三角函數(shù)在電工學中的應用

1、2.6 三角函數(shù)在電工學中的應用舊課復習： 正弦定理、余弦定理 :a b c . sinA sinB sinc a2 b2 c2 2bc cos A ; b2 c2 a 2 2cacosB ; c2 a 2 b2 2abcosC.新課引入：1. 分析正弦交流電流的變化規(guī)律舉例我們知道 ,正弦交流電的電流強度 i 隨時間 t變化的規(guī)律 為i I m sin（ t 0）.其中 I m 電流強度的最大值,稱為幅值（或峰值）; 稱為 角頻率 （ 或圓頻率 ）,它表示電流變化的快 慢,其單位是“弧度 /秒” ;0 稱為初相位 （或初位相或初相 ）; t 0稱為t時刻的相位（或位相 ）, 它是發(fā)電機轉子的

2、繞組面在 t 時刻所在位置與定 子磁場方向所成的角 （圖 2-12）. 這里,i 關于t是正弦型函數(shù) ,因此我們可以利用正弦型函數(shù)的圖象強度 i 隨時間 t 變化在一個周期里的圖象 ,其中橫坐標表示t.根據(jù)圖 2-13, 回答下列問題 :(1) i1與i2的幅值各為多少 ?(2) i1與i 2的周期相等嗎 ?是多少 ?(3) i1與 i 2哪個先達到最大值 ?解: (1)從圖 2-13 中可以看出 , i1的幅值為 30 A,i2的幅值 為 20 A .(2) 圖 2-13 中,橫軸代表 t ,從圖中看出 , t每增加 (減少)i1與i2函數(shù)值都不變 .因此 i1與i2的周期相同 ,都等于2（

3、3） 從圖 2-13 中看出 ,當 t時,i1 達到最大值 ; 當62t 2 時, i2達到最大值 .因此 i1先達到最大值 .3 2 1從圖 2-13 中還可以看出 , i1的初相位是 3 ,i2的初相位是6根據(jù)上述分析 ,可以寫出 i1與 i 2的解析表達式如下i1 30sin t13i2 20sin t 6 ,（可以確定 的值,這里從略 ） 正弦交流電完成一次周期性變化所需的時間稱為 周期 （ 單 位 :秒 ,記 作 s）, 用 T 表 示 ,根 據(jù) 正 弦型 函 數(shù) 的 周 期 T2性 ,T: 單位時間內交流電完成周期性變化的次數(shù)稱為頻率 （單位 :赫茲 ,記作 Hz）, 用 f 表示

4、 .顯然 fT1 ,從而2 f . 兩個同頻率的交流電的相位角或初相位角之差,稱為相位差 .以上電流 i1與 i2是兩個同頻正弦電流 ,它們的相位差是62我們稱 i1比 i2 的相位超前 ,或者說 i2 比 i1 的相位 滯后 .如上1 2 2 2 1 2 所說 , i1比 i2先達到最大值 .例 2 已知正弦交流電流 i (安)與時間 t (秒)的函數(shù)關系為30sin 100 t4 (t 0).(1) 試指出它的角頻率、頻率、周期、幅值及初 相位各是多少 ?(2) 設 t 0秒、t 0.0025秒時電流的瞬時值分別為i0、i1,試比較 i0 與i 1哪個較大 ?(3) 試畫出它在一個周期內的

5、簡圖 ,并指出電流在這個周期內的變化情況 .解:(1) 角頻率100 (rad/s),頻率 f 100 50(Hz),221周期 T f 0.02(s),幅值 I m 30(A),初相位 0 (rad).4(2) 當 t 0 時 , i 15 2 ( “ - ” 號 表 示 流 向 ),所 以 i0 15 2 (安);當t 0.0025時, i 0,所以 i1 0(安).因此, i0比 i1大.(3) 列表100 t =X402322Xt = 41000.00250.00750.01250.01750.0225i 30sin(100 t )40300300i（安培）從圖 2-14 看出 ,在前

6、半個周期內 ,當時間從 0,0025 秒連t(秒)描點畫圖 （圖 2-14）11續(xù)變化到 0.0075 秒時 ,電流從 0 安逐漸增大到幅值 30 安;當時間從 0,0075 秒連續(xù)變化到 0.0125 秒時 ,電流從 30 安 逐漸減小到幅值 0 安. 在后半個周期內 ,電流的變化規(guī)律與前半個周期內的情形相似 ,但流向相反 .例 3 圖 2-15 是一個正弦交流電流的圖象 ,根據(jù)圖象求 出它的周期、頻率、幅值和初相位，并寫出電流 i 關于時間 t 的函數(shù)關系式 .解 : 根據(jù)圖象可知電流的周期 T 所以 頻率 f0.25 0.05 0.2 (s).T 0.25(Hz).角頻率 2 f 10

