高中生物學教學中常用的數學原理

1、高中生物學教學中常用的數學原理、函數原理1. 正比例函數例 1 調查某草原的田鼠數量時，在劃定的1ha 的調查區(qū)內，設置100 個捕鼠籠，一夜間捕獲田鼠32 只，將捕獲的田鼠經標記后在原地釋放.數日后，在同一地方再放置同樣數量的捕鼠籠，這次共捕獲30 只，其中有上次標記的個體10只 . 請回答下列問題：1 1）求該地區(qū)田鼠種群的個體總數.2 2）若某種群有成鼠a 頭（計算時作為親代），每頭雌鼠一生產仔16只，各代雌雄比例均為1 ： 1,則從理論上計算，第n 代產生的子代數是多少？簡析 （ 1）第1 個問題可利用重捕標志法，根據樣本來估計待查區(qū)田鼠種群的個體數.標志重捕法的理論依據是數學中的正比

2、例函數.設該地區(qū)田鼠種群總數為 y,第一次捕獲的數量為 x 只（全部標志再放掉），第二次再捕獲的數量為 a 只，其中帶標志的有b 只，有 y x = a b ，因為 a b為定值，所以y 是 x 的正比例函數，這也說明在某地區(qū)捕到的動物越多，該地區(qū)此種動物的量就越多.把 a=30， b=10，x=32分別代入y= a b x中，則y=96,即為該地區(qū)田鼠種群的 總數 .（ 2）由題意可知，田鼠的增長量符合理想條件種群數量增長類型的“ J”型曲線，“J”型曲線表示一個指數函數： Nt=N0入t,此函數反映的是理想條件下莫種群的初始數量是 N0,經過時間t后，以增長率入連續(xù)增長達到的種群總數Nt的

3、過程，得出t=n, N0=a.因止匕，解題的關鍵是求由 人.由于一只雌鼠一 生產仔16只，且各代雌雄比為 1 ： 1,只有雌鼠才能產仔， 即每只雌鼠一生都可產生8只雌鼠，故人=8,所以，Nn=a8n,即第 n 代產生的子代數為a8n.3 .極值問題例 2 在一個草原生態(tài)系統(tǒng)中，草為生產者，鼠是初級消費者，進入該生態(tài)系統(tǒng)的總能量為m.問在“草一一鼠”食物鏈中，鼠從中獲得的能量至多為多少？簡析 從數學角度看，鼠與草的能量關系是函數關系，如果以常數n 代表能量傳遞效率，消費者營養(yǎng)級的數量為自變量x,則鼠獲得的能量可用函數表示：y=m?nx.n的取值范圍是：10%w nW 20%,為大于或等于 1的正

4、整數.4 .單調性和單調區(qū)間問題例 3 在實驗條件下，測試某種恒溫動物離體細胞的呼吸強度 E 受溫度變化的影響，如圖1.圖1其結果正確的是() .簡析 這是事物的單調性和單調區(qū)間的關系問題.恒溫動物離體細胞的活性隨著溫度的升高而逐漸增強，到達最適溫度時酶的活性最強. 隨著溫度的逐漸上升，當超過最適溫度時，酶的活性受到抑制，使之變性甚至失去活性.結合單調性和單調區(qū)間的關系，應當選擇C.二、集合原理圖2例4 一對夫婦，男性為色盲患者，基因型為AaXbY,女子表現(xiàn)正常，基因型為AaXBXb， aa 表示白化個體.求他們的子代患病的概率及子代患一種病的概率.簡析 解此題的方法并非一種，如果采用幾何分析

5、方法是最直觀、最簡便的.如圖2 所示， 可設這對夫婦所生子女為全集，記作I.子女中只患白化病或色盲的集合分別記為A、B.則AAB為子 女中既患白化病又患色盲的概率，子女患病 的概率為AUB子代只患一種病的概率為A+B-2(AAB).（ 1） 子代患病的概率為：P=AB=Pfi化+P色盲-P 白化 X P色盲=1/4+1/2-1/4 X (1/2)=5/82)子代只患一種病的概率為：P=A+B-2 (An B) =P白化+P色盲-2P白化X P色盲=1/4+1/2-2 (1/4) X ( 1/2) =1/2三、排列組合原理例 5 （ 2009 年全國中學生生物學競賽理論試題第17 題）一個二倍體

