(完整word版)解析幾何常見(jiàn)突破口(word文檔良心出品)

1、解析幾何常見(jiàn)突破口解析幾何研究的問(wèn)題是幾何問(wèn)題，研究的手法是代數(shù)法(坐標(biāo)法)因此，求解解析幾何問(wèn)題最大的思維難點(diǎn)是轉(zhuǎn)化，即幾何條件代數(shù)化.如何在解析幾何問(wèn)題中實(shí)現(xiàn)代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，找到常見(jiàn)問(wèn)題的求解途徑，即解析幾何問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化是如何實(shí)現(xiàn)的，是突破解析幾何問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在為此，從以下幾個(gè)途 徑，結(jié)合數(shù)學(xué)思想在解析幾何中的切入為視角，分析解析幾何的“雙管齊下”，突破思維難點(diǎn).考點(diǎn)一利用向量轉(zhuǎn)化幾何條件典例如圖所示，已知圓C: x2+ y2 2x+ 4y 4 = 0，問(wèn)：是否存在斜率為1的直線I，使I與圓C交于A, B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？若存在，寫出直線I的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2、解題觀摩假設(shè)存在斜率為1的直線I，使I與圓C交于A, B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).設(shè)直線 I 的方程為 y= x+ b,點(diǎn) A(xi, yi), B(x2, y2).聯(lián)立消去y并整理得2x2+ 2(b + 1)x+ b2+ 4b 4= 0,x2 + y2 2x + 4y 4= 0,所以 Xi+ X2= (b+ 1) , X1X2=.因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以0A丄0B, 即卩X1X2 + y1y2= 0.又 y1 = X1+ b, y2= X2+ b,則 X1X2+ y1y2= X1X2 + (X1 + b)(X2 + b) = 2x1x2 + b(X1 + X2) + b2= 0

3、.由知，b2+ 4b 4 b(b + 1) + b2= 0，即 b2 + 3b 4= 0,解得 b= 4 或 b= 1.當(dāng) b = 4 或 b = 1 時(shí)，均有 = 4(b+ 1)2 8(b2 + 4b 4) = 4b2 24b + 36 0,即直線I與圓C有兩個(gè)交點(diǎn).所以存在直線I，其方程為x y+ 1 = 0或x y 4= 0.關(guān)鍵點(diǎn)撥以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)等價(jià)于OA丄OB，而OA丄OB又可以“直譯”為 X1X2 + y1y2= 0,可以看出，解此類解析幾何問(wèn)題的總體思路為“直譯”，然后對(duì)個(gè)別難以“直譯”的條件先進(jìn)行“轉(zhuǎn)化”，將“困難、難 翻譯”的條件通過(guò)平面幾何知識(shí)“轉(zhuǎn)化”為“簡(jiǎn)單、 易

4、翻譯”的條件后再進(jìn)行“直譯”，最后聯(lián)立“直譯”的結(jié)果解決問(wèn)題.考點(diǎn)二角平分線條件的轉(zhuǎn)化典例已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn) A(4,0)，且在y軸上截得的弦 MN的長(zhǎng)為8.(1) 求動(dòng)圓圓心的軌跡 C的方程；已知點(diǎn)B( 1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線I與軌跡C交于不同的兩點(diǎn) P, Q，若x軸是/ PBQ的角平分 線，求證：直線I過(guò)定點(diǎn).解題觀摩(1)設(shè)動(dòng)圓圓心為點(diǎn)P(x, y),則由勾股定理得x2+ 42= (x 4)2+ y2,化簡(jiǎn)即得圓心的軌跡 C的 方程為y2= 8x.(2) 證明：法一：由題意可設(shè)直線I的方程為y= kx+ b(kz 0).聯(lián)立 2 得 k2x2 + 2(kb 4)x+ b2= 0.由=

