量子力學(xué)講義第三章講義

1、第三章 力學(xué)量用算符表達(dá)§3.1 算符的運算規(guī)則一、算符的定義：算符代表對波函數(shù)進(jìn)行某種運算或變換的符號。 表示Â把函數(shù)u變成 v， Â就是這種變換的算符。為強(qiáng)調(diào)算符的特點，常常在算符的符號上方加一個“”號。但在不會引起誤解的地方，也常把“”略去。二、算符的一般特性1、線性算符滿足如下運算規(guī)律的算符Â，稱為線性算符 其中c1, c2是任意復(fù)常數(shù)，y1, y2是任意兩個波函數(shù)。例如：動量算符，單位算符I是線性算符。2、算符相等若兩個算符Â、對體系的任何波函數(shù)y的運算結(jié)果都相同，即，則算符Â和算符相等記為。3、算符之和 若兩個算符

2、4;、對體系的任何波函數(shù)y有：，則稱為算符之和。 ，4、算符之積 算符Â與之積，記為，定義為y是任意波函數(shù)。一般來說算符之積不滿足交換律，即。5、對易關(guān)系若，則稱Â與不對易。若，則稱Â與對易。若算符滿足， 則稱和反對易。例如：算符x, 不對易證明：(1) (2) 顯然二者結(jié)果不相等，所以： 因為y是體系的任意波函數(shù)，所以 對易關(guān)系同理可證其它坐標(biāo)算符與共軛動量滿足 ，但是坐標(biāo)算符與其非共軛動量對易，各動量之間相互對易。 ， ， ，寫成通式(概括起來)： (1) 其中或量子力學(xué)中最基本的對易關(guān)系。注意：當(dāng)Â與對易，與對易，不能推知Â與對易與否。6

3、、對易括號(對易式) 為了表述簡潔，運算便利和研究量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系，人們定義了對易括號： 這樣一來，坐標(biāo)和動量的對易關(guān)系可改寫成如下形式： 不難證明對易括號滿足下列代數(shù)恒等式：1) 2) 3) ，4) 稱為 Jacobi 恒等式。角動量的對易式：(1)在直角坐標(biāo)系中角動量算符的對易關(guān)系角動量算符在直角坐標(biāo)中的三個分量可表示為 ， （要求會證明） 是角動量算符的定義式。 式中eabg稱淡Levi-Civita符號，是一個三階反對稱張量，定義如下： 其中或證明：或 或 (2)在球坐標(biāo)系中角動量算符的對易關(guān)系 只與q,j 有關(guān)，與r 無關(guān)，而且只與j 有關(guān)。 或 其中，可稱為徑向動量算符。

4、(3)角動量升降階算符(I) 定義，顯然有如下性質(zhì)， 這兩個算符不是厄密算符。(II) 對易關(guān)系， ，7、逆算符(1). 定義: 設(shè)Ây=f, 能夠唯一的解出y， 則可定義算符Â之逆Â-1為: (2).性質(zhì)I: 若算符Â之逆Â-1存在，則, (3).性質(zhì)II: 若Â,均存在逆算符, 則 8、算符函數(shù)設(shè)給定一函數(shù)F(x)，其各階導(dǎo)數(shù)均存在，其冪級數(shù)展開收斂 則可定義算符Â的函數(shù)F(Â)為: 補(bǔ)充：定義一個量子體系的任意兩個波函數(shù)(態(tài)) y與j的“標(biāo)積” 是指對體系的全部空間坐標(biāo)進(jìn)行積分，dt是坐標(biāo)空間體積元。例如 對

5、于一維粒子： 對于三維粒子：可以證明 9、轉(zhuǎn)置算符 算符Â的轉(zhuǎn)置算符定義為即 式中y和j是兩個任意波函數(shù)。例如：（證明）可以證明：10、復(fù)共軛算符算符Â的復(fù)共軛算符Â*就是把Â表達(dá)式中的所有量換成其復(fù)共軛。但應(yīng)注意，算符Â的表達(dá)式與表象有關(guān)。11、厄米共軛算符 算符Â之厄米共軛算符Â+定義為： 或 厄密共軛算符亦可寫成： 可以證明: 12、厄米算符 (自共軛算符)(1). 定義： 滿足下列關(guān)系的算符稱為厄米算符. 或 (2). 性質(zhì)性質(zhì) I：兩個厄密算符之和仍是厄密算符。性質(zhì) II：兩個厄密算符之積一般不是厄密算符, 除非二

