三角函數(shù)所有公式及學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和公式的四個層次和對數(shù)特例

1、精品資料歡迎下載二角公式總表1111abc4.S/=-aha=absi nC=-bCs in A=-aCsi nB=2R2si nA sin B si nC22224R2 si nC1.弧長一R=n n nR780780S扇=1LR=1R R2:2 2n R22.正弦定理：a=b=C=2R(R為三角形外接圓半徑)sin A sinB sinC3.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosAb2=a2c2=a2+b2-2abcosCcos A二b2c22bc360精品資料歡迎下載2a sin BsinC2sin A2b sinAsinC2sin B2c sin Asin B（其中P二如b c）,

2、r為二角形內(nèi)切圓半徑）5.同角關(guān)系:倒數(shù)關(guān)系：sin esc)-COS Tsec - tg v ctg)-1平方關(guān)系：sin2v cos2J- sec2v - tg2J- esc2v - ctg幻 -1Basins bcosv - a2b2s in（）（其中輔助角與點（a,b）在同一一象限，且tg）a6.函數(shù)y=Asin（，X ）k k的圖象及性質(zhì)：（0, A 0）振幅A，周期T=空，頻率f=2,相位，初相oT=pr=p(p-a)(p -b)(p-c)商的關(guān)系:tgx厶處x cossin r -y=cosv tgvrcos = = sin：ctgrXcos vysin二r1Xcosr _1cs

3、c=etg寸sec=siseectg=COSTCSCV= tgv esc：y sin日精品資料歡迎下載7五點作圖法：令.依次為。討占公求出x與y,依點x，y作圖8.誘導(dǎo)公試三角函數(shù)值等于:的同名三角 函數(shù)值，前面加上一個把 :看 作銳角時，原三角函數(shù)值的符 號；即：函數(shù)名不變，符號看 象限函數(shù)值，前面加上一個把:看 作銳角時，原三角函數(shù)值的符 號；即：函數(shù)名改變，符號看象 限9.和差角公式1sin（ 二I ） = sin：cos I-二cos：sin：cos（二I ） = cos：cos： sin：sin :tg：tgl：=tg（：二卩）（1二tg：tg一：）tg（_）=爲(wèi)蔦雹蔦富其中當(dāng) A+

4、B+C=A+B+C=n時有: :AB AC B Ci i）. .tgA tgB tgtgA tgB tgCiiii）. .tg尹2tg-tg-tg-tg-=isincostgctg-a-si not+cosa-tga-ctgan - a+sin a-cosa-tg-ctgan + a_sin a-cosa+tga+ctga2兀.a_sin a+cosa-tg.ctga2k兀+a +sin +cosa+tg+ctgasincontgctg-ot2+cosa+sin a+ctga+tgaJl+a2+cosa.sina.ctga.tga3兀-a2-cos_sin a+ctga+tga3兀,+a2-c

5、osa+sin .ctgatga三角函數(shù)值等于:的異名三角tg（精品資料歡迎下載10.二倍角公式：（含萬能公式）sin 2 v - 2 sin vCOS T=11.三倍角公式:1sin3)- 3sin v -4sin3v - 4sin v sin(60 -v)sin(60v)2cos3v - -3cos v 4cos% - 4COSV COS(60 -V)COS(60V)33tg 3二=：gIftgtg tg (60一r) tg (60)12.半角公式：（符號的選擇由所在的象限確定）13積化和差公式:sin：cos：二IIbin(隈亠P) sin(：- -)12costs in：= - si

6、n(隈亠P) - si n(：-)】II -cos21 COS Vsin -2tg，21 tgcos2v - cos2v - sin2v - 2cos2v -12 _= 1-2 sin =21 -tg51 tg丁tg2r2tgr1 -tg1cos2v2cos21 cos 22sin =2：1一sin_COsT12cos2|1 COST2二1 -COST- 2sin 21 - cos t - 2 cos22、仁” ；仙Q2)Qecossin 精品資料歡迎下載14.和差化積公式:cos：cos:=1 CosG ) cos(-： sinsin：_2Cos(cos_精品資料歡迎下載sin .：: si

7、n 1 = 2sin -cos -sin二 一sin =2 cos-sin -22 2 2倉冉c +P - PR. a + P . a - Pcos：亠cos：=2 cos-cos-cos：-cos - - -2 sin- sin-2 2 2 215.反三角函數(shù):方程方程方程的解集si nx = aa 1=1x | x = 2k江+ arcsin a,k乏Z a扌1a扌tgx =a| x = k% + arctga ,k z ctgx = ax | x = k兀+ arcctga , k Z 等差數(shù)列求和公式的四個層次等差數(shù)列前 n n 項和公式Sn二色 釗“務(wù) 血1）d, ,是數(shù)列部分最重要

