《銳角三角函數(shù)》導(dǎo)學(xué)案

1、第七章銳角三角函數(shù)（1）正切函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、認(rèn)識銳角的正切的概念。2、會求一個銳角的正切值。3、經(jīng)歷操作觀察思考求解等過程，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)習(xí)重點：銳角的正切的概念學(xué)習(xí)難點：銳角的正切的概念，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法知識要點在 RtAABC3, / 0=90° ,/A的對邊與鄰邊的比值是/ A的正切，記作七曲工二乙4的對邊一、情境創(chuàng)設(shè)'I問題1.我們從家到學(xué)校，免不了要爬坡，有些坡好爬，有些坡爬起來很累，這是為什么? 觀察斜坡的傾斜程度，你有什么發(fā)現(xiàn)？如何刻畫斜坡的傾斜程度？word范文 本節(jié)課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關(guān)系，因此同學(xué)們首先應(yīng)思考：當(dāng)銳角固

2、定時，兩直角邊的 比值是否也固定？0 6-10給出正切概念：如圖，在 RtAABO,把/ A的對邊與鄰邊的比叫做/ A的正切，記作：tan A. 二、典型例題例1 .根據(jù)下列圖中所給條件分別求出下列圖中/A / B的正切值。A 2通過上述計算，你有什么發(fā)現(xiàn)？互余兩角的正切值 .例 2.如圖，在 RtABO中,d AOB=90 , CD是 AB邊上的高，AO=3,AB=5 求/ AOD、/ BCD勺 正切值。結(jié)論：等角的正切值 例3.如圖(1), / A=30° , / C=90° ,根據(jù)三角函數(shù)定義求出30°、45°、60°的正切值.例4. 如

3、圖，/ A=15° , / C=90° ,求出15°正切值.1. (1)在直角三角形 ABO, / C=90°, b=9, a=12，則 tanA=, tan B=(2)如圖， ABC的三個頂點分別在正方形網(wǎng)格的格點上，則 12門人的=.(3)在 RtABC中，/C=90° ,AC=12,tanA=2 ,貝U BC長為。2 .如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將ACB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到 ACB',則tanB '的值為（） A . B .233 . RtABC中，/ C=90° ,若 /AC =3BC ,

4、則 tanA=。4 .在RtAABC中,/C =90 ：若將各邊長度都擴大為原來的2倍，則/ A的正切值()A.擴大2倍B.縮小2倍C.擴大4倍 D.不變5 .在 RtAABC3 / A=75° , / C=90° ,求出 75° 正切值.9.等腰三角形 ABC的底邊為10cm,周長為36cm,求tanC.§ 7.2正弦、余弦學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、認(rèn)識銳角的正弦、余弦的概念。2、會求一個銳角的正弦、余弦值。3、經(jīng)歷操作觀察思考求解等過程，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。教學(xué)重點：銳角的正弦、余弦的概念教學(xué)難點：銳角的正弦、余弦的概念，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法知識要

5、點：1、正弦的定義如圖，在 RtABC中，Z C= 90° ,我們把銳角/ 叫做/ A 的, 記作, 即：sinA =2、余弦的定義如圖，在RtABC中，Z C= 90° ,我們把銳角/ A的鄰邊b與斜邊 c的比叫做/ A 的, 記作 =, 即：cosA=:（你能寫出/ B的正弦、余弦的表達(dá)式嗎？）試試看 教學(xué)過程、情景創(chuàng)設(shè)1、問題1:如圖，小明沿著某斜坡向上行走了13m后，他的相對位置升高了 5m,如果他沿著該斜坡行走了 20m,那么他的相對位置升高了多少？行走了 a m呢？2、3、在 ABC中，/ C=90° .銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做 /A的正弦， 記

6、作sinA.銳角A的鄰邊a與斜邊c的比叫做 /A的余弦， 記作cosA.二、典型例題例1. 根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，分別求出/AA, ZB的正弦，余弦.B練習(xí)：在 ABC中，/ A Z Bk / C的對邊分別為a、b、c,且a = 5, b = 12, c = 16,下面四個式中5353錯反的有()sin A = ； cosA=； tan A = ； sin B = 164124A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個例2、如圖，在 RtABC中，/ C=90° , / A、/ B> / C的對邊分別是 a、b、C ,a : b=2： 3,求 sinA 與 sinB 的值。例 3、如圖，