6、算符對易。 三、算符的本征方程 如果算符Â作用于函數(shù)y的結(jié)果，等于某一常數(shù)l乘以y，即 (2)那么稱l為算符Â的本征值，y為算符Â的屬于本征值l的本征函數(shù)。方程(2)稱為算符Â的本征方程。§3.2 動量算符和角動量算符一、動量算符 1、動量算符的厄密性（證明）2、動量算符本征方程 ，即采用分離變量法，令：代入動量本征方程 Þ (1)可取任意實數(shù)值，即動量算符的本征值組成連續(xù)譜，相應(yīng)的本征函數(shù)為(1)式所表示的，這正是自由粒子的de Broglie波的空間部分波函數(shù)。(2).歸一化系數(shù)的確定 、歸一化為 d 函數(shù)取，則歸一化為函數(shù)， (

7、2) （3）一維情況：、箱歸一化P70-72（略去不講）箱歸一化方法僅對平面波適用，而歸一化為d函數(shù)方法對任何連續(xù)譜都適用。二、角動量算符1、角動量算符的形式(1)、直角坐標(biāo)系它在直角坐標(biāo)系中的三個分量是： 角動量平方算符 (2)、球坐標(biāo)利用上述變換關(guān)系可以得到在球坐標(biāo)中的表示式是 只與q,j 有關(guān)，與r 無關(guān)，而且只與j 有關(guān)。2、的本征值和本征函數(shù) 為了求出的本征值lz和本征函數(shù)y(j)，我們解下列本征方程： Þ 的本征值為： 式中的m習(xí)慣上稱為磁量子數(shù)。 相應(yīng)本征函數(shù)：角動量在空間的任何方向的投影都是量子化的，它的值只能是0,±, ±2, ¼，而不

8、能是其他的值。3、的本征值和本征函數(shù) 設(shè)的本征值為，本征函數(shù)為Y(q,j)，本征方程為 在球坐標(biāo)系中，只與q, j有關(guān)，所以，則 (6)令，其中Q(q)只是q的函數(shù)，y(j)只是j的函數(shù)，由(6)式可得 Þ 的本征值為l(l+1)2，所屬的本征函數(shù)為Ylm(q,j)， ；Ylm(q,j) 正交歸一條件為：說明：(1)、由上面結(jié)果可知的本征值為l(l+1)2，所屬的本征函數(shù)為Ylm(q,j)， ， 顯然，只能取一系列離散值，由于l是表征角動量的大小，所以稱l為角量子數(shù)。(2)、 Ylm(q,j)即是的本征函數(shù)，也是的本征函數(shù)，其相應(yīng)的本征值分別為l(l+1)2，m。即球諧函數(shù)Ylm(q

9、,j)是的共同本征態(tài) (3)、我們把一個本征值只對應(yīng)一個本征函數(shù)的情況稱為非簡并；把對應(yīng)于一個本征值有一個以上本征函數(shù)的情況稱為簡并，把對應(yīng)于同一本征值的本征函數(shù)的數(shù)目稱為簡并度。的本征值是(2l+1)度簡并的。(4)、通常把的態(tài)，依次稱為態(tài)，而把處于這些態(tài)的粒子稱為粒子。4、平面轉(zhuǎn)子的能量本征值與本征態(tài)： 繞z軸轉(zhuǎn)動的平面轉(zhuǎn)子的能量經(jīng)典表達(dá)式為，I為轉(zhuǎn)動慣量，lz為角動量。能量本征方程表為 Þ 的本征值為：相應(yīng)的本征函數(shù)為： ，5、空間轉(zhuǎn)子的能量本征值與本征態(tài)： 繞一固定點轉(zhuǎn)動的空間轉(zhuǎn)子的能量經(jīng)典表達(dá)式為，I為轉(zhuǎn)動慣量，l為角動量。Þ 的本征值為：相應(yīng)的本征函數(shù)為：， ；

10、例：證明例：證明在lz本征態(tài)Ylm下，§3.3 厄米算符的本征值與本征函數(shù)一、厄米算符的平均值定理I：體系任何狀態(tài)y下，其厄米算符的平均值必為實數(shù)。（證明）逆定理：在任何狀態(tài)下，平均值均為實數(shù)的算符必為厄米算符。（證明）推論：設(shè)Â為厄米算符，則在任意態(tài)y之下 二、厄米算符的本征方程1、漲落 漲落定義為證明2、力學(xué)量的本征方程若體系處于一種特殊狀態(tài)，在此狀態(tài)下測量A所得結(jié)果是唯一確定的，即： 則稱這種狀態(tài)為力學(xué)量A的本征態(tài)。 或 可把常數(shù)記為An，把狀態(tài)記為yn，于是得： (1)其中An,yn分別稱為算符Â的本征值和相應(yīng)的本征態(tài)，式(1)即算符Â的本征方程

