概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)20題及解答

1、實(shí)用文檔概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)20題及解答【第一章】 隨機(jī)事件與概率1、甲袋中有4個(gè)白球3個(gè)黑球，乙袋中有2個(gè)白球3個(gè)黑球，先從甲袋中任取一球放入乙袋 ，再?gòu)囊?袋中任取一球返還甲袋.求經(jīng)此換球過(guò)程后甲袋中黑球數(shù)增加的概率.2、某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，求此人撥號(hào)不超過(guò)兩次而接通所需電 話的概率.3、已知將0,1兩字符之一輸入信道時(shí)輸出的也是字符0或1 ,且輸出結(jié)果為原字符的概率為(01).假設(shè)該信道傳輸各字符時(shí)是獨(dú)立工作的.現(xiàn)以等概率從“ 101“ 010 ”這兩個(gè)字符串中任取一個(gè)入信道.求輸出結(jié)果恰為“ 000”的概率.4、試卷中的一道選擇題有 4個(gè)答案可供選擇

2、，其中只有 1個(gè)答案是正確的.某考生如果會(huì)做這道題， 則一定能選出正確答案；若該考生不會(huì)做這道題，則不妨隨機(jī)選取一個(gè)答案.設(shè)該考生會(huì)做這道題的概率 為0.85. (1)求該考生選出此題正確答案的概率；(2)已知該考生做對(duì)了此題，求該考生確實(shí)會(huì)做這道題的概率.【第二章】 隨機(jī)變量及其分布5、設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F (x) A B arctan x,(3)求X的概率密度.(1)求系數(shù)A及B ; (2)求X落在區(qū)間(1,1)內(nèi)的概率;6、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)ax, 0 x0, 其它求：(1)常數(shù)a ; (2)P(0.5 X 1.5); (3)X的分布函數(shù)F(x).7、設(shè)二維隨機(jī)變

3、量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為A(1 f (x, y)0,xy),1, y其它.1;求：(1)系數(shù)A; (2)X的邊緣概率密度f(wàn)X(x); (3)概率P(Y8、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為1, 0 xf(x,y)0,1,0 y其它.2x;實(shí)用文檔1.一 一 一求：(1) (X,Y)的邊緣概率密度 fx(x), fY(y); (2)概率P(X ,Y 1) ; (3)判斷X ,Y是否相互2獨(dú)立.9、設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，fY(y)X U 0, 0.2, Y的概率密度函數(shù)為 5e5y,y 0,0,y 0.(1)求X和Y的聯(lián)合概率密度 f (x, y) ; (2)求概率P(Y X)

4、.10、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)【第三章】數(shù)字特征(a b)x b, 0 x 1, a(2 x),1x2,0, 其它，_ _1,、，_已知 E(X),求：(1) a,b 的值；(2) E(2X 3).211、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)Ae2x, x 0, 0, x 0.求：(1)常數(shù) A; (2) E(X)和 D(X) .12、設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率分布如下:X-Y0101 / 4011 / 41 / 2(1)求X,Y的數(shù)學(xué)期望E(X),E(Y),方差D(X), D(Y) . (2)求X,Y的協(xié)方差cov(X,Y)與相 關(guān)系數(shù)R(X,Y).【第四章】正態(tài)分布13、假設(shè)某大學(xué)學(xué)生在

5、一次概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)統(tǒng)考中的考試成績(jī)X (百分制)近似服從正態(tài)分布，已知滿分為100分平均成績(jī)?yōu)?5分，95分以上的人數(shù)占考生總數(shù)的2.3%. (1)試估計(jì)本次考試的不及格率(低于60分為不及格)；(2)試估計(jì)本次考試成績(jī)?cè)?65分至85分之間的考生人數(shù)占考生總數(shù)的比 例.已知 (1) 0.8413,(1.5) 0.9332,(2) 0.9772 14、兩臺(tái)機(jī)床分別加工生產(chǎn)軸與軸襯.設(shè)隨機(jī)變量 X (單位：mm)表示軸的直徑，隨機(jī)變量 Y (單實(shí)用文檔2_2位：mm)表示軸襯的內(nèi)徑，已知 X N(50, 0.3 ), Y N(52,04 ),顯然X與Y是獨(dú)立的.如果軸襯的內(nèi)徑與軸的直徑之差在1

