專題復(fù)習(xí)(6)幾何綜合題【2021中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)】答案版

1、專題復(fù)習(xí)(6)幾何綜合題【2021中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)】題型1與三角形、四邊形有關(guān)的幾何綜合題類型1類比探究的幾何綜合題1 (2020青海)在4ABC中，AB=AC，CG±BA交BA的延長線于點(diǎn)G.特例感知：(1)將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與 AC重合，另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B.通過觀察、測量BF與CG的長度，得到BF=CG.請(qǐng) 給予證明.猜想論證：(2)當(dāng)三角尺沿AC方向移動(dòng)到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角 邊交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE±BA，垂足為E.此時(shí)請(qǐng)你通過觀察、測量DE，DF與CG的 長度，猜想

2、并寫出DE，DF與CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.聯(lián)系拓展：(3)當(dāng)三角尺在圖2的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)移動(dòng)到圖3所示的位置(點(diǎn)F在線段AC上，且 點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合)時(shí)，請(qǐng)你判斷(2)中的猜想是否仍然成立？(不用證明)解：(1)證明：在4FAB和aGAC中，ZF=ZG，ZFAB = ZCAG，AB=AC，AFABAGACCS). .FB=CG.(2)猜想：CG=DE+DF.理由：連接AD.；S. .abc=S；.abd+S,adc，DE.LAB ? DF«LAC，CG_LAB .!aB CG=1aB DE+|aC DF. 4040VAB=AC，CG=DE+DF.(3)猜想仍然成

3、立，CG=DE+DF.ZEDF=yZBAD，AE=2，DF=5，求菱形 ABCD 的邊長.ZTl-DAAADCAACB，AAC2=AD AB.(2)V四邊形ABCD是平行四邊形， AAD=BC，ZA=ZC.又/BFE=NA，NBFE=NC.又,NFBE=NCBF，BFEs/BCF.，BF?=BE BC.，BC =器=單JDt D.AD=y.(3)分別延長EF，DC相交于點(diǎn)G.四邊形ABCD是菱形，,.ABDC，ZBAC=yZBAD.ACEF，.四邊形AEGC為平行四邊形.，AC=EG，CG=AE，ZEAC=ZG，AE=CG=2.V ZEDF=|ZBAD，, NEDF= NBAC= NG.又 Y

4、NDEFuNGED AAEDFAEGD.ADE2=EFEG.又EG=AC=2EF，DE2=2EF2.，DE=gEF.又嚅喑，.dg=Wdf=5"，DC=DG-CG=5 一 2. (2020德州)問題探究：小紅遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，itAABC中，AB = 6，AC=4，AD是中線，求AD的取 值范圍.她的做法是：延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，證明BEDCAD，經(jīng) 過推理和計(jì)算使問題得到解決.請(qǐng)回答：(1)小紅證明BEDgZkCAD的判定定理是：SAS.(2)AD的取值范圍是1<AD<5.方法運(yùn)用：(3)如圖2，AD是AABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連接BF

5、并延長交AC于點(diǎn)E，使AE =EF，求證：BF=AC.(4)如圖3，在矩形ABCD中，|=|，在BD上取一點(diǎn)F，以BF為斜邊作rABEF，且器=；，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，連接EG，CG，求證：EG=CG. tert證明：(3)延長AD至點(diǎn)"，使AD=AD，連接BA:AD是AABC的中線，ABD=CD.AD=AAD，ZADC=ZA'DB，CD=BD，AAADCAAr DB(SS).，NCAD=NA，AC=AB又AE=EF，ZCAD=ZAFE.，ZAr= ZAFE.又/AFE=NBFD，ZBFD=ZAABF=AB.又TAB = AC，VBF=AC.(4)延長 CG 至點(diǎn) H，使 HG

6、=CG，連接 HF，CE，HE.G 為 FD 的中點(diǎn)，F(xiàn)G=DG.fHG=CG，在HGF 和 ACGD 中，y ZHGF=ZCGD， Lfg=dg，AAHGFACGD(S4S).A HF=CD，ZHFG=ZCDG.EF 11在用4BEF 中，> ：.tan ZEBF=.又在矩形ABCD中黑制,J祟=4JD J 乙N/.tan ZADB=./. ZEBF=ZADB.又ABDC，NADB=NDBC.，ZEBF= ZADB = ZDBC.又,NEFD為ABEF的外角，ZEFD= ZEBF+ ZBEF，即NEFH+NHFD=NEBF+9(r.V ZADB+ZBDC=90° ，ZEFH+

7、 ZHFD= NEBF+ ZADB + ZBDC.，NEFH=2NEBF，即NEFH=NEBC.在EFH和4EBC中，EF_1 HF_1 . EF_HFBE ' BC 2 '宜 BC又/EBC=NEFH，EFHsAEBC.，ZFEH=ZBEC.，NHEC + /CEF= ZBEF+ZCEF.，NHEC = NBEF=90° .CEH 是直角三角形.VG 為 CH 的中點(diǎn)，EG=£cH，即 EG=CG.4 (2020陜西)問題提出(1)如圖1，在RtAABC中，NACB=90 ，AC>BC，ZACB的平分線交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn) D分別作DEJ_AC，DF_