6、物種，在 A 基因座位上有10 個復等位基因，在 B基因座位上有8 個復等位基因；A、 B 兩個基因不連鎖，請問可能存在的基因型有幾種（） .A.18 種 B.1260 種 C.80 種 D.180 種簡析 假設當復等位基因為n 個時， 設復等位基因為A1 、A2、A3An. （1）以棋盤式表達之，設計棋盤式的行與列，分別表示雌配子和雄配子；（ 2） 將雌雄配子組合在一起構成合子的基因型.見下表：A1 A2 A3 AnA1 A1A1A2 A1A2 A2A2A3 A1A3 A2A3 A3A3An A1An A2An A3An AnAn（3）統(tǒng)計表2所示棋盤式中的合子基因型種類：1+2+3+n=n

7、（ n+1） /2（種） ，其中：對角線上的純合子有n 種 .雜合子有n（ n-1） /2（種）.（ 4）計算復等位基因數量：由于 A 基因座位上有10個復等位基因，則基因型有：10（ 10+1） /2=55（種） ，雜合子有：10X9/2=45 （種）.B基因座位上有 8個復等位基因， 則基因型有：8 （8+1） /2 = 36 （種），雜合子有：8X7/2 = 28 （種）.由于A、B兩基因不連鎖，則基因型組合有：55X 36 = 1980 種.兩組基因型均為雜合子的概率為 45X28 = 1260種.因此， 上述題目無正確答案.四、歸納法原理例 6 基因型為Aa 的豌豆連續(xù)自交.在圖3

8、中，能夠正確表示其自交代數和純種占第n 代個體比例關系的是（）圖3簡析 此類問題宜用數學歸納法對雜合子自交后代的概率進行推算，則F1 的雜合子概率為1/2，純合子的概率也為1/2.F2的雜合子概率為（1/2） 2,直到Fn,雜合子的概率 為（1/2） n,故純合子的概率為 1- （1/2） n.在結合圖形中的 生物學含義，選擇D. 五、二項式展開原理例 7 （ 2009 高考廣東理綜卷20 題）某人群中某常染色體顯性遺傳病的發(fā)病率為19%，一對夫婦中妻子患病，丈夫正常，他們所生的子女患病概率是（） .A.10/19 B.9/19 C.1/19 D.1/2簡析 本題目的隱含條件：題目中的研究對象

9、是“某人群” ，數量較多，且隨機婚配，符合遺傳平衡，解此題涉及到二項式展開原理.妻子的基因型為 AA或Aa,通過分析兩種基因型都可生出患病的孩子，直接計算后代的患病率，需要對兩種基因型進行計算，比較復雜，本題可以反向計算后代正常的概率，計算過程是：發(fā)病率為 19%,即AA與Aa的基因型頻率之和是 19%，正常的概率（即aa 的基因型頻率）為81%，根據遺傳平衡定律（ A、 a 的基因頻率分別用p、 q 表示） ， q2=81%，則 q=9/10 ，由 p+q=1 ，可以求得，p=1/10. 丈夫正常，基因型為aa,妻子患病，基因型有 AA或Aa,兩種可能，先求妻子基因型為Aa 的概率，根據遺傳

10、平衡定律可知，基因型為Aa的概率=2pXq=2X 1/10 X 9/10=18%,但已經確定妻子是患者，因此， 妻子的基因型為Aa 的概率=（ 18%） /（ 19%） = 18/19 ，后代為表現(xiàn)正常（aa）的概率=1/2 X 18/19=9/19 ,所以這對 夫婦所生子女患病的概率是10/19.六、乘法加法原理例8對輕度智力低下（feeblemindedness）隱性基因雜合的雙親，若有4 個孩子，其情形如下，問概率各為多少？（ 1 ）全不正常（2）全部正常（3） 3 個正常 1 個低能 .簡析 假定雙親的基因型為 Ff,則各類型子女由現(xiàn)的概率是：Ff x Ff1 4 FF 2 4 Ff 1 4 ff3 4 正常