專題03“用好零點”,證明函數(shù)不等式-2019年高考數(shù)學(xué)壓軸題之函數(shù)零點問題(解析版)

1、專題三 “用好零點”，證明函數(shù)不等式函數(shù)方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)問題可以利用方程求解，方程解的情況可借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解 .高考命題常常以基本初等函數(shù)為載體，主要考查以下三個方面：（1）零點所在區(qū)間零點存在性定理； （2）二次方程根的分布問題； （ 3）判斷零點的個數(shù)問題； （4）根據(jù)零點的情況確定參數(shù) 的值或范圍； （5）根據(jù)零點的情況討論函數(shù)的性質(zhì)或證明不等式等.本專題圍繞高考壓軸題中已知零點（零點個數(shù)），證明函數(shù)不等式問題，例題說法，高效訓(xùn)練 .典型例題】類型一 設(shè)而不求，應(yīng)用函數(shù)零點存在定理例 1. 【四川省瀘州市 2019 屆高三二診】已知函數(shù) （ 1）若曲線在點

2、 處的切線與 軸正半軸有公共點，求 的取值范圍；（ 2）求證：時， 【答案】（1）；（ 2）證明見解析 .【解析】（1）函數(shù) f （ x） lnx ex+a的導(dǎo)數(shù)為 f（ x） ex+a曲線 f （x）在點（ 1，f （1）處的切線斜率為 1 e1+a，切點為（ 1， e1+a），可得切線方程為 y+e1+a（ 1 e1+a）（ x 1），可令y0 可得 x，由題意可得> 0，可得e1+a< 1，解得 a< 1；2）證明： f（ x） ex+a設(shè) g（x） f （ x） ex+a可得g（ x）（ +e ），當(dāng) x>0時， g（ x）< 0，g（x）遞減；由 a&g

3、t; 1 ， ex+a x x x>e若 e > ，g（x）< e<0，當(dāng) 0< x< 1 時，1故當(dāng) 0< x< e1x+a 1+a 1+a 1 ae < e 若 e < ，即 x< e，時， g（ x ）> 0，即 g（x） f （ x）有零點 x0，當(dāng) 0< x<x0 時，f （x）> 0，f （ x）遞增；當(dāng) x>x0時， f （x）<0，f （ x）遞減，可得 f （x） f （x0），又 f （ x0） lnx 0 ex0+a，又 ex0+a ，可得 f （ x0） lnx 0 ，

4、在 x0> 0 遞增，又 a ln x0 （ lnx 0+x0），a>1 ? （lnx 0+x0）> 1 （ ln + ），所以 lnx 0+x0< ln + ，由于 lnx 0+x0 遞增，可得 0<x0< ，故 f （ x） f （x0）< f （ ） 1e類型二 設(shè)而不求，應(yīng)用不等式性質(zhì)例 2. 【廣東省揭陽市 2019 屆高三一?！恳阎瘮?shù) （ ， e 是自然對數(shù)的底，）1）討論 的單調(diào)性；（ 2）若， 是函數(shù) 的零點， 是 的導(dǎo)函數(shù)，求證： 【答案】（ 1）當(dāng)時， 在 上單調(diào)遞減， 在 上單調(diào)遞增； 當(dāng) 時， 在 單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，在

5、 上單調(diào)遞增； （ 2）見解析 .【解析】（1），設(shè)，解法一：由 和 在 上單調(diào)遞增，可知 在 上單調(diào)遞增，解法二：由 得 可知 在 上單調(diào)遞增，又 ，所以當(dāng) 時， ，當(dāng) 時， ，當(dāng) 時， ，當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， 當(dāng) 時，由 得 或 x 1，當(dāng) 時， ， ， ；當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， 綜上所述：當(dāng) 時， 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增；當(dāng) 時， 在 單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增（ 2）解法一（分析法） ：當(dāng)時，由（ 1）知 在 上的最大值為 ，可知 ，所以在 上無零點若 是函數(shù)的零點，則 ，解法一：由 和 在 上單調(diào)遞增，且 、 ，可知 在 上解法二：設(shè) ，則 ， 由 得 ， ，所以

6、 ，單調(diào)遞增，可知 在 上單調(diào)遞增，要證 ，只需證，由（ 1）知在 上單調(diào)遞增， 只需證 ，又 ，只需證 且由 ， 得，又， 所以；，由 得 ， 綜上所述，得證方法二（綜合法） ：當(dāng)時，由（ 1）知在 上的最大值為 ，可知 ，所以 在 上無零點若 是函數(shù) 的零點，則 ， 而，由 ， ，得 ，又 ，所以 ；，由 得 ，所以 ，又 ，即 ，由（ 1）知在 上單調(diào)遞增，所以 ，而，由 和 在可知 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞增，且 、，類型三 代入零點，利用方程思想轉(zhuǎn)化證明零點之間的關(guān)系例 3. 【湖南師大附中 2019 屆高三月考試題（七 ） 】已知函數(shù) ，其中為常數(shù) .（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（