8、LBC，垂足分別為E，F(xiàn)，則圖1中與線段CE相等的線段是CF， DE，DF.問題探究(2)如圖2，AB是半圓O的直徑，AB = 8，P是上一點(diǎn)，且=2，連接AP，BP，ZAPB的平 分線交AB于點(diǎn)C，過點(diǎn)C分別作CE±AP，CF1BP，垂足分別為E，F(xiàn)，求線段CF的長. 問題解決(3)如圖3是某公園內(nèi)“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)示意圖，已知。O的直徑AB=70w，點(diǎn)C在 。上，且CA=CB，P為AB上一點(diǎn)，連接CP并延長，交00于點(diǎn)D，連接AD，BD， 過點(diǎn)P分別作PE1AD，PF1BD，垂足分別為E，F(xiàn)，按設(shè)計(jì)要求，四邊形PEDF內(nèi)部為室 內(nèi)活動(dòng)區(qū)，陰影部分是戶外活動(dòng)區(qū)，圓內(nèi)其余部分為轉(zhuǎn)

9、化區(qū)，設(shè)AP的長為x(，陰影部分 的面積為y(切，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.按照“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AP的長度為30加時(shí)，整體布局比較合理， 試求當(dāng)AP=30加時(shí)，室內(nèi)活動(dòng)區(qū)(四邊形PEDF)的面積.解：(2)；=2，.NB=3(T，ZA=60° .，BP=*AB=4V1又/BPC=45°，設(shè) CF=m.則 PF=CF=m，BF=5m.，BP=PF+BF=m+*m=(l+W)m=4Vl.二 = 6-2小，即 CF=62*75.(3)由(1)知四邊形PEDF為正方形，PE=PF，ZAPE+ZBPF=180J -ZEPF=90° .如圖，將4PAE繞點(diǎn)P

10、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至PE與PF重合，WABPM JlZBPM=90o，x21-70xSa ape S. bpf=S. .bpm=5x(7 0-x) =5= /? + 35x.S 闈/=S/.ABC + S/.APE + S/.BPF=；X35 娘 X35 娘一 1x2+35x tert= -#+35x+1 225.PM=AP = 30，BP=40m，BM=/PM2+PB2=50 w.V Sapbm=PB PM=|bM PF，PB PM ,PF= BM=24 %，S 四邊和pedf=PF2 = 576 nr.類型2與圖形變換有關(guān)的幾何綜合題5 (2020成都)在矩形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)E，將4BCE

11、沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在 AD邊上點(diǎn)F處.(1)如圖1，若BC = 2BA，求NCBE的度數(shù).(2)如圖2，當(dāng)AB = 5，且AF FD=10時(shí)，求BC的長.(3)如圖3誕長EF，與NABF的平分線交于點(diǎn)M，BM交AD于點(diǎn)N，當(dāng)NF=AN+FD時(shí)，求的值.M解：(I)：四邊形ABCD是矩形，NC=90° .,將4BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處，BC=BF，ZFBE=ZEBC，ZC= ZBFE = 90° .，BC=2AB.，BF=2AB.：.sin ZAFB=1=1.AZAFB = 30° .Dr ，四邊形ABCD是矩形，ADBC.AZAFB=Z

12、CBF=30° .AZCBE=|zFBC=15° .(2)，,將ABCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處， .ZBFE=ZC=90°，CE=EF.又在矩形ABCD中，ZA=ZD=90° ，AZAFB+ZDFE=90° > ZDEF+ZDFE=90° .，ZAFB=ZDEF.，AFABAEDF.AF ABAF DF=AB DE. ut UrVAF DF=10，AB = 5，DE=2.，CE=DC-DE=5 - 2=3.，EF=3.DF=EF2 - DE2=/ 32 - 22=75.AF=2傷，BC=AD=AF+DF=2巾+

13、邛=3巾.(3)過點(diǎn)N作NG_LBF于點(diǎn)G，VNF=AN+FD > ANF=1aD = 1bC.VBC=BF » ANF=|bF.V ZNFG=ZAFB，ZNGF= ZBAF=90°，AANFGABFA.NG FG_NF 1,AB = EA = BF=2-設(shè) AN=x，則 AB=2x，VBN 平分NABF，AN±AB，NGLBF， AAN=NG=x.設(shè) FG=y，則 AF=2y，BF=2x+y，VAB2+AF2 = BF2，(2x)2+(2y)2=(2x+y)2.4解得y=A410，BF=BG+GF=2x+pc=yx.AB AB 2x 3,BC=BF = 1

14、F=5-關(guān)6(2020棗莊)在 ABC中，ZACB = 90°，CD是中線，AC=BC，一個(gè)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的 45°角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC，BC的延長線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，DF 與AC交于點(diǎn)M，DE與BC交于點(diǎn)N.(1)如圖 1，若 CE=CF，求證：DE=DF.(2)如圖2，在NEDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，試證明CD2=CE CF恒成立.若CD = 2，CF=W，求DN的長.解：(1)證明：V ZACB=90° ，AC=BC，CD 是中線， A ZACD=ZBCD=45° ，/ACF=NBCE=9(T .AZDCF=ZDCE=135