7、在 RtABC中，/ ACB=90 , BC=6 CDLAB于 D, AC=& 試求:sinA的值；cos/ACD的值;CD的長。cos30 ° 與 cos60 ° 的大/、隨堂演練:1、在 RtABC中，/ C=90° , AC=2 BC=1,貝U sinA=。2.如圖，P是/ a的邊OA上一點，且P點坐標(biāo)為（3,4）,則sin a =cos 口 =.（第2題）3.如圖 ABC中，/(C=90 , sinA=3 一3 ,貝U BC:AC=()5A. 3: 4B. 4： 3C. 3:5D. 4: 54.在 RtABC中，/ C=90° , AC=

8、4,BC=3,則cosB=()A 4 3c 4c 3AB.CD.一5534（第3題）§ 7.2正弦、余弦（2）學(xué)習(xí)目標(biāo):1、認(rèn)識銳角的正弦、余弦的概念。2、會求一個銳角的正弦、余弦值。3、經(jīng)歷操作觀察思考求解等過程，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。教學(xué)重點：利用正弦余弦的有關(guān)概念解決問題。 教學(xué)難點：利用正弦余弦的有關(guān)概念解決問題 一.復(fù)習(xí)導(dǎo)入_nsa白0kJ診耳w I nA =-=8gA =絲»_上A白勺對邊_ a-9. in - z 一A白勺專戶述b三.如圖，在 RtAABC 中，/C=90o AC=12, BC=5. 求：sinA、cosA、sinB、cosB 的值.結(jié)論

9、:sinB的值有什么關(guān)系嗎？二、典型例題1 .比較大小 sin40 °cos40 sin80 °cos30sin45 °cos452 .已知a(1) sin cos(3) tan 產(chǎn)為銳角：a= 12妹121,tan o=,tan a=則 sin =,cos =word .三.典型例題例1、如圖,BC±AD于 C, DH AB于 F, Saafd：Saefb=9, / BAE夕，求 sin a +cos« 的值;分析 由已知易證 RtAAFD RtAEFBJ,再卞據(jù)Saafd： Saefb=9,可得AF: EF=3, AF=3EF由勾股定理可求

10、出AE=J10 EF,從而容易求得 sin a , cos 3的值。B. 8隨堂演練1. ABC中，/ C=90° ,2. ABC中，/ C=90° ,若 tanA =則 sinA=2AC=- AB,則 sinA=13,tanB=4例 2、如圖，在梯形 ABCD, AD/BC, AC± AB, AD=CDcos/DCA = , BC=10,貝U AB的值是()A . 95C. 6 D .35例3、如圖，在菱形 ABCD43, AH BC于點E, EC=1,cosB=一 ,求這個麥形面積。133 .在Rt ABC中，/ C=90o,且銳角/ A滿足sinA=cosA

11、,則/ A的度數(shù)是（A.30oB.45C.60D.904 .在 Rt ABC中，/ C=90o,sinA= 1 ,貝U BC:AC:AB 等于2A. 1:2:5 B.1: .3: ,5C. 1: ,3:2 D. 1: 235 .如圖，在RtABC中,CD是斜邊AB上的高，則下列線段的比中不等于sinA的是（）A. CDACC.CBABB.D.DBCB CD CB6 .如圖，自動扶梯 AB段的長度為20米，傾斜角A為a ,高度BC為米（結(jié)果用含0的三角函數(shù)表示）。（第6題）O7 . ABC中，/ C=90° , BC=2 AB=3,則下列結(jié)論正確的是A sinA 二史 3tanA 二立

12、 3n 22B. cosAC. sin A D.337.3 4特殊角的三角函數(shù)及由三角函數(shù)值求銳角學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .熟記30。、45。、60。特殊角的三角函數(shù)值，并利用其進行求值計算。word范文2 .會根據(jù)特殊角的正弦、余弦、正切值求該銳角的大小。3 .經(jīng)歷操作觀察思考求解等過程，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)習(xí)重點利用三角函數(shù)有關(guān)概念解決問題教學(xué)過程_三角函數(shù)£。 三宿函數(shù)-30°45°60°sin 0cos 0tan 0分別說出30。、45。、60。角的三角函數(shù)值。 完成下列表格一、復(fù)習(xí)、歸納1 .2 .二、典例分析- cos60 ° (3)

13、 sin 230° +cos230°(2) sin 260。+ cos260。cos2 450tan2 300例1 .求下列各式的值。(1) 2sin30 ° -cos45 °(2) sin60練習(xí)：計算.1 1) cos45 ° sin30 °(3)tan45 ° sin30 ° cos60例2.求滿足下列條件的銳角a。 cos a = (2)2sin a =1 (3)2sin a V2 =0(4)，3 tan a 1=0練習(xí)：1.若sin a =X2，則銳角a =.若，2 cos a =1,則銳角a =.2 .