7、 2）若有兩個相異零點 ，求證： .【答案】（1）詳見解析； （2）詳見解析 .【解析】1），當(dāng) 時， ， 在區(qū)間 上單調(diào)遞增；（ 2）因為 ， 是 的兩個零點，則 ， ， 所以 ， .要證 ，只要證 ，即證 ， 即證 ，即證 ，只要證 .，則只要證設(shè) ，則 ，所以 在 上單調(diào)遞增 . 所以 ，即 ，所以 ，即 . 類型四 利用零點性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)證明參數(shù)范圍例 4【山東省臨沂市 2019 屆高三 2 月檢測】已知函數(shù)（1） 判斷 的單調(diào)性；（2） 若在（1，+） 上恒成立，且=0有唯一解，試證明 a<1【答案】（1） f （x）在（ 0，）遞減，在（，+）遞增； （2）見解析解析】1）函

8、數(shù)的定義域是（ 0，+），f （ x）x a，易知 x2ax20有兩根， x10，x2，故 f （ x）在（ 0，）遞減，在（，+）遞增；2）a< 0，1，f （ x ）在（ 1，+）上有唯一零點 x0 ，又 f （ x）x a，x0a0，要使 f （ x）0在區(qū)間（ 1，+）恒成立，且 f（x） 0有唯一解， 須 f （ x0） 0，即 2lnx 0 （1） ax00，由得：2lnx 0 （1） x0（x0） 0，故 2lnx 00，令 g（ x0） 2lnx 0，顯然 g（ x0）在（ 1，+）遞減， g（1）2>0，g（2） 2ln20，1< x0< 2，又ax0

9、 在（ 1，+）遞增，故 a< 1規(guī)律與方法】應(yīng)用函數(shù)的零點證明不等式問題，從已知條件來看，有兩類，一類是題目中并未提及函數(shù)零點，二一 類是題目中明確函數(shù)零點或零點個數(shù)；從要求證明的不等式看，也有兩種類型，一類是求證不等式是函數(shù) 值的范圍或參數(shù)的范圍，二一類是求證不等式是零點或零點的函數(shù)值滿足的不等關(guān)系 .1. 由于函數(shù)零點存在定理明確的是函數(shù)值滿足的不等關(guān)系，所以，通過設(shè)出函數(shù)的零點，利用函數(shù)零 點存在定理，可建立不等關(guān)系，向目標(biāo)不等式靠近，如上述類型一；也可以利用不等式的性質(zhì)，向目標(biāo)不 等式靠近，如上述類型二，這兩類問題突出的一點是“設(shè)而不求” 2. 當(dāng)求證不等式是零點或零點的函數(shù)值

10、滿足的不等關(guān)系時， 則注意將零點代入函數(shù)式， 構(gòu)建方程 （組），進一步確定零點之間的關(guān)系，然后在通過求導(dǎo)、分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)等手段 .【提升訓(xùn)練】1【廣東省揭陽市 2019 屆高三一?！吭O(shè)函數(shù)，1）討論 的單調(diào)性；2）若函數(shù) 有兩個零點 、 ，求證： 上單調(diào)遞減，在【答案】（1）當(dāng)時， 在 上單調(diào)遞減；當(dāng) 時， 在上單調(diào)遞增； （ 2）見解析 .【解析】 （1）設(shè)，當(dāng) 時， ， ；當(dāng) 時，由 得 或 ，記則 ，當(dāng) 時， ， ，當(dāng) 時， ， ，當(dāng) 時， 在 上單調(diào)遞減；當(dāng) 時， 在上單調(diào)遞增 （ 2）不妨設(shè)，由已知得 ，即，上單調(diào)遞減，在兩式相減得 ，要證 ，即要證 ，只需證 ，只需證，即要證

11、，設(shè) ，則 ，只需證 ，設(shè) ，只需證 ，在 上單調(diào)遞增，得證2【陜西省西安地區(qū)陜師大附中、西安高級中學(xué)、高新一中、鐵一中學(xué)、西工大附中等八校月聯(lián)考】已知函數(shù) 有兩個零點求實數(shù) a 的取值范圍；若函數(shù) 的兩個零點分別為 ， ，求證： 2019 屆高三 3【答案】（1）； （ 2）見解析 .【解析】由，得，當(dāng) 時，在 R 上為增函數(shù)，函數(shù) 最多有一個零點，不符合題意，所以 當(dāng) 時， ， ；所以在 上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；所以 ；若函數(shù) 有兩個零點，則 ；當(dāng) 時， ， ；由零點存在定理，函數(shù) 在 和 上各有一個零點結(jié)合函數(shù) 的單調(diào)性，當(dāng) 時，函數(shù) 有且僅有兩個零點， 所以， a 的取值范圍為 證明