15、76; . 在 ADCF lADCE 中，CF=CE，ZDCF=ZDCE，DC=DC， DCFdDCE(S4S).，DE=DF.(2)證明：V ZBCD=ZF+ZCDF=45° ，NFDE=NCDE+NCDF=45°，ZF=ZCDE.又,NDCF=NDCE，CF CD:.AFCDADCE.，k=可 LU LtACD2=CE CF.過點(diǎn)D作DG1BC于點(diǎn)G.V ZDCB=45°，GC=GD=坐 CD=也由(2)可知，CD2=CE CF，/ CE =二=2. L rV ZECN=ZDGN，ZENC = ZDNG，/.ENCADNG.CNCE <2-NG 22NG

16、-DG ' NG - y12 '解得NG=坐由勾股定理，得dn=5聲福=¥.7 (2020河南)將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB'，記旋轉(zhuǎn)角為a.連接BB， 過點(diǎn)D作DE垂直于直線BB-垂足為E，連接DB，CE.如圖1，當(dāng)a=6(T時(shí)，ADEB'的形狀為等腰直角三角形.連接BD，可求出*的值為也.(2)當(dāng) 00 <a<360° 且 aW90 時(shí)，(3)在(2)的條件下，卜1為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以0,，Q，M，N為頂點(diǎn) 四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由.解：(1)解方

17、程 W9x+20=0，得知=4，x2=5.V0A<AB，0A=4，AB = 5.如圖1，過點(diǎn)B作BD10C于點(diǎn)D，BD 4 :tan ZOCB=g=，BD=0A=4，CD = 3. 0D=AB = 5，0C = 8.，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，4)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(8，0).(2)VAB/7OC，OQ=AB = 5，ZAOQ=90°，/.四邊形AOQB為矩形.，BQ=OA=4.由翻折，得OQ=OQ=5，：.Or B=O/Q2-QB2=52-42=3.A AO' =2.；Q(2,4).Ak=2X4=8.(3)存在.分四種情況：如圖2，M在x釉的正半軸上，四邊形NOMQ是矩形，此時(shí)N

18、與B重合，則N(5，4)；如圖3，M在x軸的負(fù)半軸上，四邊形NMOQ是矩形，過O作OD J_x軸于點(diǎn)D，過N 作NHJ_x軸于點(diǎn)H. 四邊形NMO'Q是矩形，AMN=OZQ=5，MNO' Q.，ZNMO=ZDQOV ZNHM=ZQDOr=90£ ，AANHMAO" DQ(W4S).，NH=OD=4, DQ = MH=3.由(2)知 AOr=2，設(shè) PO=x，則 OP=x，AP=4x， 在無APO'中，由勾股定理，得 AP2+AO'2=OP2，即 x2=22+(4-x)2，解得 x=|. .*.P（0 , 1）.設(shè)PO'的解析式為y=k

19、x+b，則b=r2k+b=4，解得k=r b=l-,PQ，的解析式為y=1x+/ 當(dāng) y=0 時(shí) »1x+|=0，10 .10，x= :. OM="y.A OH=OM - MH =y -3=1.N（|，4）；如圖4，M在y軸的正半軸上，四邊形MNQO,是矩形，此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合， 由知 M（0，$，O' （2，4），Q（5，0），3易求得N（3，z）：圖5如圖5，M在y釉的負(fù)半軸上，四邊形MNOQ是矩形，過O作OD，x軸于點(diǎn)D./MOQ=NQDO,，ZOMQ=ZDQOZ > AAMOQAQDOf .OM_OQ 0M_5,eQD-DOr " 3 -4，

20、OM=*，M（0 , 一與.VO" （2 , 4） , Q（5，0），N（一3 ，；）.綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5，4）或（一；, 一4）或（3，一3或（一3，；）.9（2020南充）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)K在AD上，連接BK，過點(diǎn)A，C 作BK的垂線，垂足分別為M，N.點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，連接OM，ON.求證：AM=BN.（2）請(qǐng)判斷AOMN的形狀，并說明理由.若點(diǎn)K在線段AD上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)），設(shè)AK=x，AONIN的面積為y，求y關(guān)于x的 函數(shù)關(guān)系式（寫出x的范圍）：若點(diǎn)K在射線AD上運(yùn)動(dòng)，且OMN的面積為右，請(qǐng)直接寫 出很長.解：(1)證明：VAM1B

21、M > CN±BN ，NAMB = NBNC=9(T .又NABC=9(T ，NMAB + NMBA=90°CBN+NMBA=90 .AZMAB = ZCBN.又AB=BC，AMB也BNCQLTS).，AM=BN.(2)AOMN是等腰直角三角形.理由如下：連接OB，.0為正方形的中心，AZOAB=ZOBC.A ZMAB - ZOAB = ZNBC - ZOBC，即 NMAO=NNBO.VOA=OB，AM=BN A AAMOABNO(S45).AOM=ON，NAOM=NBON.NAOB= NAON+ NBON=90。， ，ZMON= ZAOM+ ZAON=90C .OM