5、 4(kb 4)2 4k2b2 0，得 kbv 2.y = 8x,2 因?yàn)閤軸是/ PBQ的角平分線，所以 kpB + kQB = 0,yi即 kpB + kQB=+xi+ 1y2X2 + 12kxix2+ k+ b xi + X2 + 2bxi+ 1 x2+ 1g 2=0，X1+ 1 x2 + 1 k2所以k+ b= 0, 即卩b=- k,所以I的方程為y= k(x 1).故直線l恒過(guò)定點(diǎn)(1,0).法二：設(shè)直線PB的方程為x= my 1,它與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為 Q ，設(shè)點(diǎn)P(X1, y” , Q (X2, y2),由條件可得，Q與Q 關(guān)于x軸對(duì)稱，故Q(X2, y2).x= my 1,

6、聯(lián)立 2消去 x 得 y2 8my+ 8 = 0,其中= 64m2 32 0, y1+ y2= 8m, yy = 8.y = 8x,所以kpQ = 吐些= ，因而直線PQ的方程為y y1= (x X1).X1 X2 y1 y2y1 y2又y1y2= 8, y2= 8X1,將PQ的方程化簡(jiǎn)得(y1 y2)y= 8(x 1)，故直線I過(guò)定點(diǎn)(1,0).法三：由拋物線的對(duì)稱性可知，如果定點(diǎn)存在，則它一定在x軸上,x= my+ a,所以設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0)，直線PQ的方程為x= my+ a.聯(lián)立2消去x,y2= 8X整理得 y2 8my 8a= 0, A0.設(shè)點(diǎn) P(X1, y1), Q(X2, y

7、2)，則刃+ 滬y1y2= 8a.由條件可知kPB + kQB = 0,kPB+ kQB =y1X1+ 1y2X2 + 1my1+ a y2+ my2+ a y1 + y1 + y2 2my1y2 + a+ 1 y1+ y2=0,所以一8ma+ 8m = 0.X1+ 1 X2 + 1X1 + 1 X2 + 1由m的任意性可知a= 1，所以直線I恒過(guò)定點(diǎn)(1,0).2 2法四：設(shè)P(h,yJ , Q (宜，y2)，因?yàn)閄軸是/ PBQ的角平分線，8 8所以 kPB + kQB= 2也+ 2* = 0,整理得(y1 + y2)( %，2 1) = 0. 計(jì)1 +18因?yàn)橹本€l不垂直于X軸，所以y1

8、 + 丫2工0,可得y1 y28y1y2=8.因?yàn)?kPQ = y1喬啟，8 88v28所以直線PQ的方程為y y1=(x -)，即y= (x 1)故直線I恒過(guò)定點(diǎn)(1,0).y1 + y28y1 + y2法五角平分線性質(zhì)|BP| |PM | VpI1)2 y IVaI0|BQ| |QM | IVqI，(忌 1)2 y22 IVbX1+ 1 X2+1關(guān)鍵點(diǎn)撥本題前面的三種解法屬于比較常規(guī)的解法，主要是設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線方程，聯(lián)立方程，并借助判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)解題，計(jì)算量較大解法四巧妙地運(yùn)用了拋物線的參數(shù)方程進(jìn)行設(shè)點(diǎn)，避免了聯(lián)立方程組，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，但是解法二和解法四中含有兩個(gè)參數(shù), y2,

9、因此判定直線過(guò)定點(diǎn)時(shí)，要注意將直線的方程變?yōu)樘厥獾男问?考點(diǎn)三弦長(zhǎng)條件的轉(zhuǎn)化x2一典例女口圖所示，已知橢圓 G: 2 + y2= 1，與x軸不重合的直線l經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)Fl，且與橢圓G相交于A,B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M，直線0M與橢圓G相交于C, D兩點(diǎn).(1) 若直線I的斜率為1,求直線0M的斜率.(2) 是否存在直線I，使得|AM |2= |CM|DM|成立？若存在，求出直線 I的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解題觀摩(1)由題意可知點(diǎn)Fi ( 1,0),又直線I的斜率為1，故直線I的方程為y= x+ 1.y = x+ 1, 設(shè)點(diǎn) A(X1, y1), B(x2, y2),由 x2消去 y 并整