6、 3 mm之間，則軸與軸襯可以配套使用.求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率.已知 (2) 0.9772【第五章】 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)15、設(shè)總體X N(0, 1) , Xi,X2, ,X5是來(lái)自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求常數(shù) k 0使k(X1 2X2)X2 X2 X52t(3).16、設(shè)總體X N (40,52),從該總體中抽取容量為64的樣本，求概率 P(| X 40 | 1).【第六章】參數(shù)估計(jì)17、設(shè)總體X的概率密度為f(x；)(x 2)e0,x 2,其它，其中參數(shù)0 .設(shè)X3X2, ,Xn是取自該總體的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，Xi,X2, ,4為樣本觀測(cè)值(1)求參數(shù) 的矩估計(jì)量.(2)求參數(shù)

7、 的最大似然估計(jì)量.18、設(shè)總體X的概率密度為f(x;)1-X xe0,x 0;x 0,其中參數(shù)0 .設(shè)X3X2, ,Xn是取自該總體的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，Xi,X2, ,Xn為樣本觀測(cè)值(1)求參數(shù) 的最大似然估計(jì)量.(2)你得到的估計(jì)量是不是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【第七章】假設(shè)檢驗(yàn)19、矩形的寬與長(zhǎng)之比為 0.618 (黃金分割)時(shí)將給人們視覺(jué)上的和諧美感.某工藝品廠生產(chǎn)矩形裱畫專用框架.根據(jù)該廠制定的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，一批合格產(chǎn)品的寬與長(zhǎng)之比必須服從均值為0 0.618的正態(tài)分布.現(xiàn)從該廠某日生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取25個(gè)樣品，測(cè)得其寬與長(zhǎng)之比的平均值為x 0.646,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s 0.0

8、93.試問(wèn)在顯著性水平0.05水平上能否認(rèn)為這批產(chǎn)品是合格品？20、已知某種口服藥存在使服用者收縮壓(高壓)增高的副作用.臨床統(tǒng)計(jì)表明，在服用此藥的人群中實(shí)用文檔收縮壓的增高值服從均值為0 22 (單位：mmHg ,毫米汞柱)的正態(tài)分布.現(xiàn)在研制了一種新的替代藥品，并對(duì)一批志愿者進(jìn)行了臨床試驗(yàn).現(xiàn)從該批志愿者中隨機(jī)抽取16人測(cè)量收縮壓增高值，計(jì)算得到樣本均值x 19.5(mmHg ),樣本標(biāo)準(zhǔn)差s 5.2(mmHg ).試問(wèn)這組臨床試驗(yàn)的樣本數(shù)據(jù)能否支持“新的替代 藥品比原藥品副作用小”這一結(jié)論(取顯著性水平0.05).解答部分【第一章】隨機(jī)事件與概率1、甲袋中有4個(gè)白球3個(gè)黑球，乙袋中有 2

9、個(gè)白球3個(gè)黑球，先從甲袋中任取一球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳∫磺蚍颠€甲袋.求經(jīng)此換球過(guò)程后甲袋中黑球數(shù)增加的概率【解】設(shè)A表示“從甲袋移往乙袋的是白球” ，B表示“從乙袋返還甲袋的是黑球”，C表示“經(jīng)此換球過(guò)程后甲袋中黑球數(shù)增加”，則C AB,431又P(A) ，P(B A)-于是由概率乘法定理得所求概率為7624 12P(C) P(AB) P(A)P(BA)=- - 7.2、某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，求此人撥號(hào)不超過(guò)兩次而接通所需電 話的概率.【解】 設(shè)Ai表示“此人第i次撥號(hào)能撥通所需電話”(i 1,2), A表示“此人撥號(hào)不超過(guò)兩次而接通所需電話”，則A Ai A