22、N是等腰直角三角豚(3)在 RfAABK 中，BK=" AR?+AB2r x?+1 由 BK AM=AB AK，得BN=AM=AB AKBK y/x2+lAK2 x2由 AK.KM BK，得 KM=量=丙.MN=BK-BN-KNI=出葉11-x/x2+l(1 -"X) 2S/.OMN=I'fN2 = 44x-4Iin x2 -2x+l即 7= 4x2_|_4 (0<x<l).若點(diǎn)K在射線AD上運(yùn)動(dòng)，SmjmnJ，AK長為我3.類型3與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的幾何綜合題10 (2020岳陽)如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，BC = 8，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從C點(diǎn)，A點(diǎn) 同

23、時(shí)以每秒1個(gè)單位長度的速度出發(fā)，且分別在邊CA，AB上沿C-A，A-B的方向運(yùn)動(dòng)， 當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)，連接PQ，過點(diǎn) P作PE1PQ，PE與邊BC相交于點(diǎn)E，連接QE.(1)如圖2，當(dāng)t=5 s時(shí)，延長EP交邊AD于點(diǎn)F.求證：AF=CE.(2)在(1)的條件下，試探究線段AQ，QE，CE三者之間的等量關(guān)系，并加以證明.如圖3，當(dāng)t>? s時(shí)，延長EP交邊AD于點(diǎn)F，連接FQ若FQ平分NAFP，求差的值.解：(1)證明：二四邊形ABCD是矩形，/.AD/BC，ZABC = 90a .在氏AABC 中，AB=6，BC=8，據(jù)勾股定理，得

24、AC = 10，由運(yùn)動(dòng)知，CP=t=5AP=AC-CP = 5=.AP = CP.VAD/BC，AZPAF=ZPCE，ZAFP=ZCEP.APFACPECS).AAF=CE.(2)結(jié)論：AQ2+CE2 = QE2.理由：連接FQ，由(1)知，AAPFACPE，AF=CE, PE=PF.VEFXPQ .-.QE=OF.在氏QAF中，根據(jù)勾股定理，WAQ2+AF2 = QF2，aaq2+ce2=qe2.(3)由運(yùn)動(dòng)知，AQ=t，CP=t，AAP=AC-CP=10-t.FQ 平分NAFEAFQ=NPFQ.,: ZFAQ= ZFPQ = 90c，F(xiàn)Q=FQ， .FAQAFPQGUS).:.AQ=PQ=

25、t AF=PF.ABQ=AB-AQ=6-t，ZFAC=ZFPA. VZDAC=ZACB，ZAPF=ZCPE，ZACB= ZCPE. APE=CE. 過點(diǎn)E作ENJ_AC于點(diǎn)N， ，CN=1CP=%，NCNE = 90。=ZABC. VZNCE=ZBCA AACNEACBA.1.CE=CN .CE=?5,ALCB , 0_ 8 一3一開APE=1t，BE=BC-CE = 8-1t.在放QPE 中，QEPQ2+PE2， /£ rABQE 中，QE2=BQ2+BE2， .-.PQ2+PE2=BQ2+BE2.，F(xiàn)+(|t)2=(6-1)2+(8 1t)2 .，t=45060CP=t=yy.

26、Z. AP = 10 - CP=yy.VAD/7BC > AAAPFACPE.60.AF AP II 6CE_CP-50-5- TT11（2020溫州）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=ZC=90°，DE，BF分別平分NADC， NABC，并交線段AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)E，B不重合）.在線段BF上取點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在 BN之間），使BM=2FN.當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)Q恰好從點(diǎn)M勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)624N.記QN=x，PD=y，已知y=一尹+12，當(dāng)Q為BF中點(diǎn)時(shí)，y=判斷DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由.求DE，BF的長.（3）若 AD=6.當(dāng)DP=DF時(shí)，通過計(jì)算比較BE

27、與BQ的大小關(guān)系.連接PQ，當(dāng)PQ所在直線經(jīng)過四邊形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，求所有滿足條件的x的值. 解：(1)DEBF，理由如下：V ZA=ZC=90°，A ZADC+ZABC=360° -(ZA+ZC)=180° .VDE，BF 分別平分NADC，ZABC，A ZADE=|ZADC，ZABF=|zABC.A ZADE+ ZABF=1x 180° =90° .V ZADE+ZAED=90°，ZAED = ZABF.，DE / BF.(2)令 x=0 得 y=12，DE=12.令 y=0 得 x=10，.二MN=10.把丫=搟代入y=-