11、。定理II：厄米算符的本征值必為實。（證明）三、量子力學(xué)中的力學(xué)量用線性厄米算符表示1、表示力學(xué)量的算符必為線性算符；2、表示力學(xué)量的算符必為厄密算符。例1： （為實數(shù)）例2： 例3：證明為厄密算符綜上所述：表示力學(xué)量的算符必為線性、厄密算符，線性厄密算符不一定是力學(xué)量算符。3、力學(xué)量算符和力學(xué)量之間的關(guān)系測量力學(xué)量A時所有可能出現(xiàn)的值，都對應(yīng)于線性厄米算符Â的本征值A(chǔ)n（即測量值是本征值之一），該本征值由力學(xué)量算符Â的本征方程 當(dāng)體系處于Â的本征態(tài)yn時，則每次測量所得結(jié)果都是完全確定的，即An。四、厄米算符的本征函數(shù)的正交性 1、 正交性的定義如果兩函數(shù)y1和

12、y2滿足關(guān)系式，則稱y1和y2相互正交。2、定理III：厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。（證明）3、分立譜、連續(xù)譜正交歸一表示式 (1). 分立譜正交歸一條件分別為： 歸一化條件 正交性引用dmn稱為克朗內(nèi)克（Kronecker）符號，它具有如下性質(zhì)： 把(3)與(4)式合寫為 (2). 連續(xù)譜正交歸一條件表示為：(3). 正交歸一系滿足上式的函數(shù)系yn或yl稱為正交歸一（函數(shù)）系4、簡并情況如果Â的本征值A(chǔ)n是fn度簡并的，則屬于本征值A(chǔ)n的本征態(tài)有fn個：yna，a=1,2,¼, fn滿足本征方程： 一般說來，這些函數(shù)并不一定正交。但是可以證明由這 fn 個函

13、數(shù)可以線性組合成fn 個獨立的新函數(shù)，它們?nèi)詫儆诒菊髦礎(chǔ)n且滿足正交歸一化條件。 算符Â本征值A(chǔ)n簡并的本質(zhì)是：當(dāng)An確定后還不能唯一的確定狀態(tài)，要想唯一的確定狀態(tài)還得尋找另外一個或幾個力學(xué)量算符，Â算符與這些算符兩兩對易，其本征值與An一起共同確定狀態(tài)。綜合上述討論可得如下結(jié)論：既然厄米算符本征函數(shù)總可以取為正交歸一化的，所以以后凡是提到厄米算符的本征函數(shù)時，都是正交歸一化的，即組成正交歸一系。五、實例 （1）動量本征函數(shù)組成正交歸一系 當(dāng)時，即屬于動量算符不同本征值的兩個本征函數(shù)與相互正交。這是所有厄密算符的本征函數(shù)所共有的。（2）線性諧振子能量本征函數(shù)組成正交歸一系

14、線性諧振子的能量本征函數(shù) 組成正交歸一系：（3）角動量本征函數(shù)組成正交歸一系1. lz 本征函數(shù) 角動量算符的本征函數(shù) 組成正交歸一系： (7)2. 本征函數(shù)角動量平方算符屬于本征值的本征函數(shù) 組成正交歸一系： (8) (7)和(8)可合寫為 (9)§3.4 算符與力學(xué)量的關(guān)系一、力學(xué)量的可能值及其幾率有兩點問題：. 測得每個本征值A(chǔ)n的幾率是多少？ . 是否會出現(xiàn)各次測量都得到同一個本征值，即有確定值。1、 力學(xué)量算符本征函數(shù)組成完備系(1)、函數(shù)的完備性有一組函數(shù)yn(x) (n=1,2,.)，如果任意函數(shù)y (x)可以按這組函數(shù)展開：則稱這組函數(shù)yn(x)是完備的。 (2)、力

15、學(xué)量算符的本征函數(shù)組成完備系若力學(xué)量算符Â 則任意函數(shù)y (x)可按yn(x)展開： 量子力學(xué)認(rèn)為：一切力學(xué)量算符的本征函數(shù)都組成完備系。2、力學(xué)量的可能值和相應(yīng)幾率 由于yn(x)組成完備系，所以體系任一狀態(tài)y (x)可按其展開： 展開系數(shù)an與x無關(guān)。（證明）|an|2具有幾率的意義，an稱為幾率振幅。我們知道|y (x)|2表示在x點找到粒子的幾率密度，| c(p)|2表示粒子具有動量p的幾率，那末同樣，|an|2則表示A取An的幾率。討論： y (x)是坐標(biāo)空間的波函數(shù)； c(p)是動量空間的波函數(shù)；則an則是A空間的波函數(shù)，三者完全等價。|y (x)|2表示在x點找到粒子的

