2018年高考數(shù)學二輪復(fù)習第三篇方法應(yīng)用篇專題3.6等價轉(zhuǎn)化法(講)理

1、方法六等價轉(zhuǎn)化法著名的數(shù)學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學奧林匹克參賽者發(fā)表什么叫解題的演講時提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”數(shù)學的解題過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程等價轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法通過不斷的轉(zhuǎn)化,把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題歷年高考，等價轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識，將有利于強化解決數(shù)學問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力 和技能、技巧.常見的轉(zhuǎn)化方法有以下幾種類型：（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形

2、問題；（2）換元法：運用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降幕等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題；（3）數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑;（4）等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達到化歸的目的；（5）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題，結(jié)論適合原問題.1由等與不等引起的轉(zhuǎn)化函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問題需要 方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式進行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不 等式關(guān)系

3、轉(zhuǎn)化為最值（值域）問題，從而求出參變量的范圍.例1【2018屆河北省定州中學高三下學期開學】定義：如果函數(shù)在區(qū)間卜詞上存在皿滿足,-,則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個f O）=護雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間一閒上的雙中值函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）【答案】A- /（X）= x3-二3 J（X）= 3x2-蘭【解析】55/（X）=x2-x2函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù), 區(qū)間 上存在A.B.(IDC.D.滿足亠口 -方程在區(qū)間7：真1有兩個不相等的解,12 , 6vg0)= 3xz-x - r2+ c, (0jr 0269(0)=-t + t 05(t)=2r -t0則過原點作飢巧的切線，切線斜率為中1 0

4、i i)意可知，原問題等價于與 有個交點，這個是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題2由特殊與一般引起的轉(zhuǎn)化則I2 6 -t-h解得實數(shù)的取值范圍是故答案為例2【2018屆湖北省宜昌市高三年級元月調(diào)研】已知函數(shù)個零點，則實數(shù)*的取值范圍是 _.fo?)【答案】-x2,xo，若函數(shù)g3 =-液有4【解析】若函數(shù)肌刃=f(.x)-滋有4個零點，即方程畑)=展有林解lnx，工A 0,2-x2?x 2=3 ,外接球直徑為=壓=3.=土尿= -n,3 S 82【名師點睛】正方體與其外接球的組合體比較簡單，因為正方體的中心就是外接球的球心，對于其他幾何體的外接球，再找球心時，注意球心到各個頂點的距離相等，1.若是柱體

5、，球心肯定在中截面上，再找底面外接圓的圓心，過圓心做底面的垂線與中截面的交點就是球心，2.若是錐體，可以先找底面外接圓的圓心，過圓心做底面的垂線，再做一條側(cè)棱的中垂線，兩條直線的交點就是球心，構(gòu)造平面幾何關(guān)系求半徑，3.若是三棱錐，三條側(cè)棱兩兩垂直時，也可補成長方體，長方體的外接球就是此三棱錐的外接球，這樣做題比較簡單.例7【2017課標II，理19】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD1AB = BC AD, BAD二ABC =90,E是PD的中點。2（1）證明：直線CE/平面PAB5（2）點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45，求二面角M _

6、 AB _ D的余弦值?！敬鸢浮浚?）證明略;5【解析】試題分析；取肥1的中點兀 連結(jié)EF,由題意證得CElf禾U用線面平行的判斷定理即可證得結(jié)論夕建立空間直甬坐標系，求得半平面的法向量：m =（0-,2）. =（0,0,1）.然后利用空間向量的結(jié)論 可求得二面角M-AB-D的余弦值為呼-試題解析：（1）取PA的中點F，連結(jié)EF，BF。因為E是PD的中點，所以EF/AD,EF =-AD,由.BAD =“ABC =90*得BC/AD，又21BC AD,所以EF丄BC。四邊形BCEF為平行四邊形，CE/BF。2又BF平面PAB,CE二平面PAB，故CE/平面PAB。（2）由已知得BA _ AD ,