10、1A2, 由概率加法定理與乘法定理得所求概率為P(A) P(A A1A2) P(A1) P(A1A2)19 1P(A) P(A)P(A2A) -9 1 0.2. 10 10 93、已知將0, 1兩字符之一輸入信道時(shí)輸出的也是字符0或1 ,且輸出結(jié)果為原字符的概率為(01).假設(shè)該信道傳輸各字符時(shí)是獨(dú)立工作的.現(xiàn)以等概率從“ 101“ 010 ”這兩個(gè)字符串中任取一個(gè)入信道.求輸出結(jié)果恰為“ 000”的概率.【解】設(shè)Ai :輸入的是“ 101 ”，A2:輸入的是“ 010 ”，B:輸出的是“ 000 ”，則P(Ai) 1/2, P(A2) 1/2, P(b|Ai) (1)2 , P(B A2)2

11、(1),從而由全概率公式得P(B) P(Ai)P(B Ai) P(A2)P(B A2)實(shí)用文檔12121一(1)-(1)(1).2224、試卷中的一道選擇題有 4個(gè)答案可供選擇，其中只有 1個(gè)答案是正確的.某考生如果會(huì)做這道題,則一定能選出正確答案；若該考生不會(huì)做這道題，則不妨隨機(jī)選取一個(gè)答案.設(shè)該考生會(huì)做這道題的概率為0.85. (1)求該考生選出此題正確答案的概率；(2)已知該考生做對(duì)了此題，求該考生確實(shí)會(huì)做這道 題的概率.【解】設(shè)A表示“該考生會(huì)解這道題” ，B表示“該考生選出正確答案”，則P(A)(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得0.85, P(A) 0.2, P(B A) 1,

12、 P(B| A) 0.25.P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B|A)P(AB)”0.85 10.90.944. 180.85 1 0.2 0.25 0.9.【第二章】 隨機(jī)變量及其分布5、設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F (x) A B arctan x, x(3)求X的概率密度.(1)求系數(shù)A及B ; (2)求X落在區(qū)間(1,1)內(nèi)的概率;【解】(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)可知F()如 F(x) A B ( -) 0,F( ) lim F(x) A x由此解得(2) X的分布函數(shù)為于是所求概率為P( 1 X 1)(3) X的概率密度為F(x)1A -,B2arctanx (),1111F

13、 (1) F ( 1) ( arctan1) ( arctan( 1)22f(x) F (x)(1x2)6、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)ax, 0 x 1,0, 其它，實(shí)用文檔求：(1)常數(shù)2;(2) P(0.5 X 1.5); (3) X 的分布函數(shù) F(x).【解】(1)由概率密度的性質(zhì)可知 iaf(x)dxoaxdx - 1,由此得a 2. 13/21(2)P(0.5 X 1.5) 2xdx 0dx x20 0.75.'71/211/2(3)當(dāng)x 0時(shí)，有 x F(x) 0dx 0；當(dāng)0 x 1時(shí)，有 0x2F (x) 0dx 0 2xdx x ;當(dāng)x 1時(shí)，有01xF(x)

14、 0dx 2xdx 0dx 1. 01所以，X的分布函數(shù)為0,x 0,F(x)x2, 0 x 1,1,x 1.xy),x 1, y 1;其它.7、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為A(1 f (x, y)0,求：(1)系數(shù)A; (2) X的邊緣概率密度f(wàn)X(x); (3)概率P(Y【解】(1)由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)可知11f(x,y)dxdy dx 1 A(1 xy)dy 4A 1,由此得f(x,y)dy 1 1 xydy 1 4fX(x) 0.(2)當(dāng) 1 x 1時(shí)，有fX(x)當(dāng)x 1或x 1時(shí)，顯然有所以X的邊緣概率密度f(wàn)X(x)1/2,0,1 x 1;其它.(3) 2 _ 21 x

15、 1 xy 11152 xP(Y X ) f (x, y)dxdy dx -dy( x x - 1)dxy x211414 22實(shí)用文檔8、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求：(1) (X,Y)的邊緣概率密度f(wàn)(x, y)fx (x),1, 0 x 1,0 y 2x;0,其它.1fY(y) ; (2)概率P(X - ,Y 1) ； (3)判斷X ,Y是否相互 2獨(dú)立.【解】(1)當(dāng)0 x 1時(shí),fx(x)f(x, y)dy2x0dy 2x；0或x 1時(shí)，顯然有fx(x) 0.X的邊緣概率密度為2x,fX(x)0,0 x其它.1；y 2時(shí)，有fY(y)f(x,y)dx1y dx2當(dāng)y 0或y

