2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章函數(shù)2.2函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)2.2.1函數(shù)的單調(diào)性第1課時(shí)單調(diào)性學(xué)案蘇教版必修1

1、第1課時(shí)單調(diào)性2.理解函數(shù)單調(diào)性及幾何意義.3.掌握判斷或1.了解函數(shù)單調(diào)性的實(shí)際背景.證明函數(shù)單調(diào)性的方法.學(xué)生用書(shū)P24、新知提煉.單調(diào)增(減)函數(shù)、單調(diào)增(減)區(qū)間一般地，設(shè)函數(shù)y = f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間I? A(1)如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值 xi, X2,當(dāng)xi<x2時(shí)，都有f(Xi)<f(X2),那么就說(shuō)y=f(x) 在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，I稱為y= f(x)的單調(diào)增區(qū)間.(2)如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值 xi, x2,當(dāng)xi<x2時(shí)，都有f(xi)>f(x2),那么就說(shuō)y=f(x) 在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，I稱為y= f(x)的單調(diào)減區(qū)間.(

2、3)如果函數(shù)y = f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù) y = f(x)在區(qū)間I 上具有單調(diào)性.單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.、自我嘗試,1 .判斷(正確的打，錯(cuò)誤的打"x”)(1)所有的函數(shù)在其定義域上都具有單調(diào)性.()(2)已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則f(-3)>f(3).()(3)在增函數(shù)與減函數(shù)的定義中，可以把“任意兩個(gè)自變量”改為“存在兩個(gè)自變量”.()答案：(1) X (2) V (3) X2 .下列函數(shù)中，在區(qū)間(0, +8)上是減函數(shù)的是()1A y= B. y = xxC. y= x2D. y= 1 x答案：D3.若y=(2

3、k1)x+b是R上的減函數(shù)，則有()A k>1B. k>-122C. k<-D. k<-22答案：C4.函數(shù)f(x) = x2+2x+1的單調(diào)遞減區(qū)間是 答案：(8, 1琥練互動(dòng)麟吼，強(qiáng)野突破探究點(diǎn)1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間學(xué)生用書(shū)P25例國(guó) 畫(huà)出函數(shù)y=x2+2|x| +3的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解】y= x2+ 2| x| +3 =(x 1) 2+ 4, x>0,+1)2+4 x<0函數(shù)圖象如圖所示函數(shù)在(8, - 1 , 0 , 1上是增函數(shù)，函數(shù)在1 , 0 , 1 , +°° )上是減函數(shù).所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(一8, 1和0

4、, 1, 單調(diào)減區(qū)間是1, 0和1 , +8).方法歸城(1)利用函數(shù)圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，具體作法是先化簡(jiǎn)函數(shù)式，然后再畫(huà)出它的圖象，最 后根據(jù)函數(shù)定義域和圖象的形狀，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2) 一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“U”而應(yīng)該用“和”來(lái)表示.跟蹤訓(xùn)練(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能忽視定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集.1.(1)如圖所示為函數(shù)y=f(x), xC 4, 7的圖象，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2)求函數(shù)y=|x2-2x-3|的單調(diào)區(qū)間.解：(1)由圖象知單調(diào)遞增區(qū)間為1.5, 3和5, 6.故填1.5, 3和5 , 6.(2) y=|x2-2x-3|

5、的圖象如圖所示,由圖象可得其單調(diào)遞增區(qū)間是 1, 1, 3, +8)；單調(diào)遞減區(qū)間是(8, 1 , 1 , 3.探究點(diǎn)2 定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性學(xué)生用書(shū)P25例團(tuán) 證明：函數(shù)f (x) =2x2+ 4x在(00, 1上是單調(diào)減函數(shù).【證明】任取 x1, xzC ( 8, 1,且 x1<x2< 1,則 f (x。 f (x2) = (2 x1 + 4x4 (2 x2 + 4xz)= 2(x2-x2) + 4(x1 - x2) = 2(x1- x2)( x1 + x2 + 2).因?yàn)?x1<x?w 1,所以 x1一x2<0, x1+x2+2<0,所以 f ( X

6、i) f (X2)>0，即 f ( Xi)> f ( X2),所以函數(shù)f(x)在(一°°, 1上是單調(diào)減函數(shù).方法歸納利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟證明：任取Xi,2.證明函數(shù)f(x)=x + 4在(2, +8)上是增函數(shù).xX2 (2 , + 00),且 xi v x2,44則 f (Xi) f (X2) = Xi + 大一X2 X、，4X2) + 一(X2 Xi )XiX2(xi X2)(XiX24)XiX2因?yàn)?2<XiVX2,所以 XiX2<0, XiX2>4, XiX24>0,所以 f (Xi) -f (X2) <0,即 f

7、 (Xi) vf (X2), ，一一4，一一，所以函數(shù)f(x)=x + 在(2, +8)上是增函數(shù).x探究點(diǎn)3 利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍學(xué)生用書(shū)P26例叵已知函數(shù)f (x) =x2-2(i -a)x+ 2在區(qū)間(一8, 4上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解】 因?yàn)?f (x) =x2-2(i -a)x+2=x-(i a) 2+2(i - a)2,所以f (x)的減區(qū)間是(一8, i-a.因?yàn)閒(x)在(00, 4上是減函數(shù)，所以對(duì)稱軸x= i-a必須在直線x = 4的右側(cè)或與其重合.所以i 一 a>4,解得aw - 3.本例中，若將“函數(shù)在區(qū)間(一00, 4上是減函數(shù)”改為“函