28、1x+12 ,得x=6 '即 NQ = 6，QM=10 - 6=4.V Q是BF中點(diǎn)，,.FQ=QB.VBM=2FN，F(xiàn)N+6=4+2FN，得 FN=2.BM=4.，BF=FN+MN+MB = 16.(3)連接EM并延長交BC于點(diǎn)H，VFM=2 + 10 = 12=DE，DEBF， 四邊形DFNIE是平行四邊形.，DF=EM. AD = 6，DE=12，NA=90°，A ZDEA=30° =ZFBE=ZFBC. / ZADE=60° = ZCDE= ZFME，A ZMEB=ZFBE = 30° ，ZEHB = 90° .，DF=EM=B

29、M=4.，MH=2，HB=2V3.ABE="+ (2$) 2=4小.當(dāng) DP=DF 時(shí)，一尹+12=4，解得 x=y.20 22ABQ = 14-x=14-=- y>4V3，BQ>BE.(i )當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)(如圖1)，y=0，Ax=10.B圖1c圖2(ii)當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)(如圖2)， VFQZ/DP，CFQsCDP.FQ CF . 2+x8*DP=CD * * 6 , _ = 12- -tx+12解得x=y.(iii)當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)(如圖3)，VPE/7BQ， AAAPEAAQB.PE_AEQB-ABVAE=V122-62=6V3，AB = 1Q，612 （一.+

30、12） （用r*-E-=&.解得 X=T由圖可知，PQ不可能過點(diǎn)B.綜上所述，當(dāng)x=10或?qū)W或竽時(shí)，PQ所在的直線經(jīng)過四邊形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn).12 （2020 重慶 X 卷）如圖，在 RAABC 中，ZBAC=90° ，AB=AC，點(diǎn) D 是 BC 邊上一 動(dòng)點(diǎn)，連接AD，把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，連接CE，DE.點(diǎn)F是DE的中 點(diǎn)，連接CF.（1）求證：CF=AD.如圖2所示，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)BD=2CD時(shí)，分別延長CF，BA，相交于點(diǎn)G， 猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論.（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，在線段AD上存在一點(diǎn)P，使

31、PA+PB+PC的值最小.當(dāng)PA+PB+PC的值取得最小值時(shí)，AP的長為m，請(qǐng)直接用含m的式子表示CE的長.解：(1)證明：V ZBAC=ZDAE=90°，AB=AC，A ZBAD=ZCAE，ZABD= ZACB=45° .在aABD和AACE中，AB=AC，ZBAD=ZCAE，AD=AE，AABDAACE(S.4S).，NABD=NACE=45° .AZDCE=ZACB+ZACE=90° .在氏 ADE 中，AD=AE，ADE=a/2AD.在RtADCE中，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，.cf=1de=ad.(2)結(jié)論：AG=*BC.證明：由(1)得ABDgAACE，

32、CE=BD，NACE=NABD=45° ， ，NDCE=NBCA+/ACE=450 +45° =90° .<£ RtADCE 中，DE=a/cD2+CE2=/CD2+BD2=V5CD(BD=CE=2CD).在氏ZABC 中，AC=BC=CD.連接AF，在RfAADE與RrACDE中，F(xiàn)為公共斜邊DE的中點(diǎn)，AF=CF "DE =CD.:.ZFAC=ZFCA.在小ZkACG 中，ZG+ZFCA=90°，ZGAF+ZFAC = 90°，ZG= ZGAF.AAF=GF=CF.ACG=2AF=V5CD.:.AG =/CG2-A

33、C2=2CD.善，即 AG=*BC.(3)將ABCP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BMN，連接PN，CM，則4BPN與BCM是等邊三角形.，BP=PN , PC=NM，BM=CM.，PA+PB+PC=AP+PN+NM.則當(dāng)A，P，N，M四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC有最小值，此時(shí)AM垂直平分BC（如圖）.AZPBD=|zPBN=30° .PD設(shè) PD = a，在 rAPBD 中，BD = 一右丁=，5a. tan 30、又,ABC是等腰直角三角形，BC為斜邊， AAD=BD，即 AP+PD=BD.,.m+a=>a，解得由(1)得 CE=BD=,/3a= 13 （2020濟(jì)寧

34、）如圖，在菱形ABCD中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊BC，CD上，BE =CG，AF平分NEAG，點(diǎn)H是線段AF上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合）.（1）求證：AEHWZkAGH.（2）當(dāng) AB =12，BE=4 時(shí).求DGH周長的最小值.若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，是否存在直線OH將4ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三AH角形的面積與四邊形的面枳比為1 ： 3.若存在，請(qǐng)求出年的值：若不存在，請(qǐng)說明理由.解：(1)證明：四邊形ABCD是菱形， AAB=BC.VAB=AC，AB=BC=AC.ABC是等邊三角形.AZ ABC = 60° .AZBCD =120° .VAC是菱形ABC

35、D的對(duì)角線，ZACD=|ZBCD=6O° = ZABC.VBE=CG » .-.ABEAACG(SS).AAE=AG.VAF 平分NEAG，ZEAF= ZGAF.VAH=AH，AEHgZkAGH(S4S).如圖1，過點(diǎn)D作DM±BC交BC的延長線于點(diǎn)M，連接DE.VAB = 12，BE=4，ACG=4.ACE=DG=12-4 = 8.由(1)知，AEHg/AGH，EH=HG.Cdgh=DH+GH+DG=DH+HE+8.要使DGH的周長最小，則EH+DH最小，最小為DE，在氏DCM 中，ZDCM=180° -120° =60° ，CD=