10、理得 3x2 + 4x= 0,2 + y2= 1,1422 13則X1+ X2=, y1+ y2=, 因此中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(一，-).故直線OM的斜率為 =333 3 23中點(diǎn)弦點(diǎn)差法算不出來(lái)?假設(shè)存在直線I，使得AM |2= |CM |DM |成立由題意，直線I不與x軸重合，x= my1,設(shè)直線I的方程為x= my 1由x2消去x并整理得(m2+ 2)y2 2my 1 = 0.7 + y2= 1,設(shè)點(diǎn) A(X1, y1), B(x2, y2),則=1 + m22my1+y2=m2,1y1y2=,可得 |AB|=1 + m2|y1 y2|/ 2m 24 _ = 2/2 m2+ 1N m2+ 2

11、+ m2+ 2m2+ 2X1 + x2= m(y1 + y2) 2 =黠-2 =4m2 + 2,所以弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(一4),故直線CD的方程為y= mx.m22 m2 22聯(lián)立my= 2x,消去y并整理得2x2+ m2x2 4 = 0,解得x2=由對(duì)稱性，設(shè) C(X0, y0), D( X0, y0),則 x2=, 可得 cd|= ,1+普 |和=.汗+4 詮=2. m2t:.因?yàn)?|AM |2= |CM|DM |= (|OC| |OM|)(|OD|+ |OM|),且|OC|= |OD|,所以 |AM |2= |OC|2 |OM|2,故lAB = ICDf- |OM I2,即 AB|2

12、= |CD I2 4|0M |2,448 m2+ 1 2_ m2+ 2 2 =4 m2 + 4m2+ 24m2解得 m2 = 2,故 m= 土： 2.所以直線l的方程為x _；2y+ 1= 0或x+ .2y+ 1 = 0.關(guān)鍵點(diǎn)撥本題的核心在于轉(zhuǎn)化|AM|2= |CM| |DM |中弦長(zhǎng)的關(guān)系.由|CM|= QC| QM|, |DM |= QD|+ | OM |,1 1 又|OC|= |OD|,得|AM|2=|OC|2|OM|2.又|AM|= 1|AB|, |OC| = 2|CD|,因此 |AB|2= |CD|2 4|OM|2,轉(zhuǎn)化為弦長(zhǎng)|AB|, |CD|和|OM|三者之間的數(shù)量關(guān)系，易計(jì)算

13、.考點(diǎn)四 面積條件的轉(zhuǎn)化典例設(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0), B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y = kx(k 0)與橢圓交于E, F兩點(diǎn)，求四邊形 AEBF的面積的最大值.解題觀摩法一：如圖所示，依題意得橢圓的方程為4+y2= 1，直線AB , EF的方程分別為 x+ 2y= 2, y= kx(k 0).設(shè)點(diǎn) E(X1,kx1),F(x2,kx2),其中X1VX2,且x1,X2滿足方程(1 +4k2)x2= 4,2故 X2= X1=2 .寸 1 + 4 k2根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和，得點(diǎn)E, F到直線AB的距離分別為|X1+ 2kx1 2|h1=5=2 1 + 2k+p 1 + 4k2

14、 h 跑+ 2kx2 2| = 2 1 + 2k寸 1 + 4k2/5 1 + 4k2，= V50).4y= kx,設(shè)點(diǎn) E(X1, kx1), F(x2, kx2),其中 X1V X2.聯(lián)立 x22 消去 y,得(1 + 4k2)x2= 4.4+ y2=1故X11 + k22.=1 + 4k2 X2=j + 4k2 , EF|= ；1 + 戲兇X2|=4 1 + 4k根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)A, B到直線EF的距離分別為d1 =因此四邊形AEBF的面積為S= 1|EF| (di + d2)=1 1 + k2 1 + 2k _ 2 1 + 2k2 1 + 4k2 1 + k2 Qi + 4