8、數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8, 4”，則a為何值?解：由本例知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8, i-a,所以 i a=4, a= - 3.方法歸納(i)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法是：視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).(2)應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性的定義建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)或方程，解不等式(組)或方程可求得參數(shù)的取值范圍.3.已知函數(shù)f(x) = x22ax3在區(qū)間1 , 2上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)a的取值解：函數(shù)f(x) =x2-2ax-3的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x=a,畫(huà)出草圖如圖所示.由圖象可知函數(shù)在(一00, a和a, +

9、8)上都具有單調(diào)性，因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間1 , 2上具有單調(diào)性，只需 awi或a>2,從而 aC(8, i u2 , +8).、素養(yǎng)提升1 . xi, x2的三個(gè)特征(1)任意性，即xi, x2是在某一區(qū)間上的任意兩個(gè)值，不能以特殊值代換; (2)有大小，即確定的兩個(gè)值 x1, x2必須區(qū)分大小，一般令 x1x2；(3)同屬一個(gè)單調(diào)區(qū)間.2 .理解函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)注意的問(wèn)題(1)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，體現(xiàn)在函數(shù)的定義域或其子區(qū)間上，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集.(2)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，在某一點(diǎn)上不存在單調(diào)性.(3) 一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)

10、，不能用“U”連接，而應(yīng)該用“和”連接.如1 1函數(shù)y=1在(8, 0)和(0,+8)上單調(diào)遞減，卻不能表述為：函數(shù)y=,在(8, 0) u (0 ,+8) xx上單調(diào)遞減.易誤防范典例 已知f(x)是定義在區(qū)間1, 1上的增函數(shù)，且f (x-2) <f (1 -x),則x的取值范圍 為.解析由題意，得一 1W x一 21,K1-x< 1 ,解得1 wxw2.因?yàn)閒(x)是定義在區(qū)間1, 1上的增函數(shù),且 f(x 2)vf(1 x),所以 x2v1x,3解得x<2.由得1<x<|.3答案1, |(1)本題易忽視函數(shù)的定義域?yàn)?,1,直接利用單調(diào)性得到不等式x-2&

11、lt;1-x,從而得出3xv 的錯(cuò)誤答案.(2)解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用單調(diào)性“脫去”函數(shù)符號(hào)“ f ”，從而轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，則對(duì)任意 x1, xzC D,且f(x1)vf(x2),有xYx2；若函數(shù)y = f (x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，則對(duì)任意 x1, xzC D,且f (刈>f (x2),有xyx2.需要注意的是，不要 忘記函數(shù)的定義域.比當(dāng)堂檢測(cè),1 .設(shè)(a,b),(c,d)都是 f(x)的單調(diào)增區(qū)間，且x(a,b),x2C(c,d) ,x1<x2,則 f(x。與f(x2)的大小關(guān)系為()A f(x1)<f(x2)B. f(x

12、1)>f(x2)C. f(x1)=f(x2)D.不能確定解析：選 D.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知，所取兩個(gè)自變量必須是同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的值時(shí)，才能 由該區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較函數(shù)值的大小，而本題中的刀，x2不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，故f(x1)與f (x。的大小不能確定.2.已知函數(shù)f (x)在R上是減函數(shù)，A(0 , 2), R3, 2)是其圖象上的兩點(diǎn)，那么不等式一 2<f(x)<2的解集為f(-3) =2,解析：因?yàn)?A(0 , - 2) , B( - 3, 2)在函數(shù)y=f(x)的圖象上，所以 f(0) = 2, 故一2<f (x)<2可化為f (0)< f

13、(x)<f ( 3),又f(x)在R上是減函數(shù)，因此一3Vx<0.答案:(3, 0)3.作出函數(shù)f (x)=x 3,(x2)x< 12+3,的圖象，并指出函數(shù)f(x)的單調(diào)性. x>1x 3, 解：f (x)=(x2)x< 1,2_+ 3, x>1x 3、的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)f(x) =(x 2)x< 1,2的+ 3, x>1單調(diào)遞減區(qū)間為(一8, 1和(1, 2),單調(diào)遞增區(qū)間為2, +8).強(qiáng)化T優(yōu)懈關(guān)1.B.C.D.學(xué)生用書(shū)P93(單獨(dú)成冊(cè))A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)如圖是定義在區(qū)間5, 5上的函數(shù)y=f(x),則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說(shuō)法錯(cuò)誤的