36、AB = 12，A CM=6 , DM=V3CM=6>/3.在用中，EM=CE+CM=14，根據(jù)勾股定理，得DE=,EM2+DM2=dl42+ (砧)2=4行，DGH周長的最小值為4皿 + 8.I .當(dāng)OH所在直線與線段AE相交時(shí)，交點(diǎn)記作點(diǎn)N，如圖2，連接CN，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，SaaON = Sz.CON =；SaaCN.三角形的面積與四邊形的而積比為1 ： 3，Sacen=Saacn. AAN=EN.S,aec 4丁點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，ONCE. AH-1*AF=2-n .當(dāng)OH所在直線與線段CE相交時(shí)，交點(diǎn)記作Q，如圖3，連接AQ，F(xiàn)G， 點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)， e Saaoq=Sac

37、oq=S/.ACQ. 三角形的面積與四邊形的而積比為1 ： 3，a|acoq=1 ,>ssSaace 4 y yACQ=EQ = CE=1x(12-4)=4. 點(diǎn)0是AC的中點(diǎn)，AOQ/7AE，設(shè) FQ=x.，EF=EQ+FQ=4+x，CF=CQ-FQ=4-x. 由(1)知，AE=AG，AF 是/EAG 的平分線，NEAF=NGAF.VAF=AF，AEFAGFGSJS).，F(xiàn)G=EF=4+x.過點(diǎn)G作GP±BC交BC的延長線于點(diǎn)P， 在用4CPG 中，NPCG=6(r，CG=4，CP=1cG=2，PG=V5cp=20 ，PF=CF+CP=4x+2=6-x.在放FPG中，根據(jù)勾股

38、定理，得PF?+PG2=FG2，0(6-X)2+(2V3)2=(4+X)2，解得 x=5.88 28,FQ=5，EF=4+=-AH EQ 4 5OQAE « AaF = EF=28 = 7T綜上所述,弟的值為界.類型4與實(shí)踐操作有關(guān)的幾何綜合題14 （2020嘉興、舟山）在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，小兵將兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC 和DEF拼在一起，使點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合（如圖1），其中NACB = NDFE= 90£ ，BC=EF=3 cm » AC=DF=4 cm，并進(jìn)行如下研究活動(dòng).活動(dòng)一：將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移，連接AE，BD（如圖2

39、），當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合 時(shí)停止平移.【思考】圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎？請(qǐng)說明理由.【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)紙片DEF平移到某一位置時(shí)，小兵發(fā)現(xiàn)四邊形ABDE為矩形（如圖3），求AF的 長.活動(dòng)二：在圖3中，取AD的中點(diǎn)O，再將紙片DEF繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a度（OWaW 90），連接 OB，OE（如圖 4）.【探究】當(dāng)EF平分/AEO時(shí)，探究OF與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.解：【思考】四邊形ABCD是平行四邊形.理由：VAABCADEF >AAB=DE，ZBAC=ZEDE，ABDE.四邊形ABDE是平行四邊形.【發(fā)現(xiàn)】連接BE交AD于點(diǎn)0，四邊形ABDE為矩形， AOA=OD=OB = O

40、E.設(shè) AF=x cm » 則 0A=0E=：(x+4)，A0F=0A-AF=2-1x.在無OFE中，根據(jù)勾股定理，得(2-pc)2+32=i(x+4)2，90解得 x=1，AF=w ent.【探究】BD=2OF.證明：延長OF交AE于點(diǎn)H.由矩形性質(zhì)可得NOAB=NOBA=NODE=NOED，OA=OB = OE=OD， AZOBD=ZODB，ZOAE=ZOEA.V ZABD+ ZBDE+ ZDEA+ ZEAB=360°， AZABD+ZBAE=180° .AAE/7BD.，ZOHE= ZODB.V EF 平分NOEH，NOEF=NHEF.V ZEFO= ZEF

41、H = 90° ，EF=EF，A AEFOAEFH. Z.EO=EH，F(xiàn)O=FH.，ZEHO= ZEOH= ZOBD= ZODB.，AEOHAOBDA BD=OH=2OF.15（2020齊齊哈爾）綜合與實(shí)踐在線上教學(xué)中，教師和學(xué)生都學(xué)習(xí)到了新知識(shí)，掌握了許多新技能.例如教材八年級(jí)下冊(cè)的 數(shù)學(xué)活動(dòng)一折紙，就引起了許多同學(xué)的興趣.在經(jīng)歷圖形變換的過程中，進(jìn)一步發(fā)展了同 學(xué)們的空間觀念，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平：再一次折疊紙片， 使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，把紙片展平，連接AN， 如圖1.折