7、以A為坐標原點，AB的方向為x軸正方向，AB為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ) -xyz,則A 0,0,0,B 1,0,0,C 1,1,0,P 0,1,. 3,PC =(1,0, - .3) , AB =(1,0,0), 設(shè)M x, y,z0：x：1則BM二x -1,y,z , PM二x,y 1,z、3,因為BM與底面ABCD所成的角為45，而H=0,0,1是底面ABCD勺法向量,又M在棱PC上，設(shè)PM PC,則所以cos(BM, n)|=sin 45,即x1 2 y2z2二0。|z|邁J(x_1 )2+y2+z227x - -, y =1,z - .3-、3，?！?+返2y 1 f舍去

8、），“76z 二2所以Mi-遲丄空L從而麗卜半丄弊設(shè)曲=（兀山=q）是平面ABM的;去向量/則m-AM=0Im AB=0,孔+2兒+伍0=0所以可取m=（Q-&2）。于是cos（msn= in=因此二面角M _應(yīng)_D的余弦值対晉o5.由數(shù)與形引起的轉(zhuǎn)化利用數(shù)形結(jié)合思想，往往可以實現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，特別是涉及函數(shù)方程與函數(shù)圖象、等問題，適時進行數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，可以達到化難為易、化繁為簡的良好效果曲線與方程+ y - 5 0y-x01py x 2蘭D例8【2018屆湖北省武漢市高三二月調(diào)研】已知實數(shù)廠丁滿足約束條件V2，若不等式門/八m E吃八 二恒成立，則實數(shù)的最大值為（）75A.

9、B.C.D.【答案】A由，解得彳27 i&z -29【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，考查目標函數(shù)，由目標函數(shù)的幾何意義可知，目標函數(shù)在點處取得最大值，r er 3在點月或點占處取得最小值 5 心=1，即E I 2. 題中的不等式即：厶門 V：巧H十+ 4y24t2+ 2 + 1則：用I比 恒成立，“、4t2+ 2t + l/3fW=原問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值,整理函數(shù)的解析式有：令，則綜上可得，實數(shù)的最大值為本題選擇A選項.應(yīng)(m) m +令，一上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增,則此時函數(shù)取得最小值，最小值為:上 單 調(diào)遞減， 在例9【2016高考新課標3】已知直線l:mx

10、y 3m -、.3 =0與圓x2y2=12交于A, B兩點，過A,B分別做丨的垂線與x軸交于C,D兩點，若AB =2廟，則|CD |=_.【答案】4【解析】因為|如|=2的，且圓的半徑為2$所臥圓心0)到直線初的跑離為=3,則由1節(jié)歲二3,解得“一卑 代入直綁的方程,得嚴鑒+遲 所V 2仏工+133以直線的傾斜角為30-,由平面幾何知識知在梯形ABDC中，| CD|=上靄=4 .cos30例10.已知點直(1,0),點P是圓C: (x+1) +y2=8上的任意一點，線段PA的垂直平分線與直線CP交于 占!;八、(I)求點 上的軌跡方程；(n)若直線y二kxm與點；：的軌跡有兩個不同的交點P和Q

11、，且原點0總在以？Q為直徑的圓的內(nèi)部， 求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(I)疋+y2=1 ； (n)-血血2I33丿【解析】(I)由題意知：|EP| =|E糾，|c耳+|EP| =2血二|CE|+|E血|=2運C直|=22x2上的軌跡是以C、二為焦點的橢圓，其軌跡方程為y2=1. 4分211y = kx m(n)設(shè)pXi,yi,Q X2,y2，則將直線與橢圓的方程聯(lián)立得：22，消去y，得:x +2y=22 2 2 2 22k 1 x 4kmx 2m -2 = 0,:0,m : 2k 1.【反思提升】通過以上問題的研究，我們可以體會到等價轉(zhuǎn)化思想方法的特點具有靈活性和多樣性在應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化的思想方法

12、去解決數(shù)學問題時，沒有一個統(tǒng)一的模式去進行它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀上進行等價轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數(shù)學語言的 翻譯；它可以在符號系統(tǒng)內(nèi)部實施轉(zhuǎn)換，即所說的恒等變形消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問題等等，都體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進行等價轉(zhuǎn)化可以說，等價轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型在數(shù)學解題中實施等價轉(zhuǎn)化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁 瑣、復(fù)雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式等； 或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，以便準確把握問題的求解過程，比如數(shù)形 結(jié)合法；或者從