16、幾率密度，| c(p)|2表示粒子具有動量p的幾率，那末同樣，|an|2則表示A取An的幾率。證明：當(dāng)y (x)已歸一時，c(p)也是歸一的，同樣an也是歸一的。（證明）量子力學(xué)基本假定：任何力學(xué)量算符A的本征函數(shù)yn(x)組成正交歸一完備系，在任意已歸一態(tài)y (x)中測量力學(xué)量A得到本征值A(chǔ)n的幾率等于y (x)按yn(x)展開式： 中對應(yīng)本征函數(shù)yn(x)前的系數(shù)an的|an|2。分析：(1)、根據(jù)態(tài)迭加原理，由(1) y1® |a1|2 y2® |a2|2 yn® |a n |2 (2)、根據(jù)前面的假設(shè) y1® A1 y2® A2 yn&

17、#174; An (3)、A1® |a1|2 A2® |a2|2 ¼¼ An® |a n |2 3、力學(xué)量有確定值的條件推論：當(dāng)體系處于y (x) 態(tài)時，測量力學(xué)量A具有確定值的充要條件是y (x)必須是算符Â的一個本征態(tài)。二、力學(xué)量的平均值在任一態(tài)y (x)中測量某力學(xué)量A的平均值可寫為： 此式等價于以前的平均值公式。（證明）這兩種求平均值的公式都要求波函數(shù)是已歸一化的如果波函數(shù)未歸一化,則 ，三、連續(xù)譜的情況 分立譜 連續(xù)譜 ： ， 例1、設(shè)粒子在寬度為a的一維無限深勢阱中運動，若其狀態(tài)由波函數(shù)描述，求粒子能量的可能取值和相應(yīng)的幾

18、率及其平均值。解： ，（） 的可能取值： 相應(yīng)幾率： 注意： 例2：線性諧振子在初始時刻處于下面歸一化狀態(tài)： 式中yn(x)表示諧振子第n個定態(tài)波函數(shù)，求(1) 系數(shù)a5=？(2) 寫出t時刻的波函數(shù)；(3) t=0時刻諧振子能量的可能取值及其相應(yīng)幾率，并求其平均值；(4) t= t時刻諧振子能量的可能取值及其相應(yīng)幾率，并求其平均值；解： （1）（2）（3）t=0時， ，能量E可能值：，相應(yīng)幾率w：， （4）t= t時刻諧振子能量的可能值、相應(yīng)幾率、平均值與t=0時刻相同。§3.5 共同本征函數(shù)一、兩力學(xué)量同時有確定值的條件當(dāng)在y態(tài)中測量力學(xué)量A和B時，如果同時具有確定值，那么y必是

19、二力學(xué)量共同本征函數(shù)。二、兩算符對易的物理含義定理：若兩個力學(xué)量算符有一組共同完備的本征函數(shù)系，則二算符對易。（證明）逆定理：如果兩個力學(xué)量算符對易，則此二算符有組成完備系的共同的本征函數(shù)。（僅考慮非簡并情況）（證明）定理：一組力學(xué)量算符具有共同完備本征函數(shù)系的充要條件是這組算符兩兩對易。例 1：動量算符：兩兩對易，共同完備本征函數(shù)系： 同量有確定值：例2：定軸轉(zhuǎn)子：，相互對易共同完備本征函數(shù)系： 同量有確定值： ， 例 3：定間轉(zhuǎn)子：，兩兩對易共同完備本征函數(shù)系： 同量有確定值： ， 小結(jié)：兩個力學(xué)量同時有確定值的條件(1)、(2)、體系恰好處在其共同本征態(tài)上。三、力學(xué)量完全集合1、定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的力學(xué)量算符的最小（數(shù)目）集合稱為力學(xué)量完全集。 設(shè)有一組彼此對易，且函數(shù)獨立的厄米算符Â(Â1,Â2, .)，它們的共同本征函數(shù)記為yk，k是一組量子數(shù)的籠統(tǒng)記號。設(shè)給定k之后就能夠確定體系的一個可能狀態(tài)，則稱(Â1,Â2, .)構(gòu)成體系的一組力學(xué)量完全集。例 1：三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個兩兩對易的力學(xué)量：例 2：一維諧振子，只需要一個力學(xué)量就可完全確定其狀態(tài)：2、力學(xué)量完全集中力學(xué)量的個數(shù)并不一定等于自由度的數(shù)目。一般說來，力學(xué)量完全集中力學(xué)量的個數(shù)³體系的