42、痕BM差（填“是”或“不是"）線段AN的垂直平分線：請(qǐng)判斷圖中AABN是什么特殊三角形？答：等邊三角形;進(jìn)一步計(jì)算出NMNE=K° .(2)繼續(xù)折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)H處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BG，把紙 片展平，如圖2，則NGBN="° .拓展延伸：(3)如圖3，折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A，處，并且折痕交BC邊于點(diǎn) T，交AD邊于點(diǎn)S，把紙片展平，連接AA，交ST于點(diǎn)0，連接AT.求證：四邊形SATA提 菱形.解決問題：(4)如圖4,矩形紙片ABCD中，AB = 10 AD=26，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A，

43、處，并且折痕交AB邊于點(diǎn)T，交AD邊于點(diǎn)S，把紙片展平.同學(xué)們小組討論后，得出線 段AT的長度有4，5，7，9.請(qǐng)寫出以上4個(gè)數(shù)值中你認(rèn)為正確的數(shù)值7，9.人 ?.B T Af C B Af(圖3圖4解：.折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A，處， ；丁垂直平分以1，40=A，0，' 1ST. VAD/BC， .ZSAO=ZTAZO，ZASO=ZATO. AAASOAA' TO(zUS), /. SO = TO. 四邊形ASAT是平行四邊形. 又,.,AAST， 四邊形SATA'是菱形.類型5其他類型的幾何綜合題16(2020安徽)如圖1，已知四邊形ABCD是

44、矩形，點(diǎn)E在BA的延長線上，AE=AD，EC 與BD相交于點(diǎn)G，與AD相交于點(diǎn)F，AF=AB.(1)求證：BD1EC.(2)若AB=1，求AE的長.(3)如圖 2，連接 AG，求證：EG-DG=V2AG.圖2解：(1)證明：四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長線上，AZEAF=ZDAB=90° .又AE=AD，AF=AB，AAEFAADB(£4S).，ZAEF=ZADB.A ZGEB + ZGBE = ZADB + ZABD = 90° ， 即 NEGB=90° .故 BD_LEC.(2):四邊形ABCD是矩形，AECD.A ZAEF= ZDCF，ZE

45、AF=ZCDF.A AEF ADCF. A，UC Ur即 AE DF=AF DC.設(shè) AE=AD = a(a>0)，則有 a(a1)=1化簡得a?a-1=0，解得a=H滬或上芋(舍去).心皆(3)證明：在線段EG上取點(diǎn)P，使得EP=DG，連接AP.在aAEP和4ADG中，AE=AD，ZAEP=ZADG，EP=DG，AAEPAADG(£1S).AAP=AG，ZEAP = ZDAG.ZPAG=ZPAD+ZDAG=ZPAD+ZEAP=ZDAE=90° .PAG為等腰直角三角形.AEG-DG=EG-EP=PG=V2AG.170OZO益陽)定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊

46、相等，且相等鄰邊的夾角為直角， 像這樣的圖形稱為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡稱“直等補(bǔ)”四邊形.根據(jù)以上定義，解決下列問題：如圖1，正方形ABCD中，E是CD上的點(diǎn)，將4BCE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合， 此時(shí)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在DA的延長線上，則四邊形BEDF為“直等補(bǔ)”四邊形，為什么？ (2)如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB = BC = 5，CD = 1，AD>AB，點(diǎn)B 到直線AD的距離為BE.求BE的長.若M，N分別是AB，AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，求MNC周長的最小值.解：(I)：四邊形ABCD是正方形， AZABC=ZBAC=ZC=ZD=90° .將4BCE繞

47、B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時(shí)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在DA的延長線上，BE=BF，ZCBE=ZABF.，NEBF=NABC=90° .AZEBF4-ZD=180° .，四邊形BEDF為“直等補(bǔ)”四邊形.過C作CFXBF于點(diǎn)F，則NCFE=90° .四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB=BC = 5，CD = 1，AD>AB，A ZABC = 90° ，ZABC + ZD = 180° .ZD=90° .VBEXAD，, NDEF=9(T .，四邊形CDEF是矩形.，EF=CD=1.V ZABE+ZA= ZCBE+ / ABE=90，

48、 :.ZA=ZCBF.V ZAEB = ZBFC = 90°，AB=BC = 5，AAABEABCFGUS). ，BE=CF.設(shè) BE=CF=x，則 BF=x-l.VCF2+BF2=BC2 > Ax2+(x-l)2=52，解得x=4或x= -3(舍去).ABE=4.如圖，延長CB到點(diǎn)F，使得BF=BC，延長CD到點(diǎn)G，使得CD=DG，連接FG，分別 與AB，AD交于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)G作GH_LBC，與BC的延長線交于點(diǎn)H，則BC=BF= 5，CD=DG=1.V Z ABC =ZADC=90 °，CM=FM，CN=GN.AMNC的周長為CM+MN+CN=FM+MN+GN=

49、FG，且此時(shí)的值最小.V 四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，.-.ZA+ZBCD = 180° .V ZBCD+ZHCG=180°A=NHCG.V ZAEB = ZCHG=90°，,ABEMCGH.BE AE AB,GH=CH=CGVAB=5，BE=4，AAE=aJaB2-BE2=3.二= gh 邛，CH=9AFH=FC + CH=y./. FG=FH2+GH2=Syf2.MNC周長的最小值為8y/2.題型2與圓有關(guān)的幾何綜合題1. （2020成都）如圖，在4ABC的邊BC上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC為半徑畫。O，OO 與邊AB相切于點(diǎn)D，AC=AD，連接OA交。