15、k224 k2+ 4k + 1”1 + 4 k24k1 + 4k21 1w 2 2，當(dāng)且僅當(dāng)k= 4k,即k= 2時(shí)取等號(hào).因此四邊形 AEBF的面積的最大值為 2 2.關(guān)鍵點(diǎn)撥1如果利用常規(guī)方法理解為S四邊形aebf = Saaef+ Sbef = |EF| (d1+ d2)(其中d1, d2分別表示點(diǎn)A, B到直線EF的距離)，則需要通過(guò)聯(lián)立直線與橢圓的方程，先由根與系數(shù)的關(guān)系求出EF的弦長(zhǎng)，再表示出兩個(gè)點(diǎn)線距，其過(guò)程很復(fù)雜.而通過(guò)分析，若把四邊形 AEBF的面積拆成兩個(gè)小三角形 一一 ABE和厶ABF的面積之和， 則更為簡(jiǎn)單.因?yàn)橹本€ AB的方程及其長(zhǎng)度易求出，故只需表示出點(diǎn)E與點(diǎn)F到直

16、線AB的距離即可.總結(jié)規(guī)律快速轉(zhuǎn)化做數(shù)學(xué)，就是要學(xué)會(huì)翻譯，把文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、表格語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)換，我們要學(xué)會(huì)對(duì)解析幾何問(wèn)題中涉及的所有對(duì)象逐個(gè)理解、表示、整理，在理解題意的同時(shí)，牢記解析幾何的核心方法是“用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題”，核心思想是“數(shù)形結(jié)合”，牢固樹立“轉(zhuǎn)化”意識(shí)，那么就能順利破解解析幾 何的有關(guān)問(wèn)題.附幾種幾何條件的轉(zhuǎn)化，以供參考1. 平行四邊形條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)(1)對(duì)邊平行斜率相等，或向量平行(2)對(duì)邊相等長(zhǎng)度相等，橫(縱)坐標(biāo)差相等(3)對(duì)角線互相平分中點(diǎn)重合2. 直角三角形條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)(1)兩邊垂直斜率乘積為-1,或向量數(shù)量積為 0(2)勾股

17、定理兩點(diǎn)的距離公式(3)斜邊中線性質(zhì)(中線等于斜邊一半)兩點(diǎn)的距離公式3. 等腰三角形條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)(1)兩邊相等兩點(diǎn)的距離公式(2)兩角相等底邊水平或豎直時(shí)，兩腰斜率相反(3)三線合一(垂直且平分)垂直：斜率或向量平分：中點(diǎn)坐標(biāo)公式4. 菱形條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)(1)對(duì)邊平行斜率相等，或向量平行(2)對(duì)邊相等長(zhǎng)度相等，橫(縱)坐標(biāo)差相等(3)對(duì)角線互相垂直平分垂直：斜率或向量平分：中點(diǎn)坐標(biāo)公式、中點(diǎn)重合5.圓條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)(1 )點(diǎn)在圓上點(diǎn)與直徑端點(diǎn)向量數(shù)量積為零(2 )點(diǎn)在圓外點(diǎn)與直徑端點(diǎn)向量數(shù)量積為正數(shù)(3 )點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)與直徑端點(diǎn)向量數(shù)量積為負(fù)數(shù)6.角條件的

18、轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)(1)銳角，直角，鈍角角的余弦(向量數(shù)量積)的符號(hào)(2)倍角，半角，平分角角平分線性質(zhì)，定理(夾角、到角公式)(3)等角(相等或相似)比例線段或斜率課時(shí)跟蹤檢測(cè)3 X1.已知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,)，且與橢圓e： x + y2= 1有相同的焦點(diǎn).22(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；PQ為(2) 若動(dòng)直線I: y= kx+ m與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x= 4交于點(diǎn)Q，問(wèn)：以線段直徑的圓是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)M ?若存在，求出定點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)橢圓E的焦點(diǎn)為(,0),9x2 v214a2 = 4,設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 聳+書=1(ab0)，貝U 了+