8、公2 2名稱函數(shù)式定義域值域性質(zhì)反正弦函數(shù)y = arcs in xLi,i】增Tt Tt1arcsin(-x) = -arcsinx奇反余弦函數(shù)y = arccosx匚1,1】減0,?！縜rccosx)=兀-arccosx反正切函數(shù)y =arctgxR R 增rJI Tt2211arctg(-x) = - arctgx奇反余切函數(shù)y =arcctgxR R 減(0“)arcctg (x)=兀一arcctgx16.最簡單的角精品資料歡迎下載式之一, ,學(xué)習(xí)公式并靈活運(yùn)用公式可分如下四個層次：1.1. 直接套用公式從公式Sn二色 輕J3m，anjm1）n=na1n（n）d中,我們可以看到公式2

9、2 2中出現(xiàn)了五個量，包括ai，d,an，n,Sn，這些量中已知三個就可以求另外兩個了 從基本量的觀點認(rèn)識公式、理解公式、掌握公式這是最低層次要求. .例 1 1設(shè)等差數(shù)列也的公差為d,d,如果它的前 n n 項和sn= -n2, ,那么().(1992().(1992年三南咼考試題）(A)(A)an二=2n -1,d二-2(B)(B)an= 2n _ 1,d = 2(C)(C)_an =2n 1,d - -2(D)(D)an- -2n 1,d = 2解法 1 1由于Sn- -n2且an二Sn_S14知，an =_n2 (n-儼=-2n1d = an-an4= -2n 1 -2(n -1) 1

10、, d = -2,選(C).(C).解法 2 2 Sn= na1d - -n2,對照系數(shù)易知d - -2,2此時由na1 - n(n T) = -n2知a -1,故a-2n 1,選(C).(C).例 2 2 設(shè)Sn是等差數(shù)列On啲前 n n 項和，已知耳3與44 的等比中項為34精品資料歡迎下載1S5, ,!S3與乂4的等差中項為 1,1,求等差數(shù)列 玄泊勺通項an.(1997.(1997 年全國高考534文科) )-(n -1)d,前 n n 項和為Sn二na1 -n(1)d.1S3IS4=(1S5)2由題意知415, ,1S1S4=2k343214 315 42d)(4a1d)(5a1d)

11、2422523 2、14 3、cd)(4a1d) = 224223印小+5d =05,解得丿2ai +-d = 2,L2 an=1或an=4 (n一1)(一邑)=32一12n.555經(jīng)檢驗均適合題意, ,故所求等差數(shù)列的通項為an=1或a2.2. 逆向活用公式在公式的學(xué)習(xí)中，不僅要從正向認(rèn)識公式，而且要善于從反向分析弄清 公式的本來面目. .重視逆向地認(rèn)識公式，逆向運(yùn)用公式，無疑將大大地提高公 式的解題功效，體現(xiàn)了思維的靈活性. .例 3 3 設(shè)n N,求證：如 耳：.1 2 . 2 3亠一n(n 1)：血 可.2 2(1985(1985 年全國高考文科) )證明；nln H “ . 2 3川

12、-卷n,2又1 :：.1 2, 2：、2 3,nn(n_1),也耳：、1 2 . 2 3 n(n 1).2解設(shè)a泊勺通項為an11即嚴(yán)1i(3a1化簡可得由此可知125.a1 =43212n.55精品資料歡迎下載又n(n 3)二2 3 4 (n 1),2且、1 2 : 2, . 2 3 : 3, 3 4：4,n(n 1) n 1, 1 2.、2卷目n(n 1)：乜3).2例 4 4 數(shù)列 a a對于任意自然數(shù) n n 均滿足& =佝an)n, ,求證：a?a?是等差2數(shù)列. .(1994(1994 年全國高考文科) )證明欲證ani-an為常數(shù)，由Sn少a)n及Sn(ai an1)(n

13、 1)可得2 2naa1(n -1)an 1推出(n 1)an 1二a1 na. .2,作差可得2nan 1二nannan 2，因此an 2 -an 1=an 1_ an.由遞推性可知：a.?-a. 1 n 1 a.2 T=d(d為常數(shù)),所以命題得證. .這是九四年文科全國高考試題，高考中得分率極低，我們不得不承認(rèn)此 為公式教學(xué)與學(xué)習(xí)中的一個失誤，倘若能重視逆向地認(rèn)識公式，理解公式，應(yīng) 用公式, ,還“和”為“項”，結(jié)局還能如此慘重嗎？3.3. 橫向聯(lián)系，巧用公式在公式的學(xué)習(xí)過程中，還要從運(yùn)動、變化的觀點來認(rèn)識公式，從函數(shù)及數(shù) 列結(jié)合的角度分析透徹理解公式，公式& =na1旦口d表明

