《提優(yōu)教程》2012江蘇省高中數(shù)學 第63講 極限競賽教案

1、極限及其運算相關知識1.數(shù)列極限的定義： 一般地，如果當項數(shù)無限增大時，無窮數(shù)列的項無限趨近于某個常數(shù)（即無限趨近于0），那么就說數(shù)列以為極限，或者說是數(shù)列的極限記作，讀作“當趨向于無窮大時，的極限等于”2.幾個重要極限： （1） （2）（C是常數(shù)） （3）無窮等比數(shù)列（）的極限是0，即 3.函數(shù)極限的定義:(1)當自變量x取正值并且無限增大時，如果函數(shù)f(x)無限趨近于一個常數(shù)a，就說當x趨向于正無窮大時，函數(shù)f(x)的極限是a.記作：f(x)=a，或者當x+時，f(x)a.(2)當自變量x取負值并且絕對值無限增大時，如果函數(shù)f(x)無限趨近于一個常數(shù)a，就說當x趨向于負無窮大時，函數(shù)f(x

2、)的極限是a.記作f(x)=a或者當x時，f(x)a.(3)如果f(x)=a且f(x)=a，那么就說當x趨向于無窮大時，函數(shù)f(x)的極限是a，記作：f(x)=a或者當x時，f(x)a.4 數(shù)列極限的運算法則:與函數(shù)極限的運算法則類似, 如果那么5 對于函數(shù)極限有如下的運算法則：如果，那么, 當C是常數(shù)，n是正整數(shù)時:,這些法則對于的情況仍然適用 6 函數(shù)在一點連續(xù)的定義: 如果函數(shù)f(x)在點x=x0處有定義，f(x)存在，且f(x)=f(x0)，那么函數(shù)f(x)在點x=x0處連續(xù).7.函數(shù)f(x)在(a，b)內連續(xù)的定義：如果函數(shù)f(x)在某一開區(qū)間(a，b)內每一點處連續(xù)，就說函數(shù)f(x

3、)在開區(qū)間(a，b)內連續(xù)，或f(x)是開區(qū)間(a，b)內的連續(xù)函數(shù).8 函數(shù)f(x)在a，b上連續(xù)的定義：如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內連續(xù)，在左端點x=a處有f(x)=f(a)，在右端點x=b處有f(x)=f(b),就說函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù),或f(x)是閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù).9 最大值f(x)是閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，如果對于任意xa，b，f(x1)f(x)，那么f(x)在點x1處有最大值f(x1).10 最小值f(x)是閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，如果對于任意xa，b，f(x2)f(x)，那么f(x)在點x2處有最小值f(x2).11.最大值最小值定理如果f(x)是閉區(qū)

4、間a，b上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在閉區(qū)間a，b上有最大值和最小值 . A類例題例1 （1）等于( )A.1 B.0 C.1 D.不能確定分析 因為當|1即a時，=0，當|1時，不存在.當=1即a=時，=1當=1時，也不存在.答案 D.例2 已知|a|b|，且 (nN*)，那么a的取值范圍是( )A.a1B.1a0C.a1D.a1或1a0分析 左邊=右邊=|a|b|，|1.()n=0不等式變?yōu)閍，解不等式得a1或1a0.答案：D.說明 在數(shù)列極限中，極限qn=0要注意這里|q|1.這個極限很重要.例3 (1). (2)(1)分析 先因式分解法，然后約分代入即得結果。解：. (2)分析 分子、分

5、母同除x的最高次冪.解： 例4 . 分析 進行分子有理化.解：.=鏈接有限個函數(shù)的和（或積）的極限等于這些函數(shù)的和（或積）；兩個（或幾個）函數(shù)的極限至少有一個不存在時，他們的和、差、積、商的極限不一定不存在. 在求幾個函數(shù)的和（或積）的極限時，一般要化簡，再求極限 .求函數(shù)的極限要掌握幾種基本的方法.代入法；因式分解法；分子、分母同除x的最高次冪；分子有理化法.情景再現(xiàn)1 已知數(shù)列l(wèi)og2(an1)（nN*）為等差數(shù)列，且a13，a25，則）=（ ）A2BC1D2 =8，試確定a，b的值.B類習題例5已知下列極限，求a與b.(1)(2)(3)分析 此題屬于已知x趨向于x0(或無窮大)時，函數(shù)的

6、極限存在且等于某個常數(shù)，求函數(shù)關系式的類型.上邊三個小題都不能簡單地將x=x0直接代入函數(shù)的解析式中，因為(1)(2)中的x不趨于確定的常數(shù)，(3)雖然趨于1，但將x=1代入函數(shù)關系式中，分母為零.因此，解決此類問題的關鍵，是先要確定用哪種方法求極限，再將函數(shù)的解析式進行適當?shù)淖冃?，然后根?jù)所給的條件進行分析，進而確定a，b的值.解 (1)1 如果1a0，不存在.2 如果 1a=0，=(a+b)=0 即a+b=0解：(2)要使極限存在1a2=0.即1+2ab=0，a+10.解：(3)當x1時極限存在，則分子、分母必有公因式x1.ab2=1原式=鏈接我們求極限的一種方法是分子、分母同除x的最高次

7、冪，但像第(1)題，因為分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，如果分子除以x2，則分子極限為0，不符合，所以通分后，應除以分子分母中x的較低次冪.并且x的次數(shù)比分子x的最高次冪大的項的系數(shù)應該等于0，這樣極限才存在.例6已知f(x)=求a，使f(x)存在.解：要使f(x)存在，則f(x)與f(x)要存在且相等.f(x)= (2x23)=2223=5.f(x)= (3x2+a)=322+a=12+a.5=12+a.a=7例7設函數(shù)f(x)=，在x=0處連續(xù)，求a，b的值.分析：要使f(x)在x=0處連續(xù)，就要使f(x)在x=0處的左、右極限存在，并且相等，等于f(x)在x=0處的值a.解：f(x)=(1)f