19、 Z2= 1， 解得ra2 b2、a bb2 = 3,a2- b2= 1,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y + = 1.4 3y= kx+ m,聯(lián)立 x2 y2消去 y,得(3 + 4k2)x2 + 8kmx + 4m2- 12= 0,+=143所以= 64k2m2-4(3 + 4k2)(4m2- 12) = 0，即 m2= 3+ 4k2.-4km4k4k2 .3設(shè) P(Xp, yp)，貝U xp=2=-，yp= kxp+ m=-+ m=,3 + 4k2mmm4k 3即P(,).假設(shè)存在定點(diǎn) M(s, t)滿足題意，因?yàn)?Q(4,4k+ m),m m4k3則 MP = (s, t) , MQ = (4

20、 s,4k+ m t),mm所以 MP MQ =(色 s) (4 s) + ( 3 t)(4k+ m t)=逖(1 s) ( m 4k) t + (s2 4s+ 3+ t2) = 0 mmmm1 s= 0,s= 1,恒成立，故t = 0,解得所以存在點(diǎn)M(1,0)符合題意.2 2t= 0.s2 4s+ 3+ t2 = 0,X2 y262已知橢圓 C: P+ 2= 1(ab0)的短軸長(zhǎng)為 2 2，離心率為，點(diǎn)A(3,0), P是C上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為Ca b3的左焦點(diǎn).FPAB面積的最小值.ABP的頂點(diǎn)B在y軸上，求四邊形(1)求橢圓C的方程；則AP的中點(diǎn)2號(hào)),直線AP的斜率為yoX0 32b =

21、2 2,解：(1)依題意得匸=亠6a=J6,解得橢圓C的方程疋+ c = 1a 3b= V26 2a2 = b2 + c2若點(diǎn)P在y軸的右側(cè)，以AP為底邊的等腰設(shè) P(X0, y0)( .2v y0vQ2, y0M 0, X00)，線段 AP 的中點(diǎn)為 M,由厶ABP是以AP為底邊的等腰三角形，可得 BM丄AP,直線AP的垂直平分線方程為 yy0= 心(x也 3),2yo 、2令 x= 0 得 B(0，址X0 ) , X0 + y= 1B(0, 3),2y。6 22y。2- F( 2,0)，四邊形 FPAB 的面積 S= 5(|y0| |-?上3|) = |(2|y|) 5 3,22y。22|

22、y0l當(dāng)且僅當(dāng)2|y0|= 23j,即y0= 23時(shí)等號(hào)成立，四邊形 FPAB面積的最小值為 5,3.3.橢圓C: X2+ y2= 1(ab 0)的左、右焦點(diǎn)分別是 Fi, F2，離心率為 呼，過(guò)點(diǎn)Fi且垂直于x軸的直線 a b2被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.(1)求橢圓C的方程；點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1 , PF2,設(shè)/ F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m,0),求m的取值范圍.解：(1)將X= c代入橢圓的方程=1,得 y=.ab2由題意知字=1故a=2b2又e=c再，則a=2,即a=2b,所以a= 2 b=1，故橢圓C的方程為7+|PF1| |PF2| Rn |PF1| |F1M|由 PM 疋/ F1PF2 的角平分線,可得 |F1M|= |F2M|, 即 |PF2| = |F2M 設(shè)點(diǎn) P(X0, y0)( 2 X0 2)，又點(diǎn) F1( ,3, 0), F2( ,3, 0), M(m,0), 則 |PF1|= 3 X0 2+ y0= 22X0, |PF2|=3 X0 2+ y0= 2 -x。.又 |F1M|= |m + 3|, |F2M|= |m , 3|，且3 m. 3,所以 |F1M|= m+ 3, |F2M|= ,3 m.32