7、(rad/s) 由圖又知 , 幅值 I m 10(A), 起點 坐 標 為 (-0.05,0). 由 正 弦 型 函 數(shù) 起 點 坐 標 的 求 法 , 有 圖 2-150100.05于是 , 初相 0 2 (rad)i/A1010因此 ,該正弦交流電的函數(shù)關系式為i 10sin (10 t ).正弦交流電的電壓 v隨時間 t 變化的規(guī)律為v Vm sin ( t 0 )， 其中 Vm是電壓的最大值 ,稱為幅值 (或峰值 ),同樣 , 稱為角 頻率 (或圓頻率 ), 0稱為初相位 (或初相 ), t0 稱為 t時刻的相位 .21類似地 ,正弦電壓的周期 T 2 （單位 :s）,頻率 f T （

8、單 位 :Hz）,2 f （ 單位 :rad/s）在電工學中 , 正弦交流電的電流和電壓都簡稱為 正弦 量.顯然 ,正弦量由幅值、角頻率和初相 位唯一確定 .課堂練習：習題 2.6 的 1、2、 3 題（請學生回答）2.求兩個同頻率的正弦交流電合成舉例在電工學里 ,對交流電路的分析過程中 ,經(jīng)常遇到對 同 頻率的正弦量求和的運算 ,稱之為 同頻率正弦量的合成 .例 如:設有兩個同頻率的正弦電流 （單位 :A）i1 I1m sin（ t 1）,i2 I 2m sin（ t 2）,把它們合成 ,即i i1 i2 I1m sin（ t 1） I2m sin（ t 2）i 又稱為電流 i1與 i 2的

9、總電流 .例 4 求兩個同頻率的正弦電流 i1 3sin 100 t 與13i2 sin 100 t 相加的總電流 .26解: 設i1與i2的合成電流為 i ,則i i1 i23sin 100 t sin 100 t 363 sin 100 t cos cos100 tsinsin 100 tcos cos100 tsin3 3 6 63cos cos sin 100 t363sin sin cos100 t363 sin100 t 2 cos100 t3sin7100 t2cos100 t7 sin(100 t0 ) ,2其中 0 arctan 3 .因此合成電流 i 也是正弦電流 ,且與

10、i1 、 i2同頻率 .由上可見 ,用和角的正弦公式能求出兩個同頻率的正弦 量的合成結果 ,但計算非常繁瑣 .下面將給出一種較簡單的 解法.根據(jù) 2.3 節(jié)討論的結果可知 ,正弦量除了用正弦型函數(shù)或 正弦波形表示之外 ,還可以用旋轉向量來表示 .畫旋轉向量 來表示正弦量 ,是繁瑣的 .在電工學中 ,通常只 用初始位置 (t 0) 的向量來表示一個正弦量 , 它的長度等于正弦量的幅值 ,它與橫軸正方向間的夾角等于正弦量的初相位.但是我們應該具有這樣的概念 :這個向量是以正弦量的角頻率作逆 時針方向旋轉的 ,它在縱軸上的投影 （縱坐標 ） 表示正弦量的 瞬時值 .在實際問題中我們所涉及的往往是正弦

11、量的有效值.因此為了方便起見 ,常使向量的長度等于正弦量的有效值.顯然 ,這時它在縱軸上的投影就不能代表正弦量的瞬時值了 .由電工學可知 ,正弦電流和電壓的有效值與幅值的換算關系為:II m V Vm2 ,V2.為了與物理向量 （例如電場力、電場強度等 ）區(qū)別 ,表示隨時間而變化的正弦量的向量我們稱為 相量 ,并在所注文字上方打一“·”. 例如電流和電壓的 幅值相量 分別記作 Im和Vm ,它們的 有效值相量 分別記作 I 和V.由于正弦量由幅值、角頻率和初相位唯一確定 ,因此對應正弦電流 i I m sin t 0相量 Im （或 I）.對應正弦電壓 v Vm sin t 0相量V