16、 2時(shí)，顯然有fY(y)0.于是Y的邊緣概率密度為fY(y)0,0 y其它.2；.1(2) P(X 2,Y1)11/ 2dy f (x, y)dx1/2dx y/2(3)容易驗(yàn)證f(x,y) fx(x)fy(y)X與Y不獨(dú)立.9、設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X U 0, 0.2, Y的概率密度函數(shù)為fY(y)(2)求X和Y的聯(lián)合概率密度 f(x, y) ； (2)【解】(1)由題意知，X的概率密度函數(shù)為5e 5y 0,求概率y yP(Y0,0.fX(x)5,0,0 x其它.0.2；因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，故 X和Y的聯(lián)合概率密度(2)f(x,y) fX(x)fy(y)25e 5y0,0 x其

17、它.0.2,0；0.2P(Y X) f(x,y)dxdy °xdx 25e05ydy 50.20(15x)dx e1實(shí)用文檔【第三章】數(shù)字特征10、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)(a b)x a(2 x) 0,b,0x1, 1x2, 其它，-_1E(2X已知 E(X),求：(1) a,b 的值；(2)2【解】(1)由概率密度的性質(zhì)可知E(X)f (x) dxxf (x)dx10(ab)x bdx2押2x) dx10(ab)xbxdx21a(2x)xdx聯(lián)立方程組解得b2 b61,12,4b(2) 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，有E(2X3) 2E(X)1-3 4.11、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

18、f(x)Ae2x0,0,0.求：(1)常數(shù) A; (2) E(X)和 D(X) .【解】(1)由概率密度的性質(zhì)可知f (x)dxAe2xdx由此得(2)由數(shù)學(xué)期望公式得E(X)2x 2x ,x 2e dxtetdt1”2)由于E(X2)2x t a2e 2xdx40 t2e tdt13)%2!故利用方差計(jì)算公式得實(shí)用文檔2211 21D(X) E(X ) E(X)()22412、設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率分布如下：-Y0101 / 4011 / 41 / 2(1)求X,Y的數(shù)學(xué)期望E(X),E(Y),方差D(X), D(Y). (2)求X,Y的協(xié)方差cov(X,Y)與相 關(guān)系數(shù)R(X,Y).【解】

19、 由(X,Y)的聯(lián)合概率分布知 X,Y服從"0 1"分布：P(X 0) 1/4, P(X 1) 3/4,P(Y 0) 1/2, P(Y 1) 1/2,由"0 1"分布的期望與方差公式得E(X)3/4,D(X)3/4(11/4)3/16,E(Y)1/2,D(Y)1/2(11/2)1/4,由(X,Y)的聯(lián)合概率分布知E(XY) 0 0 1/4 0 1 0 1 0 1/4 1 1 1/4 1/2, 從而 cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 1/2 3/4 1/2 1/8, cov(X,Y)1/8.3R(X,Y) ,')/ I .D(X) D

20、(Y) , 3/16 1/43【第四章】正態(tài)分布13、假設(shè)某大學(xué)學(xué)生在一次概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)統(tǒng)考中的考試成績(jī)X (百分制)近似服從正態(tài)分布,已知滿分為100分平均成績(jī)?yōu)?5分，95分以上的人數(shù)占考生總數(shù)的2.3%. (1)試估計(jì)本次考試的不及格率(低于60分為不及格)；(2)試估計(jì)本次考試成績(jī)?cè)?5分至85分之間的考生人數(shù)占考生總數(shù)的比例.已知 (1) 0.8413,(1.5) 0.9332,(2) 0.9772 2.一【解】 由題意，可設(shè) X近似服從正態(tài)分布 N(75,).已知P(X 95) 2.3%,即95 7520P(X 95) 1 P(X 95) 1() 1(一)2.3%,由此得 (20