14、若/A 是銳角，且 3tanA= J3 ,則 cosA=.3 .已知“為銳角，當(dāng) 一2一 無意義時，求tan( “ +15° )-tan( a -15 ° )的值.1 tan-：三、小結(jié)隨堂演練:1 . sin30 o的值等于/ a的補角是 120°,貝U/ a=,sina=,2 .下列計算錯誤的是()A . sin60c-sin30° =sin30!B. sin2 45 + cos2 45 =1. sin 60；C . tan 60= =Fcos 60"D.,cos30cos30"=；sin303 .求滿足下列條件的銳角a :小3。

15、(1)cos a - =0(2)-J3 tan a + J3 =04 .計算(3) 22 cos & -2=0(4)tan(a +10° ) =J3sin260' tan45 -3(2)2“(一 3-1) 2sin 60-3tan303 15.已知 tan 2 a - ( 1+ J3 ) tan a + 73 =0,求銳角 a 的度數(shù).6.已知：如圖，在鼻 ABC 中，/C=90AC =近.點D為BC邊上一點，且BD = 2AD ,ZADC =60，求 ABC周長.（結(jié)果保留根號）7.已知銳角 ABC中，/ A, / B, /C的對邊分別是 a, b, c.(1)試說

16、明：Saab= absinC ;2(2)若 a=30cm, b=36cm, / C=30° ,求 ABC的面積.7.5解直角三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解直角三角形中5個元素的關(guān)系，會運用“勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、銳角 三角函數(shù)”解直角三角形。2 .通過綜合運用“勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、銳角三角函數(shù)”解直角三角形提高分析問題、解決問題的能力。3 .培養(yǎng)學(xué)生對圖形的轉(zhuǎn)化能力。重點：邊角關(guān)系的靈活應(yīng)用難點：如何通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形，把問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的問題來解決問題。知識點：1 .解直角三角形的定義：任何一個三角形都有六個元素，三條邊、三個角，在直角三角形

17、中，已知 有一個角是直角，我們把利用已知的元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形。2 .解直角三角形的所需的工具。(1)兩銳角互余/ A+ / B= 90°(2)三邊滿足勾股定理a2+ b2 = c2(3)邊與角關(guān)系 sinA=cosB=a , cosA= sinB =- , tanA=a , ccb3 . 一個直角三角形當(dāng)已知 或已知,這個直角三角形就 是可解的直角三角形4 .解直角三角形的四種類型和解法如下表：已知條件解法兩邊兩直角邊a, bc=Va2 +b2 , tanA=- , B=90° -A b一直角邊a,斜邊cb=v；c2 -a2 , sinA= - , B

18、=90° -A c一邊一銳角一直角邊a,銳角AB=90° -A, b=atanB , c= sin A斜邊c,銳角AB=90° -A, a=c - sinA , b=c cosA5 .解直角三角形時需要注意的幾個問題：(1)盡量使用原始數(shù)據(jù)，少用有誤差的近似值，使計算更加準(zhǔn)確。(2)非直角三角形問題，通過添加恰當(dāng)?shù)妮o助線轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題。(3)恰當(dāng)使用方程可使一些較復(fù)雜的解直角三角形問題化繁為簡、化難為易。(4)在選用三角函數(shù)時，盡可能做乘法，避免除法，以使運算簡便。典型例題：例1. 在RtABC中，/ C=90° , / A、/ R / C的對邊

19、分別為a、b、C,由下列條件解直角三角形。 已知 a =10, / B=60° 已知 a=4j6, b=12，2(3)已知 a - b = 3 - . 3, / A=60°配套練習(xí)：根據(jù)下列條件解直角三角形 在 Rt AABOP, / C= 90°, c=10, Z A= 30o.(2 )在RtAABO, Z C= 90°, a=50, c= 50,2 .例 2.如圖，已知在 ABC中，/ B=60° , AD=14, CD=12, &ad=30 J3，求 BD的長。1 .在 RtABC中，/ C=90° , / A=30&#

20、176; ,2 .在 RtABC中，/ C=90° , a =6點，3 .在 RtABC中，/ C=90° , c = 6, b4 .在 RtABC中，/ C=90° , AC: BC=1：AB=18,貝U AC= , BC=c = 12 ,貝U / A= , b=4 ,則 tanB=,面積S=3 , AB=6, / B=,AC= BC=).已知一斜邊一銳角5.在下列直角三角形中不能求解的是(A,已知一直角邊一銳角BC.已知兩邊D.已知兩角6 . A ABO43, / A+ / B= 90°,cos A= 3 ,則 sin B=57 .解直角三角形在 R

