2018年中考數(shù)學專題訓練——幾何題中用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”模型

1、中考專題復習一一幾何題用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”模型圓 (8)BH平分/AHC師：我們再來重點研究ABE與厶DBC,這兩個全等的三角形除了對應邊 相等，對應角相等外，還有什么共同特征呢？生：它們有同一個字母B,即同一個頂點B.師：我們也可以把DBC看作由ABE經(jīng)過怎樣的圖形運動得到？生：繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到.2引入新課師：其實我們可以給這兩個全等的三角形賦予一個模型， 叫“手拉手模型”， 誰可以將這個模型的特征再做進一步的簡化歸納呢？生：對應邊相等.師：我們可以稱之為“等線段”.生：有同一個頂點.一、教學目標：1了解并熟悉“手拉手模型”，歸納掌握其基本特征.2借助“手拉手模型”，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等

2、解決相關(guān)問題.3舉一反三，解決求定值，定角，最值等一類問題.二、教學重難點：1挖掘和構(gòu)造“手拉手模型”，學會用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等.2用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的解題方法最優(yōu)化選擇.三、教學過程：1復習舊知師：如圖，ABD,ABCE為等邊三角形，從中你能得出哪些結(jié)論？生: (1)DBF(3)(5)ABEADBCCFBAEGBAGBsDGH(4)4BFG為等邊三角形(6)ZDHA=60(7)H,G,F,B四點共師：我們可以稱之為“共頂點”.師：等線段，共頂點的兩個全等三角形，我們一般可以考慮哪一種圖形運 動？生：旋轉(zhuǎn).師：“手拉手模型”可以歸納為：等線段，共頂點，一般用旋轉(zhuǎn).1如圖，BAD中，/BAD=45,AB=

3、AD,AE丄BD于E,BC丄AD于C,貝 SAF =_ BE.2.如圖2,ABC和厶BED均為等邊三角形，ADE三點共線，若BE=2, CE=4AE=_ .3.如圖3,正方形ABCD中，/EAF=45 ,BE=3,DF=5,貝 SEF師：我們來看第1,第2題，這里面有“手拉手模型”嗎？請你找出其中 的“等線段，共頂點”.生：題1中，等線段是AC,BC,共頂點是C,AACF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90得厶BCD.題2中，等線段是AB,BC,共頂點是B,AABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60得厶CBE.師：我們再來看第3題，這里有“手拉手模型”嗎？生：沒有.師：那其中有沒有“等線段，共頂點”呢？ 生：等線段是AD,

4、AB,共頂點是A.師：我們可否利用旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造“手拉手模型”呢？ 生：將AE旋轉(zhuǎn)，繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90.師：為什么是逆時針旋轉(zhuǎn)90,你是如何思考的？生：我準備構(gòu)造一個和ABE全等的三角形，AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)903小題熱身圖1圖2圖3即為AD，那么將AE逆時針旋轉(zhuǎn)90可得AG,連接GD，證明全等.師：說的不錯，誰能再來歸納一下，借助“手拉手模型”，用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的方法嗎？生：先找有沒有“等線段，共頂點”，再找其中一條 “共頂點”的線段， 將其旋轉(zhuǎn).師：旋轉(zhuǎn)角度如何確定，方向怎么選擇？生：選擇其中一個三角形，將“共頂點”的線段旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)角為兩條“等 線段”間的夾角.方向應與所選擇的起始“等線段”旋

5、轉(zhuǎn)到另一條“等線 段”時的方向一致.師：非常棒，可以說，你已經(jīng)掌握了這節(jié)課的精髓.但是，很多題目中只 是隱含了“手拉手模型”的一些條件，剩余的需要我們自己去構(gòu)造，可以 如何構(gòu)造呢？步驟1先找有沒有“等線段，共頂點”.步驟2:選擇其中一個三角形，將其中經(jīng)過“共頂點”的線段旋轉(zhuǎn).步驟3:旋轉(zhuǎn)方向與這個三角形的“等線段”旋轉(zhuǎn)到另一條“等線段”的 方向一致，旋轉(zhuǎn)角為“等線段”間的夾角.師：這道題還有一個要注意的地方，你發(fā)現(xiàn)了嗎？ 生：連接GD后，要證明G,D,F三點共線.4例題精講例1等邊ABC中，AD=4,DC=3,BD=5,求 /ADC度數(shù).師：這里有沒有隱含的“手拉手模型”？要構(gòu)造全等，該怎樣旋

6、轉(zhuǎn)？ 生：將ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60. 師：你是怎么想的，還有其他做法嗎？ 生：我發(fā)現(xiàn)AB=AC,A為“共頂點”，我選擇的旋 轉(zhuǎn)線段是AD，因為AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60到AB,所 以厶ADC也要繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60.也可將ADB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60.BC【解答】將AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60到AE，連接BE,DE.則ADE也為等邊 三角形.易證AEBAADC,ABE=DC=4,根據(jù)勾股定理逆定理，可 證/BED=90，則/AEB=ZADC=150例2:如圖，ABO和厶CDO均為等腰直角三角形，AOB=COD=90.若厶BOC的面積為1,試求 以AD、BC、OC+OD的長度為三邊長的三角形的 面積

7、.師：由于線段分散，如何通過圖形變換，使這些線 段能構(gòu)成一個三角形？ 生：將OD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90至OE，即可使OC，OD共線，再通過 證明確定厶BCE即是以AD、BC、OC+OD的長度為三邊長的三角形.【解答】如圖，將OD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90至OE，連接BE.易證OADAOBE，AD=BE，ABCE即是以AD、BC、OC+OD長度為三邊長的三角 形.又OC=OE，ASx BCE=2SABOC=2.5自主練習1.如圖， 在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3, /ABC=ZACB=ZADC=45，貝卩BD的長 為.師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法.生：“等線段”是CA和BA，“

8、共頂點”是A.方法是將AD繞點A順時針 旋轉(zhuǎn)90.2.如圖，在ABC中，BC=2，AB=邁，以AC薩、為邊，向外做正方形ACDE，連接BE，則BE( (D最大值為_ ./n師： 請找出隱含的“手拉手模型”， 并寫出解決方法. 生： “等線段”是CA和EA,“共頂點”是A.方法是將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90.師：你為何要逆時針旋轉(zhuǎn)，你準備旋轉(zhuǎn)哪個三角形？生：ABC,因為AC是逆時針旋轉(zhuǎn)90到AE,所以AB也繞點A逆時針 旋轉(zhuǎn)90.3.如圖，點A在OB上，AB=1,BC=2, ACD是等邊三角形，求BCD面積的最大值.師：請找出隱含的“手拉手模型”，并寫出解決方法. 生：“等線段”是CA和CD, “共頂點”是C.方法是將CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60.附：自主練習解答1.如圖，將AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90至AE, 易證EACADAB，可得CE=BD，又EDA=45,二/CDE=90,CD=3,DE=4 2，貝 SRtACDE中，CE2=CD2+DE2=32+(4 2)2=41CE=41,.DB=412.如圖，將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至AF，易證EAFCAB， 可得EF=BC=2.RtABAF中，AF=AB=2,ABF=2.由三角形三邊關(guān) 系易知，BEEF+BF,.BE最小值為4.3.如圖， 將CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60至CE,連接DE