12、：由 得 ， ；由 ， 得 ， ；所以 ；，則 ，解得 ， ；所以 ，當(dāng) 時，；設(shè) ，則 ，當(dāng) 時， ，于是 在 上為增函數(shù)；所以，當(dāng) 時， ，即 ；所以 3. 【寧夏銀川市 2019 年高三下學(xué)期檢測】已知函數(shù).（1）當(dāng)時， 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ 2）當(dāng)時，證明： （其中 為自然對數(shù)的底數(shù)） 【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，； 單調(diào)遞減區(qū)間是；（ 2）詳見解析 .【解析】（ 1）由題意，函數(shù)的定義域為 ,當(dāng) 時， ， 則 .由 解得 或 ；由 解得 . 所以 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ， ；單調(diào)遞減區(qū)間是 .（ 2）當(dāng)時，由 , 只需證明 .令 ， .設(shè) ，則 .當(dāng) 時， ， 單調(diào)遞減 ;當(dāng) 時， ，

13、 單調(diào)遞增 , 當(dāng) 時， 取得唯一的極小值，也是最小值 .的最小值是 成立 . 故成立 .4已知函數(shù) f （ x）=lnx+a （x1）2（a> 0）（1）討論 f （ x）的單調(diào)性；（2）若 f （x）在區(qū)間（ 0，1）內(nèi)有唯一的零點 x0，證明：【答案】（1）見解析；（ 2）見解析 .解析】（1），當(dāng) 0<a2時，f' （x）0，y=f（x）在（ 0，+）上單調(diào)遞增，當(dāng) a>2 時，設(shè) 2ax22ax+1=0 的兩個根為，且y=f （x）在（ 0， x1），（x2，+）單調(diào)遞増，在（ x1， x 2）單調(diào)遞減2）證明：依題可知 f （1） =0，若 f （ x ）

14、在區(qū)間（ 0，1）內(nèi)有唯一的零點 x0，由（ 1）可知 a> 2，且于是： 由得 ，設(shè) ，則 ，因此 g（ x）在上單調(diào)遞減，又，根據(jù)零點存在定理，故 5. 已知函數(shù) f （x）=3ex+x2，g（x） =9x1（ 1）求函數(shù) （x）=xex+4xf （ x）的單調(diào)區(qū)間；（2）比較 f （x）與 g（x）的大小，并加以證明【答案】（1）（x）在（， ln2 ）上單調(diào)遞增，在（ ln2 ， 2）上單調(diào)遞減，在（ 2， +）上單調(diào)遞增 （2）f（x）> g（x）【解析】（1）' （x）=（x2）（ex 2），令 ' （ x） =0，得 x 1=ln2 ，x2=2；令 &

15、#39; （x）> 0，得 x<ln2 或 x> 2；令 ' （x）< 0，得 ln2 < x<2故 （ x ）在（， ln2 ）上單調(diào)遞增，在（ ln2 ，2）上單調(diào)遞減，在（ 2， +）上單調(diào)遞增（2）f（x）> g（x）證明如下：設(shè) h（ x）=f （ x） g（x） =3ex+x2 9x+1， h' （x）=3ex+2x9為增函數(shù)， 可設(shè) h' （x0）=0，h' （0）=60，h' （1）=3e70， x0（ 0，1）當(dāng) xx0時，h' （x）0；當(dāng) xx0時，h' （x）0h（x） m

16、in=h（x0）=，又 ， ， =（ x0 1）（x010）， x0（ 0， 1），（ x0 1）（ x0 10） 0，h（x）min0，f （x）g（x）6. 已知函數(shù) f （ x）=lnx x+1，函數(shù) g（x）=ax?ex4x，其中 a 為大于零的常數(shù)）求函數(shù) f （x）的單調(diào)區(qū)間；）求證： g（x）2f（x）2（lnaln2 ）答案】（1）增區(qū)間（ 0， 1）；減區(qū)間（ 1，+）. （ 2）見解析【解析】（） （ 2 分）x（ 0， 1）時， f' （x）0，y=f （x）單增；x（ 1， +）時， f' （x）0，y=f （x）單減 （4 分）證明：令 h（ x ）=