50、O于點(diǎn)E，連接CE，并延長交線段AB于點(diǎn) F.求證：AC是。O的切線.4若AB = 10，5B=g，求。O的半徑.(3)若F是AB的中點(diǎn)，試探究BD+CE與AF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.解：(1)連接OD.V0O與邊AB相切于點(diǎn)D， AOD1AB，即NADO=90° .VAO=AO，AC=AD，OC=OD，AACOAADO(SSS).A Z ADO =ZACO = 90 ° .又.OC是。o的半徑，AC是。O的切線.設(shè) AC=4x，BC=3x.VAC2+BC2=AB2.16x2+9x2=100.Ax=2 .-.BC=6，AC=AD = 8.ABD=2. OD 4 tan8：.

51、OD = y故。o的半徑為*連接DE.由(1)可知：aacoaado，A ZACO=ZADO = 90° > ZAOC=ZAOD.又CO=DO，OE=OE，AACOEADOE(£45).AZOCE=ZODE.VOC=OE=OD，:.ZOCE= ZOEC= ZOED= ZODE.AZDEF=180G -ZOEC-ZOED=1800 -2ZOCE.點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，NACB = 90°， ACF=BF=AF.AZOCE=ZB，NDFE=1800 -ZOCE-ZB=180° -2ZOCE.AZDEF=ZDFE.ADE=DF=CE.-.AF=BF=DF+BD

52、 = CE+BD,2(2019孝感)如圖，點(diǎn)I是aABC的內(nèi)心BI的延長線與AABC的外接圓。0交于點(diǎn)D， 與AC交于點(diǎn)E，延長CD，BA相交于點(diǎn)F，ZADF的平分線交AF于點(diǎn)G.(1)求證：DGCA.(2)求證：AD=ID.若DE=4，BE=5，求BI的長.解：(1)證明：二點(diǎn)I是AABC的內(nèi)心， AZABD=ZCBD. NADF是。0的內(nèi)接四邊形ABCD的外角，Z. ZADF=ZABC. DG 平分NADF，NGDF=NABD.又,/= NACD，AZGDF=ZACD.ADG/7CA.(2)證明：.點(diǎn)I是 ABC的內(nèi)心， ，ZABI= ZCBD，ZBAI= ZCAI. ZDIA=ZABI+

53、ZBAI，ZDAI= ZCAI+ ZDAC= ZBAI+ ZCBD， AZDIA=ZDAI.A AD=ID.(3)V ZADE=ZADB，ZDAE=ZDBA， AAADEABDA.AD DE ,-bd=adaad2=debd-VDE=4，BE=5，BD=BE+DE=9，AD=4X9=6.由(2)知，AD=ID =6，ABI=BD-ID = 3.3(2020孝感)已知AABC內(nèi)接于。0，AB=AC，ZABC的平分線與00交于點(diǎn)D，與AC 交于點(diǎn)E，連接CD并延長與。0過點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)F，記NBAC=a.如圖1，若a=6(T，DF 1直接寫出差的值為爭當(dāng)。0的半徑為2時(shí)，直接寫出圖中陰影部分的而

54、積為羋一1開. z -j(2)如圖2，若a<60°，且黑=" DE=4 >求BE的長.圖I圖2解：連接A0并延長交。0于點(diǎn)H，連接AD，DH，則NADH = 90°， AZDAH+ZDHA=90° .VAF 與00 相切， ZHAF=90° .AZDAH+ZDAF=90° .AZDAF=ZDHA.YBD 平分NABC，/ABD=NCBD.ZDHA= ZDAC.，ZDAF= ZDAC.VAB=AC，, NABC=NACB.:四邊形ABCD內(nèi)接于。0， AZABC+ZADC=180° .又/ADF+/ADC = 18

55、0° ， AZADF=ZABC.又/ADB=NACB=NABC， AZADF=ZADB.又：也 為公共邊，ADFgZADE(ASJ).，DF=DE=4.DF 2,慶=,，.DC=6.V ZDCE= ZABD= ZDBC，NCDE 為公共角， AADCEADBC.CD_DE 川£_4,eDB-CD ' 1 DB-6 ，DB=9.-.BE=DB-DE=5. (2019荊州)如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)C為。O上一點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)(不 與O，B重合)，過點(diǎn)P作射線1±AB，分別交弦BC，于D，E兩點(diǎn)，在射線1上取點(diǎn)F， 使 FC=FD.(1)求證：FC是。O的切線.(2)當(dāng)點(diǎn)E是的中點(diǎn)時(shí)，若NBAC=60° ，判斷以O(shè)，B，E，C為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由.若 tan ZABC=|，且 AB=20，求 DE 的長.解：(1)證明：連接oc.VOB=OC，/OBC = NOCB.VPFXAB > AZBPD=9