14、是(1 2 3 4 5 工2-3函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間-5, - 3上單調(diào)遞增1 , 4上單調(diào)遞增-3, 1 U4 , 5上單調(diào)遞減5, 5上沒(méi)有單調(diào)性C.2.卜列函數(shù)中，在區(qū)間(0, 2)上為增函數(shù)的是(B.)y = x2 +1C.1y= 一 xD.y=一|x+1|解析：選 B.y= 3-x, y = -, y = |x+ 1| 在(0x2)上都是減函數(shù)，只有 y=x2+ 1在(0 ,2)上是增函數(shù).3.函數(shù)y=|x+2|在區(qū)間3, 0上()A遞減B.遞增C.先減后增D.先增后減解析:解析：選C.若一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“U”連接.故選選 C.y =

15、 | x+ 2| =x+2, x> 2,-x-2, xv 2.作出 y=|x+2|的圖象，如圖所示，易知在 3, - 2)上為減函數(shù),在2, 0上為增函數(shù).4.已知函數(shù)y= ax和y=-'在(0 , +°° )上都是減函數(shù)， 則函數(shù)f (x) = bx+ a在R上是( xA減函數(shù)且f (0)<0B.增函數(shù)且f(0)<0C.減函數(shù)且f (0)>0D.增函數(shù)且f(0)>0一，-b，工一，一一解析：選A.因?yàn)閥 = ax和y=- 在(0 , +°°)上都是減函數(shù) x所以a<0, b<0,則f(x)=bx+a在R

16、上為減函數(shù)且f(0) =a<0,故選A.5.若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則f(x2 2x)與f(1)的大小關(guān)系為()A f(x2-2x)>f( -1)B. f (x22x) wf ( 1)C. f(x2-2x) = f( -1)D.不能確定解析：選 A.因?yàn)?x2- 2x = (x- 1)2- 1 > - 1,又函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，所以 f (x2-2x) >f ( -1).故選 A.6 .已知函數(shù)f (x)為R上的單調(diào)減函數(shù)，若 f(a2+2a1) =f(3 a),則a=.解析：由題意，f ( a2+2a- 1) = f (3 - a),則 a2+2a1 =

17、 3 a.所以 a2+3a 4=0,所以 a= 1或4.答案：4或17 .設(shè)函數(shù) f(x)滿足：對(duì)任意的 x1, xzCR 都有(x1x2) f(x。一f(x2)>0 ,則 f(3)與 f ( 兀)的大小關(guān)系是.解析：由(Xi x2) f (Xi) f (x2)>0 ,可知函數(shù) f(x)為增函數(shù)，又因?yàn)橐?3>兀，所以f (3)>f (兀).答案：f( 3)>f (兀)8 .若函數(shù)f (x) = |( x- 1)( x-a)|( a>1)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是3 , +°° ),則a=.(x1) (x a) , xwi或x>a, 解析

18、：f(x) =(x1) (x-a) , 1<x<a,其圖象如圖所示.a+ 1它的單調(diào)遞增區(qū)間為1, -2-和a, +8).所以a, +°°) = 3, +8),所以 a = 3.答案：39 .證明：函數(shù)f (x)= yx在定義域上是單調(diào)減函數(shù) 證明：易知f(x) =W的定義域?yàn)?,).設(shè)X1, X2是0 , +8)內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且X1<X2,則 f (X2) f (X1) = ">/X2 (一儀1) = /x1 ">Jx2 =(/X1-/X2)(/X1+Vx2)xix2'X1+ X2X1+ X2 .因?yàn)?xi-X

19、2<o, qxi+x>0,所以 f (X2) f (xi)<0，即 f (xi)> f (X2),所以f(x)= qx在o, +°°)上是單調(diào)減函數(shù).10 .已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?R,且對(duì)任意的正數(shù) d,都有f(x + d)vf(x),求滿足f(1a) vf(2a1)的a的取值范圍.解：令 xi, xzC R,且 xix2,則 x2-xo>0.因?yàn)閷?duì)任意的正數(shù) d,都有f(x+ d) vf(x),所以 f (x2)= f xi+(x2xi) < f (xi).所以函數(shù)y= f(x)是減函數(shù).又因?yàn)?f (1 a) vf(2a1),所

20、以 1 a>2a1,解得a<-.3所以a的取值范圍是 一00, 2.3B 能力提升1.下列函數(shù)中，滿足“對(duì)任意xb x2(0, +8),都有f(x" f(x2)>0”的是(填x1 x2序號(hào))._2_ f(x)=一; f(x) = 3x+1;x f (x) =x2+4x+3; f(x)=x+1.x2解析：由題意f(x)在(0 , +8)上為增函數(shù)，函數(shù)f(x)=,及f(x)=3x+1在(0 , +8)上都 x為減函數(shù)，函數(shù)f (x) =x + 1 在(0 , 1)上遞減，在(1,十°°)上遞增 函數(shù)f (x) =x2+4x + 3在(8 x2)上遞減，在(2, +8)上遞增，故在(0,+8)上也為增函數(shù).滿足條件的只有.答案：2 .若定義在 R上的二次函數(shù)f(x) = ax2-4ax+ b在區(qū)間0, 2上是增函數(shù)，且 f(m)>f (0), 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.解析：由于f(x)在區(qū)間0, 2上是增函數(shù)，所以f(2)> f(0),解得a<0.一 -4a又因f(x)圖象的對(duì)稱軸為x一云=2.所以f(x)在0 , 2上的值域