21、tABC中,若 c= 10，則 a=(1 a = .3b=3(2) b=5, c = 5、.5(3) a =6, A =30O(4) B = 300, C=5738.為測量松樹AB的高度，一個人站在距松樹15米的E處，測得仰角/ ACD=52),已知人的高度是1.72米,求樹高(精確到 0.01米)(tan52 0=1.2799 )word范文9.某塊綠地的形狀如圖所示，其中/ BAD=60 , AB± BQ AD! CD AB=200m, CD=100rn 求AR BC的長。 (參考數(shù)據(jù):42 P 1.414, 5 =1.732,精確到1m)§ 7.6銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)

22、用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.經(jīng)歷探索實際問題的求解過程，進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用。2,能把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能進行有關(guān)三角函數(shù)的計算并能對結(jié)果的實際意義進行說明3.正確理解“旋轉(zhuǎn)角、仰角、俯角、視線、方位角”從而正確理解實際問題，解決實際問題。 重點：靈活應(yīng)用“銳角三角函數(shù)、勾股定理”解直角三角形難點：發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造可解的直角三角形和需解的直角三角形重要概念：B鉛垂線 曬與A jJ*«O A旋轉(zhuǎn)角：/ AOB視線/ 1是俯角，/ 2仰角南偏西的東2J .* *向角*Z*11北偏東，C/ 2:南偏西60度解題要領(lǐng)：畫出幾何圖形，明確已知量和未知量，通過添加適當(dāng)輔助線，構(gòu)造直角三角

23、30°后，最低點B升高了多少?把實際問題抽象為幾何問題，形，解決實際問題。問題引入：長為90 CM的單擺AB旋轉(zhuǎn)典型例題b例1.國慶長假，小明和同學(xué)一起到游樂場游玩，游樂場大型摩天輪的半徑為20米，旋轉(zhuǎn)一周需要 12分鐘。小明乘坐最底部的車廂(離地面約0.5米)開始一周的觀光。(1) 2分鐘后，小明離地面的高度是多少(精確到0.1米)？(2)摩天輪啟動多長時間后，小明和地面的高度將首次達(dá)到9m ?(提示cos55° =0.575)(3)小明將有多長時間連續(xù)保持在離地面9 m以上的高度？例2.升國旗時，某同學(xué)立在離旗桿底部2Am處行注目禮，當(dāng)國旗升至旗桿端時，該同學(xué)視線的仰角

24、恰為40° ,若雙眼離地面 1.5m,則旗桿高度為多少m? (sin40 ° =0.64, tan40 ° =0.84)例3.某商場為緩解我市 停車難”問題，擬建造地下停車庫，圖6是該地下停車庫坡道入口的設(shè)計示意圖，其中，ABBQ Z BAD= 18°, C在BD上，BC= 0.5m.根據(jù)規(guī)定，地下停車庫坡道入口上方要張貼限高標(biāo) 志，以便告知駕駛員所駕車輛能否安全駛?cè)?小明認(rèn)為CD的長就是所限制的高度，而小亮認(rèn)為應(yīng)該以CE的長作為限制的高度.小明和小亮誰說的對？請你判斷并計算出正確的結(jié)果.（結(jié)果精確到0.1m） 參考數(shù)據(jù)：sin18 ° =0.

25、31, cos18 ° =0.95 , tan18 ° =0.32隨堂演練：1 .小明站在A處放風(fēng)箏，風(fēng)箏飛到C處時的線長為20米，這時測得Z CBD=60 ,若牽引底端 B離地面1.5米，求此時風(fēng)箏離地面高度。（計算結(jié)果精確到0.1米，731.732）450米上空的P點，測得A2 .汶川地震后，搶險隊派一架直升飛機去A B兩個村莊搶險，飛機在距地面村的俯角為30°, B村的俯角為600（如圖）.求A、B兩個村莊間的距離.3.水平地面上的甲、乙兩樓的距離為30米，從甲樓頂部測得乙樓頂部的仰角為角為45。.求甲、乙兩樓的高度.30。，測行乙樓底部的俯（結(jié)果精確到米，

26、參考數(shù)據(jù) 近=1.414,通= 1.732）§ 7.6銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)用（2）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.經(jīng)歷探索實際問題的求解過程，進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用。2,能把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能進行有關(guān)三角函數(shù)的計算并能對結(jié)果的實際意義進行說明3.正確理解“旋轉(zhuǎn)角、仰角、俯角、視線、方位角”從而正確理解實際問題，解決實際問題。 重點：借助列方程靈活應(yīng)用銳角三角函數(shù)解直角三角形難點： 幾個可解的直角三角形和需解的直角三角形之間的聯(lián)系 解題要領(lǐng): 把實際問題抽象為幾何問題，畫出幾何圖形，通過添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形，注意抓住幾個直角三 角形之間的公共邊角，靈活應(yīng)用銳角三角函數(shù)借