14、是關(guān)于 n n 的二次2函數(shù)，且常數(shù)項為 0,0,同時也可以看出點列(n,Sn)均在同一條拋物線上，且此拋 物線過原點，體現(xiàn)了思維的廣闊性，請再看例 2.2.解設(shè)Sn= an2 bn, ,則可得121212 2_(a32+bH3)M_(aH42+bM4)=_(aH52+5b)2451 1精品資料歡迎下載(9a+3b) +：(16a + 4b) =2精品資料歡迎下載Si,S2,S3, ,Si2中哪一個值最大, ,并說明理由. .（19921992 年全國咼考試題）解由于Sn”31歸表明點列2都在過原點的拋物線上，再由S12- 0, S13：0,易知此等差數(shù)列公差d0,d0例 2 2 解不等式lo

15、ga(1-丄)1.(1996.(1996 年全國高考試題) )x解( ( I ) )當(dāng)a 1時原不等式等價不等式組1-丄011X二 T -a ,從而x : 0.1丄ax-ax(II)(II)當(dāng)0：a：1時原不等式等價于不等式組11AO 由知x1或xcO. x1 11 - a 由得0 loga(1 x)3.3. 引參策略恰當(dāng)?shù)卦O(shè)立參數(shù)，使問題得到簡化，計算量減少，這是解題中常用技巧-J-J-A設(shè)X =acscrj (,0) (0,-)，則k =一ctg22si n廿:1, 0：1 x :于是loga(1-X)|loga(1 +x)|設(shè)對所有實數(shù)x,x,不等式/砸彳嚀2x|og2角log2(a 1

16、)24a20恒成立, ,求 a a 的取值范圍. .（19871987 年全國高考試題）解: :令t=loga丈丄則原不等式可轉(zhuǎn)化為（3 t）x2tx 2t 0. .2a要使原不等式恒成立，必須有3 t =0 2t=0 n2t 3+tA0卜=4t2-&(3+t) cO即log20,解之0：a a)- a =0, k二x - sx2a2aa.精品資料歡迎下載當(dāng)(_ ,0)時k =1 cos一二ctg2sin日2T7 &兀又一(一一，0),. k：-1.24精品資料歡迎下載當(dāng)士 （。，2）時“獸噸又尹。訃?！?綜上所述可知 k k 的范圍為k：1或0：k =：1.4.4. 分類討論

17、分類討論是解決含參變量問題的重要手段之一， 值得注意的是在分類討論中 要準(zhǔn)確地確定分類標(biāo)準(zhǔn)逐級分類討論例 5 5 已知自然數(shù) n,n,實數(shù) a1,a1,解關(guān)于 x x 的不等式高考試題）解：原不等式等價于 .今必2 2 設(shè)a .0,a=1,t Q比較1logat與logat 1的大小，并證明你的結(jié)論. .（198819882 2年全國高考試題） 解：當(dāng) t0t0 時, ,由均值不等式有 F F t t 當(dāng)且僅當(dāng)t= =1時取，”號, ,所以1t=1時1logat= =logat-2 22t=1時 若0：a”：1,則1logat loga-2 2若a 1則1logat loga-2 2分類討論應(yīng)

18、注意：對于多個參變量應(yīng)分清主參變量與次參變量，按先 主后次順序分層次討論，必須確定討論的全集及分類標(biāo)準(zhǔn)，各類必須互不logax ( -4) loga2X 12 loga3X亠 亠n(-2)nJlogan1-33loga(x2-a).(1991(1991 年全國(1)(1)為奇數(shù)時logax log(x2_a)即、 .a :：: x :：:(2)(2)為偶數(shù)時logaX：（心即x精品資料歡迎下載相容, ,否則產(chǎn)生重復(fù)討論各類子集的并集必須是全集，否則產(chǎn)生遺漏現(xiàn)象. .5.5. 數(shù)形結(jié)合數(shù)和形是整個數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的兩大柱石，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中十分重要的思想方法, ,某些問題, ,不妨可借助于幾何圖形

19、來考慮，因為幾何圖形直觀、形象 易于求解, ,請再看例 1.1.解：原方程等價于loga(x -ak) =loga(x2-a2), ,轉(zhuǎn)化為考慮曲線y=xak(y .0)與曲線y “X2-a2(y 0), ,要使原方程有解，只上半直線和上半雙曲線有交點，由y = x _ ak平行于雙曲線一條漸近線y= =x,x,如圖，0：ka：a或ak：-a從而解得廠:k 1,a1,由圖象知31. 4a 1x. .2仿上方法同理可求解例 2,2,這里從略. .步驟：把原不等式( (方程) )等價變形為f(x) .g(x)(f(xg(x),作出y = f(x)與y二g(x)圖象，由f(x)二g(x)求交點，由圖象及函數(shù)性質(zhì)確定范圍，從而求解. .6.6.分離參數(shù)( (主次轉(zhuǎn)化