17、axex 4x 2lnx+2x 2=axe x2x 2lnx 2（a>0，x>0） （5 分）令 h' （ x ）=0 即7 分）兩邊求對數(shù)得： lna+x 0=ln2 lnx 0 即 lnx 0+x0=ln2 lna （9 分） ， h（x）2lna 2ln2 （ 12 分）7. 【山東省濟南市 2019屆高三 3 月模擬】已知函數(shù)， 其導(dǎo)函數(shù)的最大值為.（ 1）求實數(shù) 的值；2）若，證明： .答案】（1）；（ 2）見解析解析】（1）由題意，函數(shù)的定義域為 ，其導(dǎo)函數(shù)記則.當(dāng) 時， 恒成立，所以 在 上單調(diào)遞增，且 . 所以 ，有 ，故 時不成立；當(dāng) 時，若 ，則 ；若

18、，則 .所以在所以 .令 ，則 .當(dāng) 時， ；當(dāng) 時，. 所以在 的單減，在單增 .所以，故.（ 2）當(dāng)時， ，則.由（ 1）知 恒成立，所以在上單調(diào)遞減，且，不妨設(shè) ，則 ， 欲證 ，只需證 ，因為 在 上單調(diào)遞減，則只需證， 又因為， 則只需證 ，即 .令 （其中 ），且 .所以欲證， 只需證，由， 整理得： ，所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，所以 ， ，所以函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減， 所以有 ，故.8【山東省日照市 2017 屆高三下學(xué)期一?！吭O(shè)(e 為自然對數(shù)的底數(shù) ) ， (I) 記，討論函單調(diào)性；(II) 令 ，若函數(shù) G(x) 有兩個零點(i) 求參數(shù) a 的取值范圍；(ii) 設(shè) 的

19、兩個零點，證明 【答案】()見解析; ( )( i )a>0; (ii) 見解析解析】，所以)當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增)由已知， ，當(dāng) 時， ，有唯一零點 ；當(dāng) 時， ，所以當(dāng)時，減；當(dāng)時，增所以 ，因 ，所以當(dāng) 時， 有唯一零點；當(dāng) 時， ，則 ，所以 ，所以 ，因為 ，所以， ，且，當(dāng)， 時，使 ，取 ，則 ，從而可知當(dāng)時，有唯一零點，即當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點當(dāng) 時， ，由 ，得 ，或 若 ，即 時， ，所以 是單調(diào)減函數(shù)，至多有個零點；若 ，即 時， ，注意到 ， 都是增函 數(shù)，所以當(dāng) 時， ， 是單調(diào)減函數(shù)；當(dāng) 時， ， 是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng) 時， ， 是單調(diào)減函數(shù)又因為 ，所以

20、 至多有一個零點；若 ，即 時，同理可得當(dāng) 時， ， 是單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時，是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時，是單調(diào)減函數(shù)又因為 ，所以 至多有一個零點綜上，若函數(shù) 有兩個零點，則參數(shù) 的取值范圍是 由 知，函數(shù) 有兩個零點，則參數(shù) 的取值范圍是 ， 是 的兩個零點，則有，因 ，則 ，且 ， ， ， ， ， 由（）知，當(dāng) 時， 是減函數(shù)；當(dāng) 時， 是增函數(shù)令 ， ，2m 2m再令 （m）e +1e1，所以 ，又 ，所以時， 恒成立，即恒成立，令 ，即 ，有 ，即因為 ，所以 ，又 ，必有 ，又當(dāng) 時， 是增函數(shù)，所以 ，即2 9已知函數(shù) f x lnx a x 1 a 0 .（ 1）討論 f x 的單調(diào)性；3

21、（2）若 f x 在區(qū)間 0,1 內(nèi)有唯一的零點 x0，證明： e 2 x0 e 1 . 【答案】 （1） 答案見解析； （2） 證明見解析 .【解析】（2）依題可知 f 1 0，若 f x 在區(qū)間 0,1 內(nèi)有唯一的零點 x0，由（ 1）可知 a 2， 且 x0 x1 0,1 .0 1 22于是： lnx0 a x0 1 0 22ax02 2ax0 1 0 x 1 x 1由得 lnx00 0 ，設(shè) g x lnx , x 0,1 ，2x02x則 g x 2x 21 ，因此 g x 在 0,1 上單調(diào)遞減，2x223又23 e2 4 ， 1 e 1 3又 g e 20 ， g e 1 0223根據(jù)零點存在定理，故 e 2 x0 e 1 .x10已知函數(shù) f x ex ax 1，其中 e 為自然對數(shù)的底數(shù)， a R（I）若 a e ，函數(shù) g x 2 e x求函數(shù) h x f x g x 的單調(diào)區(qū)間若函數(shù) F x f x ,x m 的值域為 R, 求實數(shù) m的取值范圍 g x ,x m（ II ）若存在實數(shù) x1,x20,2 , 使得 fx1fx2，且x1x21，求證： e 1 ae2e【答案】（1）詳見解析實數(shù) m的取值范圍是 0, 1 ；（2）