27、助列方程解直角三角形。問題引入：我校九年級某班在測量校內(nèi)旗桿高度的數(shù)學(xué)活動中，同學(xué)們設(shè)計了兩種測量方案，并根據(jù)測量結(jié)果填寫了 如下數(shù)學(xué)活動報告中的一部分.請你把下表中計算過程和結(jié)果填寫完整課題測量校內(nèi)旗桿高度目的運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)方法解決實際問題一一測量旗桿高度方案方案一方案二測量工具測量數(shù)據(jù):AM =1.5m, AB=10m 二=30；, . 1 =60； 解：MNG皮尺、測角儀AM = h , AB = m/DAB=a , /DBA = P解：計算過程（結(jié) 果保留根號）測量結(jié)果DN =DN =典型例題例1.小明為了測量停留在空中的氣球的高度，他先在地面上找一點，站在這點測得氣球的仰角為

28、27。，然后向氣球方向走了 50米，測得氣球的仰角為 40°。這時他就能算出氣球的高度了。他是如何求 得氣球的高度呢？（小明的身高是1. 6米）（tan27 ° =0.51,tan40 ° =0.84,結(jié)果精確到 0. 1 米）例2.如上圖所示，已知：在 ABC中，/ A=60° , / B=45° , AB=8.求： ABC的面積（結(jié)果可保留根號）.例3.如圖，小唐同學(xué)正在操場上放風(fēng)箏，風(fēng)箏從A處起飛，幾分鐘后便飛達(dá) C處，此時，在 AQ延長線上B處的小宋同學(xué)，發(fā)現(xiàn)自己的位置與風(fēng)箏和旗桿PQ的頂點P在同一直線上.（1）已知旗桿高為10米，若在

29、B處測得旗桿頂點 P的仰角為30。，A處測得點P的仰角為45。，試求A、B 之間的距離；（2）此時，在A處背向旗桿又測得風(fēng)箏的仰角為75。，若繩子在空中視為一條線段，求繩子AC約為多少？（結(jié)果可保留根號）1 .如圖，塔AB和樓CD的水平距離為80米，從樓頂C處及樓底D處測得塔頂A的仰角分別 為45°和60° ,試求塔高和樓高。A'、血C一 8”BD2 .如圖，飛機沿水平方向（A、B兩點所在直線）飛行，前方有一座高山，為了避免飛機飛行過低，就必須測量山頂M到飛行路線 AB的距離MN飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和飛行的距離（因安全因素，飛機不能飛到山頂?shù)恼戏?N處才測飛行

30、距離），請設(shè)計一個距離 MN勺方案，要求：（1）指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；（2）用測出的數(shù)據(jù)寫出求距離 MN勺步驟.§ 7.6銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)用（3）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.正確理解“坡度、坡角、傾斜角”等在實際問題中的意義。2.能綜合運用解直角三角形的知識解決實際問題，進一步培養(yǎng)“把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題”的能力.重點：用三角函數(shù)有關(guān)知識解決工程中的相關(guān)實際問題難點： 根據(jù)解決問題的需要，正確添加輔助線，從而利用解直角三角形的方法解決實際問題知識點：坡度的概念，坡度與坡角的關(guān)系。如下圖，這是一張水庫攔水壩的橫斷面的設(shè)計圖，坡面的鉛垂高度與水平寬度的比叫做坡度（或坡比），AC記彳i ,即i =左，坡度通常用l ： m的形式，例如下圖中的 1: 2的形式。 BC坡面與水平面的夾角叫做坡角。從三角函數(shù)的概念可以知道，坡度與坡角的關(guān)系是i=tanB,顯然，坡度越大，坡角越大，坡面就陡。（一）與（二）比較：（一）中坡度小，坡角/ A小，坡面平緩；（二）中坡度大，坡角/嘗試練習(xí)：如圖3, 一個小球由地面沿著坡度 i =1: 2的坡面向上前進。若小球升高了 10nl此時小球沿坡面向上前進 米；若小球沿坡面向上前進 10nl此時小球升高 米。A大，坡面陡（圖3）典例剖析：例1.某數(shù)學(xué)活動小組組織一次登山話動。他們從山腳下A點出發(fā)