21、) 0.977,于是型 2,10,從而近似有 X N(75, 102).(1)60 75 P(X 60)()( 1.5) 1(1.5) 1 0.9332 0.0668,10由此可知，本次考試的不及格率約為6.68%.85 75P(65 X 85) F(二)實(shí)用文檔(1) 2 (1) 1 2 0.8413 1 0.6826,由此可知，成績(jī)?cè)?65分至85分之間的考生人數(shù)約占考生總數(shù)的68.26% .14、兩臺(tái)機(jī)床分別加工生產(chǎn)軸與軸襯.設(shè)隨機(jī)變量X (單位：mm)表示軸的直徑，隨機(jī)變量 Y (單位：mm)表示軸襯的內(nèi)徑，已知 X N(50, 0.32), Y N(52,0.42),顯然X與Y是獨(dú)立

22、的.如果軸 襯的內(nèi)徑與軸的直徑之差在13 mm之間，則軸與軸襯可以配套使用.求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率.已知 (2) 0.9772【解】 設(shè)Z Y X,由X與Y的獨(dú)立性及獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合的性質(zhì)可知， 一_ 22Z Y X N(52 50,0.30.4 ),即ZN(2,0.52).于是所求概率為 _3 21 2P(1 Z 3)(/)崇)(2)( 2)0.50.52 (2) 1 2 0.9772 1 0.9544.【第五章】 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)15、設(shè)總體XN(0, 1),k(X1 2X2)X2 X2 X52t(3).Xi,X2, ,X5是來(lái)自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求常數(shù)【解】 由X

23、N(0, 1)知Xi 2X2N (0, 5),于是X1 2X212 N (0,1),%52 .又由分布的定義知所以x； x2 x；2(3),(X1 2X2)/ ,5X1 2X2,(X； X： X；)/3X3 X4= t(3), X；比較可得從而16、設(shè)總體X由題設(shè)2、N(40,5 ),從該總體中抽取容量為64的樣本，求概率 P(| X 40 | 1).P(|XX401 1) P(|-64,于X n4058N (0,1)408| 一) 5/85P(|u| 8) 2 (1.6) 1 2 0.9452 1 0.8904.5實(shí)用文檔【第六章】參數(shù)估計(jì)17、設(shè)總體X的概率密度為f(x；)(x 2)e0,

24、x 2,其它，其中參數(shù)0 .設(shè)X3X2, ,Xn是取自該總體的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，Xi,X2, ,Xn為樣本觀測(cè)值(1)求參數(shù) 的矩估計(jì)量.(2)求參數(shù) 的最大似然估計(jì)量. x 2 t1【解】(1) E(X) xf(x, )dx 2 xe (x 2)dx0 (t 2)e tdt - 2 ,1令X E(X),即X 2,解得參數(shù)的矩估計(jì)量為(2)樣本似然函數(shù)為L(zhǎng)()上式兩邊取對(duì)數(shù)得f(X,)i 1(xi 2)n(xi 2n)上式兩邊對(duì)求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零得nln L( ) nln ( Xi 2n),i 1d ln L()dn , n一(xi2n) 0 ,i 1n 1. ,一解得 ，從而參數(shù)的最大似然估計(jì)

25、量為X 2n x 2i 11X 218、設(shè)總體X的概率密度為f(x；)1-x xe0,x 0;x 0,其中參數(shù)0 .設(shè)X1，X2, ,Xn是取自該總體的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，入,*2, ,4為樣本觀測(cè)值(1)求參數(shù) 的最大似然估計(jì)量.(2)你得到的估計(jì)量是不是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解】(1 )樣本似然函數(shù)為nnxinr1-1L( ) f(X, ) xie二 xxi1上式兩邊取對(duì)數(shù)得實(shí)用文檔lnL( ) 2nlnIn Xi i 1求導(dǎo)數(shù)得土 inL()2nd. 一令in L( ) 0解得 d1 n X Xi -,于是參數(shù) 的極大似然估計(jì)量為 2n i 122n i 1Xi于是12 x/(2) E(X) 0 x e dxX t/X、2 x/ ()e dx,2 t,t e dx0? X 1-11E(?) E(-)E(X) E(X) 222221 nX X i 是 的無(wú)偏估計(jì).2n i 12【第七章】假設(shè)檢驗(yàn)19、矩形的寬與長(zhǎng)之比為 0.618 （黃金分割）