8、(x)=(2x+1)=20+1=1鏈接這類連續(xù)的題目，關鍵是求在一點處的左、右極限存在并都等于在這點的函數(shù)值，與函數(shù)在這點的極限存在的方法是相同的 情景再現(xiàn)3 求下列函數(shù)在X0處的極限（1）（2）（3）4 求 C類習題例8 設數(shù)列a1,a2,an,的前n項的和Sn和an的關系是Sn=1ban,其中b是與n無關的常數(shù)，且b1 (1)求an和an1的關系式；(2)寫出用n和b表示an的表達式；(3)當0b1時，求極限Sn 解 (1)an=SnSn1=b(anan1)=b(anan1)+ (n2)解得an= (n2)說明 歷年高考中多出現(xiàn)的題目是與數(shù)列的通項公式，前n項和Sn等有緊密的聯(lián)系 有時題目

9、是先依條件確定數(shù)列的通項公式再求極限，或先求出前n項和Sn再求極限，本題考查學生的綜合能力 解答本題的關鍵點是分析透題目中的條件間的相互關系 技巧與方法是 抓住第一步的遞推關系式，去尋找規(guī)律 例9 已知數(shù)列an滿足條件：a1=1，a2=r（r0）且anan+1是公比為q（q0）的等比數(shù)列，設bn=a2n1+a2n（n=1，2，）（）求出使不等式anan+1+an+1an+2an+2an+2（nN*）成立的q的取值范圍；（）求bn和，其中Sn=b1+b2+bn；（）設r=21921，q=，求數(shù)列的最大項和最小項的值.解：（）由題意得rqn1+rqnrqn+1由題設r0，q0，故上式q2q10所以

10、，由于q0，故0q（）因為所以=q0b1=1+r0，所以bn是首項為1+r，公比為q的等比數(shù)列，從而bn=（1+r）qn1當q=1時，Sn=n（1+r）當0q1時，Sn=當q1時，Sn= 綜上所述 （）由（）知bn=（1+r）qn1從上式可知當n20.20時n21（nN）時，cn隨n的增大而減小，故1cnc21=1+=2.25當n20.20，即n20（nN）時，cn也隨著n的增大而減小，故1cnc20=1+綜合、兩式知對任意的自然數(shù)n有c20cnc21故cn的最大項c21=2.25，最小項c204例10 已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是 （）求的表達式，并求出f（1）、f（2）的值； （）數(shù)列a

11、n，bn，若對任意的實數(shù)x都滿足，其中是定義在實數(shù)R上的一個函數(shù)，求數(shù)列an，bn的通項公式； （）設圓，若圓Cn與圓Cn+1外切，rn是各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，記Sn是前n個圓的面積之和，求.解：（I）由已知得 （II） 由得（III），設數(shù)列rn的公比為q，則 情景再現(xiàn)5在數(shù)列an中，已知a1=,a2=,且數(shù)列an+1an是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列l(wèi)g(an+1an是公差為1的等差數(shù)列 (1)求數(shù)列an的通項公式；(2)Sn=a1+a2+an(n1),求Sn 6 已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，d0且a1=0,bn=2 (nN*),Sn是bn的前n項和，Tn= (nN*) (1)求Tn的通

12、項公式；(2)當d0時，求Tn 本章習題1已知數(shù)列的值為（ ）ABC1D22設數(shù)列的通項公式為,它們的前項和依次為,則( ) 3 =_ 4 若=1,則ab的值是_5 67 (m，n為自然數(shù))8求9.計算(r0)10 已知數(shù)列的前n項和為，且、等差中項為1（1）寫出、；（2）猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法證明；（3）設，求的值 11 設f(x)是x的三次多項式，已知=1,試求的值 (a為非零常數(shù)) 12已知數(shù)列an,bn都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公式分別為p、q,其中pq,且p1,q1,設cn=an+bn,Sn為數(shù)列cn的前n項和，求的值 參考答案 情景再現(xiàn)答案1解 由題意得：,求得d=1, 則又

13、由所以=所以 故選C。2 解：由題意3 解：（1）（2）不存在（3）4 5 解 (1)由an+1an是公比為的等比數(shù)列，且a1=,a2=,an+1an=(a2a1)()n-1=()()n-1=,an+1=an+又由數(shù)列l(wèi)g(an+1an)是公差為1的等差數(shù)列，且首項lg(a2a1)=lg()=2,其通項lg(an+1an)=2+(n1)(1)=(n+1),an+1an=10(n+1),即an+1=an+10(n+1)聯(lián)立解得an=()n+1()n+1(2)Sn=6 解 (1)an=(n1)d,bn=2=2(n1)dSn=b1+b2+b3+bn=20+2d+22d+2(n1)d由d0,2d1,Sn=Tn=(2)當d0時，2d1本章習題答案1（C） 2（A）3 解 答案 4 解 原式=ab=8 5解：6解：7 解：當nm0時，即nm =0當nm=0時，即n=m =1當nm0時，即nm 不存在.當nm時，=0；當n=m時，=1；當nm時，不存在.8解：9.解：1 0r1，rx=0，.2 r=1，rx=1，3 r1，01，. 10 解：（1）依題意：，計算得，（2）猜想以下用數(shù)學歸納法證明：當n1時，猜想成立假設當nk時，猜想成立，即，則當時，兩式相減得即，當nk1時，猜想也成立，綜上所述，對時，（3），11 解 由于=1，可知