解A組專項基礎(chǔ)訓練(時間：35分鐘，滿分

19、：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (2011·安徽)若數(shù)列an的通項公式是an(1)n·(3n2)，則a1a2a10等于()A15 B12 C12 D15答案A解析an(1)n(3n2)，a1a2a10147102528(14)(710)(2528)3×515.2 設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a111，a4a66，則當Sn取最小值時，n等于 ()A6 B7 C8 D9答案A解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由a4a66得2a56，a53.又a111，3114d，d2，Sn11n×2n212n(n6)236，故當n6時Sn取最小值3 已知函數(shù)

20、f(x)若數(shù)列an滿足anf(n) (nN*)，且an是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是 ()A. B.C(2,3) D(1,3)答案C解析數(shù)列an滿足anf(n) (nN*)，則函數(shù)f(n)為增函數(shù)，注意a86>(3a)×73.所以解得2<a<3.4 (2012·湖北)定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)，如果對于任意給定的等比數(shù)列an，f(an)仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數(shù)：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln |x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為()A B C D答

21、案C解析利用特殊化思想，選an2n判定不妨令an2n.因為f(x)x2，所以f(an)4n.顯然f(2n)是首項為4，公比為4的等比數(shù)列因為f(x)2x，所以f(a1)f(2)22，f(a2)f(4)24，f(a3)f(8)28，所以416，所以f(an)不是等比數(shù)列因為f(x)，所以f(an)()n.顯然f(an)是首項為，公比為的等比數(shù)列因為f(x)ln |x|，所以f(an)ln 2nnln 2.顯然f(an)是首項為ln 2，公差為ln 2的等差數(shù)列故應(yīng)選C.二、填空題(每小題5分，共15分)5 (2011·江蘇)設(shè)1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)

22、列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_答案解析由題意知a3q，a5q2，a7q3且q1，a4a21，a6a22且a21，那么有q22且q33.故q，即q的最小值為.6 已知數(shù)列an滿足a11，a22，an2，則該數(shù)列前26項的和為_答案10解析由于a11，a22，an2，所以a31，a4，a51，a62，所以an是周期為4的數(shù)列，故S266×1210.7對正整數(shù)n，若曲線yxn (1x)在x2處的切線與y軸交點的縱坐標為an，則數(shù)列的前n項和為_答案2n12解析yxn(1x)xnxn1，ynxn1(n1)xn，當x2時，切線的斜率k(n2)2n1，在x2處的切線方

23、程為y2n(n2)2n1(x2)，令x0可得y(n1)2n，即an(n1)2n，2n，即數(shù)列為等比數(shù)列，其前n項和Sn2n12.三、解答題(共22分)8 (10分)(2011·大綱全國)設(shè)數(shù)列an滿足a10且1.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn，記Snk，證明：Sn<1.(1)解由題設(shè)1，即是公差為1的等差數(shù)列，又1，故n.所以an1.(2)證明由(1)得bn，Snk1<1.9 (12分)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求使Snn·2n1&

24、gt;50成立的最小正整數(shù)n的值解(1)設(shè)此等比數(shù)列為a1，a1q，a1q2，a1q3，其中a10，q0.由題意知：a1qa1q2a1q328，a1qa1q32(a1q22)×7得6a1q315a1q26a1q0，即2q25q20，解得q2或q.等比數(shù)列an單調(diào)遞增，a12，q2，an2n.(2)由(1)得bnn·2n，Snb1b2bn(1×22×22n·2n)設(shè)Tn1×22×22n·2n，則2Tn1×222×23n·2n1.由，得Tn1×21×221·2

25、nn·2n12n12n·2n1(1n)·2n12，Tn(n1)·2n12.Sn(n1)·2n12.要使Snn·2n1>50成立，即(n1)·2n12n·2n1>50，即2n>26.2416<26,2532>26，且y2x是單調(diào)遞增函數(shù)，滿足條件的n的最小值為5.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 已知數(shù)列an的通項公式為anlog2 (nN*)，設(shè)其前n項和為Sn，則使Sn<5成立的自然數(shù)n ()A有最小值63 B有最大值63C有

26、最小值31 D有最大值31答案A解析anlog2log2(n1)log2(n2)，Sna1a2anlog22log23log23log24log2(n1)log2(n2)1log2(n2)，由Sn<5，得log2(n2)>6，即n2>64，n>62，n有最小值63.2 已知數(shù)列an滿足3an1an4 (nN*)且a19，其前n項和為Sn，則滿足不等式|Snn6|<的最小正整數(shù)n是 ()A5 B6 C7 D8答案C解析由3an1an4得，an11(an1) (運用構(gòu)造數(shù)列法)，an1是以a118為首項，為公比的等比數(shù)列，an18·n1，an8×n

27、11.Sn8n8×n6n×6n，|Snn6|n×6<，即3n>750.將n5,6,7分別代入驗證符合題意的最小正整數(shù)n7.3 設(shè)函數(shù)f(x)xmax的導(dǎo)函數(shù)f(x)2x1，則數(shù)列 (nN*)的前n項和是()A. B. C. D.答案A解析由f(x)mxm1a2x1得m2，a1.f(x)x2x，則.Sn11.二、填空題(每小題5分，共15分)4 已知數(shù)列an滿足a133，an1an2n，則的最小值為_答案解析an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12(n1)(n2)13333n2n，所以n1.設(shè)f(x)x1，則f(x)1.令f(x)>0，得x>或x<.所以f(x)在(，)上是增函數(shù)，在(0，)上是減函數(shù)因為nN*，所以當n5或n6時，f(n)取最小值因為f(5)，f(6)，>，所以的最小值為.5 在等比數(shù)列an中，Sn為其前n項和，已知a52S43，a62S53，則此數(shù)列