12、m （或V） .按照各個同頻率的正弦量的幅值 （或有效值 ）和初相位畫 出若干個相量的圖形稱為相量圖 . 由 2.3 節(jié)討論亦可知 , 兩個同頻率的正弦量相加 （ 相同物理量相加 ）, 其結果是一個同 頻率的正弦量 ,它們的相量之和 ,就是它們的和的相量 .因此 , 我們可以利用兩個同頻率的正弦量 （ 相同物理量 ） 的相量圖 , 采用平行四邊形法則求它們的和相量 , 再通過解三角形便 可求得這兩個同頻率的正弦量之和的幅值和初相位,從而得出兩個同頻率的正弦量的合成結果 .例 5 已知兩同頻率的正弦電流 i1 8sin （ t 60 ）安和 i 2 6sin（ t 30 ）安,求 i i1 i

13、2.解: 先作 i1和i 2的幅值相量 I1m 和I2m,以 該兩相量為鄰邊作一平行四邊形 , 平行四邊形 的對角線即為兩正弦電流之和 i 的幅值相量 ImmxI 2m（圖 2-16）.因為 i1和 i 2的相位差恰為 90 ,所以 i的幅值 所以 i 10sin ( t 23 )安.而i 的初相位60 arctan6 60 37 ,8例 6 在圖 2-17 的電路中 ,設i1 I1msin( t 1)= 100sin ( t 45 )安,i2 I2msin( t 2)= 60sin ( t 30 )安, 試求總電流 i.解: 根據(jù)表示正弦量的幾種方法對本題分 別進行計算如下 :因此總電流 i

14、 的幅值為I 1m cos 1I2m cosI1m sinI2m sin電流 i 的初相位為arctanI 1m sin 1I 1m cos 1I2m sin 2I 2m cos 230arctan 70.7 3070.7 52故得i 129 sin ( t 18 20 )安.將本題中的 I1m 100安、 I 2m 60安、 1 45 代入，則得Im70.7 52 用正弦波形求解先作出表示電流 i1和 i2的正弦波形 ,而后將兩波形的縱 坐標相加 ,即得總電流 i 的正弦波形 ,從此波形上便可量出 i的幅值和初相位 (圖 2-18). 70.7 30 2 122.72 40.72 129 安

15、，arctan 40.7 18 20 .122.7邊形 ,其對角線即為總電流 i 的幅值相量 I m , 它的長度即為幅值 ,它與橫軸正的夾角即為初相位 （圖 2-19 或圖 2-18 縮小版 ）.從向量圖上可以量出 i 的幅值和初相 .4 用相量圖通過解三角形求解 先作出表示電流 i1和i2 的幅值相量 I1m和 I2m ,而后以 I1m 和 I2m 為鄰邊作一平行四邊形 ,其對角線即 為總電流 i 的幅值相量 Im ,它的長度即為幅值 ,它與橫軸正方向間的夾角即為初相位 (圖 2-19).因為 i1與i2的相位差 1 2 45 (-30 )= 75 所以,由余弦定理得Im222I12m I

16、22m 2 I1m I 2m cos(180 75 )1002 602 2 100 60 cos105 16706,因此, i的幅值 Im16706 129安;又根據(jù)正弦定理 ,有sin (30 )=I1m sin105Im100 sin1051290.7488,所以 i 的初相位于是arcsin 0.7488 30 18 29 . i 129sin ( t 18 29 )安.最后指出 ,如果用相量表示正弦交流電 ,則正弦交流電路中的希爾荷夫定律具有相量形式本堂課作業(yè)：習題 2.6 的 4 、5 題 本堂課歸納小結： 正弦交流電的電流強度 i 及電壓 v對時 間 t 的函數(shù)關系分別為 :i I

17、m sin( t 0) (Im 0, 0);v Vm sin ( t 0 ) (Vm0, 0),它們都是正弦型函數(shù) .掌握了正弦型函數(shù)圖象和性質 ,也 就掌握了正弦交流電隨時間變化的在電工學中 , 正弦交流電的電流和電壓都簡稱為正弦 量 , 正弦量可以用相量來表示 .有對應正弦電流 i I m sin t 0 幅值相量 I m （或有效值相量 I） .對應正弦電壓 v Vm sin t 0 幅值相量 Vm （或有效值相量 V） .兩個同頻率的正弦量相加 （相同物理量相加 ）,其結果是一 個同頻率的正弦量 ,它們的相量之和 ,就是它們的和的相量 . 因此 ,我們可以利用兩個同頻率的正弦量 （相同物理量 ）的相 量圖 ,采用平行四邊形法則求它們的和相量 , 再通過解