直線與圓知識點及經(jīng)典例題(含答案)

1、圓的方程、直線和圓的位置關(guān)系【知識要點】一、 圓的定義：平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓（一）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 這個方程叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。說 明：1、若圓心在坐標(biāo)原點上，這時，則圓的方程就是。2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個基本要素：圓心坐標(biāo)和半徑；圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要三個量確定了且0，圓的方程就給定了。就是說要確定圓的方程，必須具備三個獨立的條件確定，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來解決。（二）圓的一般方程將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,展開可得?？梢?，任何一個圓的方程都可以寫成 :問題：形如的方程的曲線是不是圓？將方程左邊配方得： （1）當(dāng)0時，方程（1）與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，

2、方程表示以為圓心，以為半徑的圓。,（3）當(dāng)0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形。圓的一般方程的定義：當(dāng)0時，方程稱為圓的一般方程. 圓的一般方程的特點：（1）和的系數(shù)相同，不等于零；（2）沒有xy這樣的二次項。（三）直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓位置關(guān)系的種類（1）相離-求距離； (2)相切-求切線； （3）相交-求焦點弦長。2、直線與圓的位置關(guān)系判斷方法：幾何方法主要步驟：（1）把直線方程化為一般式，利用圓的方程求出圓心和半徑（2）利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離（3）作判斷: 當(dāng)d>r時，直線與圓相離；當(dāng)dr時，直線與圓相切;當(dāng)d<r時，直線與圓相交。代數(shù)方法主要

3、步驟：（1）把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組（2）利用消元法，得到關(guān)于另一個元的一元二次方程（3）求出其的值，比較與0的大?。海?）當(dāng)<0時，直線與圓相離；當(dāng)0時，直線與圓相切 ；當(dāng)>0時，直線與圓相交?！镜湫屠}】類型一：圓的方程例1 求過兩點、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點與圓的關(guān)系變式1：求過兩點、且被直線平分的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式2：求過兩點、且圓上所有的點均關(guān)于直線對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點與圓的位置關(guān)系，只須看點與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點在圓外；若距離等于半徑，則點在圓上；若距離

4、小于半徑，則點在圓內(nèi)解法一：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓心在上，故圓的方程為又該圓過、兩點 解之得：，所以所求圓的方程為解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因為圓過、兩點，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因為，故的斜率為1，又的中點為，故的垂直平分線的方程為：即又知圓心在直線上，故圓心坐標(biāo)為半徑故所求圓的方程為又點到圓心的距離為點在圓外例2：求過三點O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圓的方程，并求出這個圓的圓心和半徑。解：設(shè)圓的方程為：x2 y2 Dx Ey F 0，將三個點的坐標(biāo)代入方程Þ F 0， D -8， E 6 Þ 圓方程為：x2 y2 -8x 6y

5、0配方：（ x -4 ）2 （ y 3 ）2 25 Þ圓心：（ 4， -3 ）， 半徑r 5例3 求經(jīng)過點，且與直線和都相切的圓的方程分析：欲確定圓的方程需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點，故只需確定圓心坐標(biāo)又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上解：圓和直線與相切，圓心在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線和的距離相等兩直線交角的平分線方程是或又圓過點，圓心只能在直線上設(shè)圓心到直線的距離等于，化簡整理得解得：或圓心是，半徑為或圓心是，半徑為所求圓的方程為或說明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過定點且與兩

6、已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法類型二：切線方程、切點弦方程、公共弦方程例4已知圓，求過點與圓相切的切線解：點不在圓上，切線的直線方程可設(shè)為根據(jù).解得，所以，即因為過圓外一點作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在易求另一條切線為說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補回漏掉的解本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決（也要注意漏解）還可以運用，求出切點坐標(biāo)、的值來解決，此時沒有漏解例5 兩圓與相交于、兩點，求它們的公共弦所在直線的方程分析：首先求、兩點的坐標(biāo)，再用兩點式求直線的方程，但是求兩圓交點坐標(biāo)的過程太繁為了避免求交點，可以采用“設(shè)而不求

7、”的技巧解：設(shè)兩圓、的任一交點坐標(biāo)為，則有： 得：、的坐標(biāo)滿足方程方程是過、兩點的直線方程又過、兩點的直線是唯一的兩圓、的公共弦所在直線的方程為說明：上述解法中，巧妙地避開了求、兩點的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)從解題的角度上說，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識內(nèi)容的角度上說，還體現(xiàn)了對曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識它的應(yīng)用很廣泛例6、求過點，且與圓相切的直線的方程解：設(shè)切線方程為，即，圓心到切線的距離等于半徑，解得， 切線方程為，即，當(dāng)過點的直線的斜率不存在時，其方程為，圓心到此直線的距離等于半徑，故直線也適合

8、題意。 所以，所求的直線的方程是或類型三：弦長、弧問題例7、求直線被圓截得的弦的長.例8、直線截圓得的劣弧所對的圓心角為 解：依題意得，弦心距，故弦長，從而OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為.例9、求兩圓和的公共弦長類型四：直線與圓的位置關(guān)系例10、已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.例11、若直線與曲線有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.解：曲線表示半圓，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實數(shù)的取值范圍是或.例12、圓上到直線的距離為1的點有幾個？分析：借助圖形直觀求解或先求出直線、的方程，從代數(shù)計算中尋找解答解法一：圓的圓心為，半徑設(shè)圓心到直線的距離為，則如圖，在圓心同側(cè)，與直線平

9、行且距離為1的直線與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意又與直線平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意符合題意的點共有3個解法二：符合題意的點是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點設(shè)所求直線為，則，即，或，也即，或設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、，則，與相切，與圓有一個公共點；與圓相交，與圓有兩個公共點即符合題意的點共3個類型五：圓與圓的位置關(guān)系例13、判斷圓與圓的位置關(guān)系，例14：圓和圓的公切線共有 條。解：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，.，兩圓相交.共有2條公切線。類型六：圓中的最值問題例15：圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是 解：圓的圓心為（2，2），半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相離，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是.例16(1)已知圓，為圓上的動點，求的最大、最小值(2)已知圓，為圓上任一點求的最大、最小值，求的最大、最小值分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決解：(1)圓上點到原點距離的最大值等于圓心到原點的距離加上半徑1，圓上點到原點距離的最小值等于圓心到原點的